Курс физики для вузов - часть 43

пикают индуцированные (на проводни-
ке) или связанные (на диэлектрике)
заряды, причем ближайшими к наводя-
щему заряду Q будут заряды противо-
положного знака. Эти заряды, есте-
ственно, ослабляют поле, создаваемое
зарядом Q, т.е. понижают потенциал

проводника, что приводит [см. (93.1)]
к повышению его электроемкости.

Конденсатор состоит на двух про-

водников (обкладок), разделенных ди-
электриком. На емкость конденсатора
не должны оказывать влияния окружа-
ющие тела, поэтому проводникам при-
дают такую форму, чтобы поле, созда-
ваемое накапливаемыми зарядами,

было сосредоточено в узком зазоре
между обкладками конденсатора. Это-
му условию удовлетворяют (см. § 82):

1) две плоские пластины; 2) два коак-

сиальных цилиндра; 3) две концентри-
ческие сферы. Поэтому в зависимости
от формы обкладок конденсаторы де-

лят на плоские, цилиндрические и сфе-

рические.

Так как поле сосредоточено внутри

конденсатора, то линии
начинаются на одной обкладке и кон-
чаются на другой, поэтому свободные

заряды, возникающие на разных об-

кладках, являются равными по модулю
разноименными зарядами. Под емкос-
тью конденсатора понимается физи-

ческая величина, равная отношению
заряда Q, накопленного в конденсато-
ре, к разности потенциалов

 —

между его обкладками:

(94.1)

_ Q

 '

Рассчитаем емкость плоского кон-

денсатора, состоящего из двух парал-
лельных металлических пластин пло-
щадью S каждая, расположенных на

расстоянии d друг от друга и имеющих
заряды + Q и — Q. Если расстояние меж-

ду пластинами мало по сравнению с их
линейными размерами, то краевыми
эффектами можно пренебречь и поле

между обкладками считать однород-
ным. Его можно рассчитать, используя
формулы (86.1) и (94.1). При наличии

диэлектрика между обкладками раз-

ность потенциалов между ними, соглас-
но (86.1),

(94.2)

где  — диэлектрическая проницае-
мость.

Тогда из формулы (94.1), заменяя

Q =

 с учетом (94.2), получим выра-

жение для емкости плоского конденса-
тора:

(94.3)

Для определения емкости цилиндриче-

ского конденсатора, состоящего из двух по-

лых коаксиальных цилиндров радиусами

 вставленных один в другой,

опять пренебрегая краевыми эффектами,

считаем иоле радиально-симметричным и

сосредоточенным между цилиндрическими

обкладками.

Разность потенциалов между обкладка-

ми вычислим по формуле (86.3) для ноля
равномерно заряженного бесконечного ци-
линдра с линейной плотностью т = (I —

длина обкладок). При наличии диэлектри-

ка между обкладками разность потенциалов

Подставив (94.4) в (94.1), получим вы-

ражение для емкости цилиндрического кон-

денсатора:

Для определения емкости сферического

конденсатора, состоящего из двух концент-

171

рических обкладок, разделенных сфериче-

ским слоем диэлектрика, используем форму-

лу (86.2) для разности потенциалов между

двумя точками, лежащими на расстояниях

 >

 от центра заряженной сферичес-

кой поверхности. При наличии диэлектрика

между обкладками разность потенциалов

(94.6)

Подставив (94.6) в (94.1), получим

(94.7)

ческой обкладки, то получаем формулу

(94.3). Таким образом, при малой величине

зазора по сравнению с радиусом сферы вы-

ражения для емкости сферического и плос-

кого конденсаторов совпадают. Этот вывод

справедлив и для цилиндрического конден-

сатора: при малом зазоре между цилиндра-

ми по сравнению с их радиусами в формуле

(94.5) In можно разложить в ряд, ограни-

чиваясь только членом первого порядка.

В результате опять приходим к формуле

(94.3).

Из формул (94.3), (94.5) и (94.7)

вытекает, что емкость конденсаторов

любой формы пропорциональна диэ-

лектрической проницаемости диэлект-
рика, заполняющего пространство меж-
ду обкладками. Поэтому применение в
качестве прослойки сегнетоэлектриков
значительно увеличивает емкость кон-
денсаторов.

Конденсаторы характеризуются

пробивным напряжением -— разно-
стью потенциалов между обкладками
конденсатора, при которой происходит

Рис. 146

пробой — электрический разряд через
слой диэлектрика в конденсаторе. Про-
бивное напряжение зависит от формы
обкладок, свойств диэлектрика и его
толщины.

Для увеличения емкости и варьиро-

вания ее возможных значений конден-
саторы соединяют в батареи, при этом
используется их параллельное и после-
довательное соединения.

1. Параллельное соединение кон-

денсаторов (рис. 146). У параллельно

соединенных конденсаторов разность
потенциалов на обкладках конденсато-
ров одинакова и равна

 —

 Если ем-

кости отдельных конденсаторов

...,

 то, согласно (94.1), их заряды

равны

а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи

т. е. при параллельном соединении кон-
денсаторов она равна сумме емкостей
отдельных конденсаторов.

2. Последовательное соединение

конденсаторов (рис. 147). У последова-
тельно соединенных конденсаторов заря-
ды всех обкладок равны по модулю, а раз-

ность потенциалов на зажимах батареи

где для любого из рассматриваемых кон-

денсаторов С другой стороны,

172

Рис. 147

откуда

т. е. при последовательном соединении
конденсаторов суммируются величи-
ны, обратные емкостям. Таким образом,
при последовательном соединении кон-
денсаторов результирующая емкость С
всегда меньше наименьшей емкости,
используемой в батарее.

§ 95. Энергия системы зарядов,

уединенного проводника

и конденсатора. Энергия

электростатического поля

1. Энергия системы неподвижных

точечных зарядов. Электростатиче-

ские силы взаимодействия консерватив-
ны (см. § 83); следовательно, система за-
рядов обладает потенциальной энерги-
ей. Найдем потенциальную энергию си-
стемы двух неподвижных точечных за-
рядов

 и

 находящихся на рассто-

янии г друг от друга. Каждый из этих
зарядов в поле другого обладает потен-
циальной энергией [см. (84.2) и (84.5)]:

где

 и

 соответственно потенци-

алы, создаваемые зарядом

 в точке на-

хождения заряда

 и зарядом

 в точ-

ке нахождения заряда

Согласно (84.5),

(95.1)

где

 — потенциал,

 в

точке, где находится заряд

 всеми за-

рядами, кроме

2. Энергия заряженного уединен-

ного проводника. Пусть имеется уеди-
ненный проводник, заряд, емкость и по-
тенциал которого соответственно рав-

ны Q, С, ф. Увеличим заряд данного
проводника на dQ. Для этого необходи-
мо перенести заряд dQ из бесконечнос-
ти па уединенный проводник, затратив
на это работу

 —

 =

Чтобы зарядить тело от нулевого потен-
циала до ф, необходимо совершить ра-
боту

(95.2)

Энергия заряженного проводника

равна той работе, которую необходимо
совершить, чтобы зарядить этот про-

водник:

173

Добавляя к системе из двух зарядов

последовательно заряды

 мож-

но убедиться в том, что в случае п не-
подвижных зарядов энергия взаимо-
действия системы точечных зарядов
равна

Формулу (95.3) можно получить

исходя и из того, что потенциал провод-
ника во всех его точках одинаков, так
как поверхность проводника является
эквипотенциальной. Полагая потенци-
ал проводника равным ф, из формулы

(95.1) найдем

где

заряд проводника.

3. Энергия заряженного конденса-

тора. Как всякий заряженный провод-
ник, конденсатор обладает энергией,
которая в соответствии с формулой

(95.3) равна

(95)

где Q — заряд конденсатора; С — его
емкость;

 — разность потенциалов

между обкладками конденсатора.

Используя выражение (95.4), мож-

но найти механическую (пондеромо-

 силу, с которой пластины

конденсатора притягивают друг друга.

Предположим, что первоначальное

расстояние х между пластинами уве-
личиваем на 6х. При этом приложен-
ная к пластине сила совершает работу
6А —

 счет уменьшения потенци-

альной энергия системы:
откуда

(95.5)

Подставив в (95.4) выражение

(94.3), получим

(95.6)

Производя дифференцирование при

конкретном значении энергии [см. (95.5)
и (95.6)], найдем искомую силу:

где знак «—» указывает, что сила F яв-
ляется силой притяжения.

4. Энергия электростатического

поля. Преобразуем формулу (95.4), вы-
ражающую энергию плоского конден-
сатора посредством зарядов и потенци-
алов, воспользовавшись выражением
для емкости плоского конденсатора

и разности потенциалов

между его обкладками

Тогда

(95.7)

где V = Sd — объем конденсатора.

Формула (95.7) показывает, что

энергия конденсатора выражается через
величину, характеризующую электро-
статическое поле, — напряженность Е.

Объемная плотность энергии элек-

тростатического поля (энергия едини-
цы объема)

(95.8)

Выражение (95.8) справедливо толь-

ко для изотропного диэлектрика, для
которого выполняется соотношение
(88.2):

Формулы (95.4) и (95.7) соответ-

ственно связывают энергию конденса-
тора с зарядом на его обкладках и с на-
пряженностью поля. Возникает, есте-
ственно, вопрос о локализации энергии

и что является ее носителем — заряды
или поле? Ответ на этот вопрос мол-сет

дать только опыт. Электростатика изу-
чает постоянные во времени поля непод-

вижных зарядов, т. е. в ней поля и обус-
ловившие их заряды неотделимы друг от
друга, поэтому электростатика ответить

на поставленные вопросы не может.

174