Курс физики для вузов - часть 47

электрический ток пропускался через
три последовательно соединенных с
тщательно отшлифованными торцами

металлических цилиндра

 А1, Си)

одинакового радиуса. Несмотря на то
что общий заряд, прошедший через эти
цилиндры, достигал огромного значе-
нии

 •

 Кл), никаких, даже мик-

роскопических, следов переноса веще-
ства не обнаружилось. Это явилось
экспериментальным доказательством
того, что ионы в металлах не участву-
ют в переносе электричества, а перенос
заряда в металлах осуществляется час-
тицами, которые являются общими для
всех металлов. Такими частицами мог-
ли быть открытые в 1897 г. английским
физиком Д.Томсоном (1856 — 1940)

электроны.

Для доказательства этого предполо-

жения необходимо было определить
знак и величину удельного заряда но-
сителей (отношение заряда носителя к
его массе). Идея подобных опытов зак-
лючалась в следующем: если в металле
имеются подвижные, слабо связанные
с решеткой носители тока, то при рез-
ком торможении проводника эти части-
цы должны по инерции смещаться впе-
ред, как смещаются вперед пассажиры,
стоящие в вагоне при его торможении.

Результатом смещения зарядов должен

быть импульс тока; по направлению
тока можно определить знак носителей
тока, а зная размеры и сопротивление
проводника, можно вычислить удель-
ный заряд носителей.

Идея этих опытов (1913) и их каче-

ственное воплощение принадлежат

российским физикам С.Л.Мандельш-
таму (1879-1944) и Н.Д.Папалекси

(1880-1947). Эти опыты в 1916 г. были

усовершенствованы и проведены аме-
риканским физиком Р.Толменом
(1881 — 1948) и ранее шотландским
физиком Б.Стюартом (1828—1887).

Ими экспериментально доказано, что
носители тока в металлах имеют отри-

цательный заряд, а их удельный заряд
приблизительно одинаков для всех ис-
следованных металлов. По значению
удельного заряда носителей электри-
ческого тока и по определенному ранее

Р. Милликеном элементарному элект-

рическому заряду была определена их
масса. Оказалось, что значения удель-
ного заряда и массы носителей тока и
электронов, движущихся в вакууме, со-
впадали. Таким образом, было оконча-
тельно доказано, что носителями элек-
трического тока в металлах являются
свободные электроны.

Существование свободных электро-

нов в металлах можно объяснить сле-
дующим образом: при образовании кри-
сталлической решетки металла (в ре-
зультате сближения изолированных

атомов) валентные электроны, сравни-

тельно слабо связанные с атомными яд-
рами, отрываются от атомов металла,
становятся «свободными» и могут пе-
ремещаться по всему объему. Таким об-
разом, в узлах кристаллической решет-

ки располагаются ионы металла, а меж-

ду ними хаотически движутся свобод-
ные электроны, образуя своеобразный
электронный газ, обладающий, соглас-

но электронной теории металлов, свой-
ствами идеального газа.

Электроны проводимости при сво-

ем движении сталкиваются с ионами
решетки, в результате чего устанавли-
вается термодинамическое равновесие
между электронным газом и решеткой.

По теории Друде —Лоренца, электро-

ны обладают такой же энергией тепло-
вого движения, как и молекулы одно-
атомного газа. Поэтому, применяя вы-
воды молекулярно-кинетической тео-
рии [см. (44.3)], можно найти среднюю
скорость теплового движения электро-
нов

187

которая для Т— 300 К равна 1,1 • 10

5

 м/с.

Тепловое движение электронов, явля-
ясь хаотическим, не может привести к

возникновению тока.

При наложении внешнего электри-

ческого поля на металлический провод-

ник кроме теплового движения элект-
ронов происходит их упорядоченное

движение, т. е. возникает электрический
ток. Среднюю скорость (v) упорядо-
ченного движения электронов можно

оценить согласно формуле (96.1) для
плотности тока: j = ne(v). Выбрав до-
пустимую плотность тока, например

для медных проводов 10

7

 А/м

2

, полу-

чим, что при концентрации носителей
тока п = 8 •

 средняя скорость

 упорядоченного движения электро-

нов равна 7,8 • 10~

4

 м/с. Следовательно,

(v)

 {и), т.е. даже при очень больших

плотностях тока средняя скорость упо-
рядоченного движения электронов,
обусловливающего электрический ток,
значительно меньше их скорости теп-

лового движения. Поэтому при вы-
числениях результирующую скорость

((v)

 можно заменять скоростью

теплового движения (и).

Казалось бы, полученный результат

противоречит факту практически
мгновенной передачи электрических
сигналов на большие расстояния. Дело
в том, что замыкание электрической
цепи влечет за собой распространение
электрического поля со скоростью с

(с = 3 • 10

8

 м/с). Через время

 —

длина цепи) вдоль цепи установится
стационарное электрическое поле и в
ней начнется упорядоченное движение
электронов. Поэтому электрический
ток возникает в цепи практически од-
новременно с ее замыканием.

§ 103. Вывод основных законов

электрического тока

в классической теории

проводимости металлов

1. Закон Ома. Пусть в металличе-

ском проводнике существует электри-
ческое поле напряженностью Е = const.

Со стороны поля заряд е испытывает

действие силы F= eЕ и приобретает ус-

корение

. Таким образом,

во время свободного пробега электро-
ны движутся равноускоренно, приобре-
тая к концу свободного пробега ско-
рость

где (t) — среднее время между двумя
последовательными соударениями элек-
трона с ионами решетки.

Согласно теории Друде, в конце сво-

бодного пробега электрон,сталкиваясь
с ионами решетки, отдает им накоплен-
ную в поле энергию, поэтому скорость
его упорядоченного движения стано-
вится равной нулю. Следовательно,
средняя скорость направленного дви-
жения электрона

(103.1)

Классическая теория металлов не

учитывает распределения электронов
по скоростям, поэтому среднее время (t)
свободного пробега определяется сред-
ней длиной свободного пробега

 и

средней скоростью движения электро-
нов относительно кристаллической ре-
шетки проводника, равной (и) + (v)
({и} — средняя скорость теплового дви-
жения электронов). В § 102 было пока-
зано, что (v)

 (и), поэтому

188

Подставив значение (t) в формулу

(103.1), получим

Плотность тока в металлическом

проводнике по (96.1)

откуда видно, что плотность тока про-
порциональна напряженности поля,
т.е. получили закон Ома в дифферен-
циальной форме [ср. с (98.4)]. Коэффи-
циент пропорциональности

 j и Е

есть не что иное, как удельная прово-

димость материала

(103.2)

которая тем больше, чем больше кон-
центрация свободных электронов и
средняя длина их свободного пробега.

2. Закон Джоуля

 К концу

свободного пробега электрон под дей-
ствием поля приобретает дополнитель-
ную кинетическую энергию

(103.3)

При соударении электрона с ионом

эта энергия полностью передается ре-
шетке и идет на увеличение внутренней
энергии металла, т. е. на его нагревание.

За единицу времени электрон испы-

тывает с узлами решетки в среднем (z)
столкновений:

(103.4)

Если п — концентрация электронов,

то в единицу времени происходит n(z)
столкновений и решетке передается
энергия

(103.5)

которая идет на нагревание проводни-
ка. Подставив (103.3) и (103.4) в (103.5),
получим энергию, передаваемую ре-
шетке в единице объема проводника за
единицу времени,

(103.6)

Величина w является удельной теп-

ловой мощностью тока (см. § 99). Ко-
эффициент пропорциональности меж-
ду w и Е

2

 по (103.2) есть удельная про-

водимость % следовательно, выражение
(103.6) — закон Джоуля — Ленца в диф-
ференциальной форме [ср. с (99.7)].

3. Закон Видемана —Франца. Ме-

таллы обладают как большой электри-
ческой проводимостью, так и высокой
теплопроводностью. Это объясняется
тем, что носителями тока и теплоты в

металлах являются одни и те же части-
цы — свободные электроны, которые,
перемещаясь в металле, переносят не
только электрический заряд, но и при-
сущую им энергию хаотического (теп-

лового) движения, т.е. осуществляют

перенос теплоты.

Видеманом и Францем в 1853 г. экс-

периментально установлен закон, со-
гласно которому отношение теплопро-
водности (X) к удельной проводимос-
ти

 для всех металлов при одной и

той же температуре одинаково и увели-
чивается пропорционально термодина-
мической температуре:

где (3 — постоянная, не зависящая от
рода металла.

189

Элементарная классическая теория

электропроводности металлов позво-

лила найти значение где

к — постоянная Больцмана. Это значе-

ние хорошо согласуется с опытными

данными. Однако, как оказалось впос-
ледствии, это согласие теоретического
значения с опытным случайно. Лоренц,

применив к электронному газу статис-
тику Максвелла — Больцмана, учтя тем
самым распределение электронов по

скоростям, получил что при-
вело к резкому расхождению теории с
опытом.

Таким образом, классическая теория

электропроводности металлов объяс-
нила законы Ома и Джоуля — Ленца, а
также дала качественное объяснение
закона Видемана — Франца. Однако она
помимо рассмотренных противоречий
в законе Видемана — Франца столкну-
лась еще с рядом трудностей при объяс-
нении различных опытных данных.

Рассмотрим некоторые из них.

Температурная зависимость сопро-

тивления. Из формулы удельной про-

водимости (103.2) следует, что сопро-
тивление металлов, т.е. величина, об-
ратно пропорциональная  должна воз-
растать пропорционально

 [в (103.2)

 от температуры не зависят, а

(и)  л/г]. Этот вывод электронной те-

ории противоречит опытным данным,
согласно которым R  Г (см. § 98).

Оценка средней длины свободного

пробега электронов в металлах. Что-
бы по формуле (103.2) получить

 со-

впадающие с опытными значениями,
надо принимать

 значительно боль-

ше истинных, иными словами, предпо-
лагать, что электрон проходит без со-
ударений с ионами решетки сотни меж-
доузельных расстояний, что не согласу-
ется с теорией Друде — Лоренца.

Теплоемкость металлов. Теплоем-

кость металла складывается из тепло-
емкости его кристаллической решетки
и теплоемкости электронного газа. По-
этому атомная (т.е. рассчитанная на

1 моль) теплоемкость металла должна

быть значительно больше атомной теп-
лоемкости диэлектриков, у которых нет
свободных электронов. Согласно зако-
ну Дюлонга и Пти (см. § 73), теплоем-

кость одноатомного кристалла равна
3R. Учтем, что теплоемкость одноатом-
ного электронного газа равна

Тогда атомная теплоемкость металлов
должна быть близка к

 Однако

опыт доказывает, что она равна

 т. е.

для металлов, так же как и для диэлек-
триков, хорошо выполняется закон
Дюлонга и Пти. Следовательно, нали-
чие электронов проводимости практи-
чески не сказывается на значении теп-
лоемкости, что не объясняется класси-

ческой электронной теорией.

Указанные расхождения теории

с опытом можно объяснить тем, что
движение электронов в металлах под-
чиняется не законам классической ме-
ханики, а законам квантовой механики
и, следовательно, поведение электро-
нов проводимости надо описывать не
статистикой Максвелла — Больцмана,
а квантовой статистикой. Поэтому
объяснить затруднения элементарной
классической теории электропроводно-
сти металлов можно лишь квантовой
теорией, которая будет рассмотрена в
дальнейшем. Надо, однако, отметить,
что классическая электронная теория

не утратила своего значения и до насто-
ящего времени, так как во многих слу-
чаях (например, при малой концентра-
ции электронов проводимости и высо-
кой температуре) она дает правильные
качественные результаты и является по
сравнению с квантовой теорией про-
стой и наглядной.

190