Курс физики для вузов - часть 39

Рис. 133

мерно с линейной плотностью т (т = —

заряд, приходящийся на единицу длины).

Из соображений симметрии следует, что ли-
нии напряженности будут направлены по
радиусам круговых сечений цилиндра с оди-
наковой густотой во все стороны относи-
тельно оси цилиндра.

В качестве замкнутой поверхности мыс-

ленно построим коаксиальный цилиндр ра-

диусом  и высотой  (см. рис. 133). Поток

вектора Е сквозь торцы коаксиального ци-
линдра равен нулю (торцы параллельны ли-
ниям напряженности), а сквозь боковую по-
верхность равен

 По теореме Гаусса

(81.2), при откуда

(82.5)

Если  <

 то замкнутая поверхность за-

рядов внутри не содержит, поэтому в этой
области Е = 0. Таким образом, напряжен-
ность поля вне равномерно заряженного
бесконечного цилиндра определяется выра-
жением (82.5), внутри же его поле отсут-
ствует.

§ 83. Циркуляция вектора

напряженности

электростатического поля

Если в электростатическом поле то-

чечного заряда Q из точки 1 в точку 2

вдоль произвольной траектории (рис.

134) перемещается другой точечный за-

ряд

 то сила, приложенная к заряду,

совершает работу. Работа силы F на
элементарном перемещении

 равна

Работа при перемещении заряда

из точки 1 в точку 2

(83.1)

не зависит от траектории перемещения,
а определяется только положениями
начальной 1 и конечной 2 точек. Сле-
довательно, электростатическое поле
точечного заряда является потенци-
альным, а электростатические силы —
консервативными (см. § 12).

Из формулы (83.1) следует, что ра-

бота, совершаемая при перемещении
электрического заряда во внешнем
электростатическом поле по любому
замкнутому пути L, равна нулю, т. е.

(83.2)

155

Если в качестве заряда, переносимо-

го в электростатическом поле, взять
единичный точечный положительный
заряд, то элементарная работа сил поля
на пути

 равна

 —

 где

 =

=

 — проекция вектора Ё на на-

правление элементарного перемеще-
ния. Тогда формулу (83.2) можно запи-
сать в виде

(83.3)

Интеграл

 =

 называет-

L L

ся циркуляцией вектора напряжен-
ности. Таким образом, циркуляция
вектора напряженности электростати-
ческого

 вдоль любого замкнутого

контура равна нулю. Силовое поле, об-
ладающее свойством (83.3), называет-
ся потенциальным. Из обращения в
нуль циркуляции вектора Е следует,
что линии напряженности электроста-
тического поля не могут быть замкну-
тыми, они начинаются и кончаются на
зарядах (соответственно на положи-
тельных или отрицательных) или же
уходят в бесконечность.

Формула (83.3) справедлива только

для электростатического поля. В даль-
нейшем будет показано, что для поля
движущихся зарядов (поля, изменяю-

щегося со временем) условие (83.3) не
выполняется (для него циркуляция
вектора напряженности отлична от
нуля).

§ 84. Потенциал

электростатического поля

Тело, находящееся в потенциальном

поле сил (а электростатическое поле
является потенциальным), обладает
потенциальной энергией, за счет кото-
рой силами поля совершается работа

(см. § 12). Работа консервативных сил
совершается за счет убыли потенциаль-
ной энергии [см. (12.2)]. Тогда работу
(83.1) сил электростатического поля
можно представить как разность потен-
циальных энергий, которыми обладает
точечный заряд

 в начальной и конеч-

ной точках поля заряда

(84.1)

откуда следует, что потенциальная энер-
гия заряда

 в поле заряда Q равна

Потенциальная энергия

ется с точностью до постоянной С. Зна-
чение постоянной обычно выбирается
так, чтобы при удалении заряда на бес-

конечность

 оо) потенциальная

энергия обращается в нуль ( U= 0), тог-
да С = 0 и потенциальная энергия за-
ряда

 находящегося в поле заряда Q

на расстоянии  от него, равна

(84.2)

Для одноименных зарядов

 > 0

и потенциальная энергия их взаимодей-
ствия (отталкивания) положительна,
для разноименных зарядов

 < 0 и

потенциальная энергия их взаимодей-
ствия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой п то-

чечных зарядов

 то работа

электростатических сил, совершаемая
над зарядом

 равна алгебраической

сумме работ сил, обусловленных каж-

дым из зарядов в отдельности. Поэто-

му потенциальная энергия
находящегося в этом поле, равна сум-
ме потенциальных энергий

 каждого

из зарядов:

156

(84.3)

Из формул (84.2) и (84.3) вытекает,

что отношение — не зависит от

 и

является энергетической характерис-
тикой электростатического поля, назы-

ваемой потенциалом:

Потенциал

 в какой-либо точке

электростатического поля есть физиче-
ская величина, определяемая потенци-
альной энергией единичного положи-
тельного заряда, помещенного в эту точку.

Из формул (84.4) и (84.2) следует,

что потенциал поля, создаваемого то-
чечным зарядом Q, равен

(84.5)

Работа, совершаемая силами элект-

ростатического поля при перемещении
заряда

 ИЗ ТОЧКИ

 в точку 2 [см. (84.1),

(84.4), (84.5)], может быть представле-

на как

т. е. равна произведению перемещаемо-
го заряда на разность потенциалов в
начальной и конечной точках.

Разность потенциалов двух точек 1

в  в электростатическом поле определя-

ется работой, совершаемой силами поля,
при перемещении единичного положи-

тельного заряда из точки 1 в точку 2.

При решении конкретных задач фи-

зический смысл имеет разность потенци-

алов между двумя точками электроста-
тического

Работа сил поля при перемещении

заряда

 ИЗ ТОЧКИ

 1 в точку 2 может

быть записана также в виде

(84.7)

Приравняв (84.6) и (84.7), придем к

выражению для разности потенциалов:

где интегрирование можно произво-

дить вдоль любой линии, соединяющей

начальную и конечную точки, так как
работа сил электростатического поля не
зависит от траектории перемещения.

Если перемещать заряд

 из произ-

вольной точки за пределы поля, т. е. на
бесконечность, где, по условию, потен-
циал равен нулю, то работа сил элект-
ростатического поля, согласно (84.6),

откуда

(84.9)

Таким образом, потенциал — физи-

ческая величина, определяемая рабо-
той по перемещению единичного поло-
жительного заряда при удалении его из
данной точки поля на бесконечность.

Эта работа численно равна работе, со-
вершаемой внешними силами (против

сил электростатического поля) по пе-
ремещению единичного положитель-
ного заряда из бесконечности в данную
точку поля.

Из выражения (84.4) и (84.6) следу-

ет, что единица потенциала и разности
потенциалов — вольт (В): 1 В — потен-
циал такой точки поля, в которой заряд
в 1 Кл обладает потенциальной энер-

гией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Учитывая
размерность вольта, можно показать,
что введенная в § 79 единица напряжен-
ности электростатического поля дей-
ствительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл —

=

 • м/(Кл • м) = 1

 • м)  1 В/м.

157

Из формул (84.3) и (84.4) вытекает,

что если поле создается несколькими
зарядами, то потенциал поля системы
зарядов равен алгебраической сумме
потенциалов полей всех этих зарядов:

§ 85. Напряженность

как градиент потенциала.

Эквипотенциальные поверхности

Найдем взаимосвязь между напря-

женностью электростатического по-
ля — силовой характеристикой поля, и
потенциалом — энергетической харак-
теристикой поля.

Работа по перемещению единичного

точечного положительного заряда из
одной точки поля в другую вдоль оси

х при условии, что точки расположе-

ны бесконечно близко друг к другу и

 —

 равна

 Та же работа

равна  —  =

 Приравняв оба вы-

ражения, можем записать

(85.1)

где символ частной производной под-
черкивает, что дифференцирование
производится только по х. Повторив
аналогичные рассуждения для осей у
и z, можем найти вектор Ё:

где — единичные векторы коор-
динатных осей x,y,z.

Из определения градиента (12.4) и

(12.6) следует, что

т. е. напряженность Ё поля равна гра-
диенту потенциала со знаком «—». Знак

«—» определяется тем, что вектор на-

пряженности Е поля направлен в сто-

рону убывания потенциала.

Для графического изображения рас-

пределения потенциала электростати-

ческого поля, как и в случае поля тяго-
тения (см. § 25), пользуются эквипо-
тенциальными поверхностями — по-
верхностями, во всех точках которых

потенциал  имеет одно и то же значе-
ние.

Если поле создается точечным заря-

дом, то его потенциал, согласно (84.5),

Таким образом, эквипо-

тенциальные поверхности в данном
случае — концентрические сферы.

С другой стороны, линии напряженно-
сти в случае точечного заряда — ради-
альные прямые. Следовательно, линии
напряженности в случае точечного за-

ряда перпендикулярны эквипотенциаль-
ным поверхностям.

Линии напряженности всегда нор-

мальны к эквипотенциальным поверх-

ностям. Действительно, все точки экви-
потенциальной поверхности имеют
одинаковый потенциал, поэтому рабо-
та по перемещению заряда вдоль этой
поверхности равна нулю, т. е. электро-
статические силы, действующие на за-
ряд, всегда направлены по нормалям к
эквипотенциальным поверхностям.

Следовательно, вектор Ё всегда норма-

леи к эквипотенциальным поверхнос-

тям, а поэтому линии вектора Ё ор-
тогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей

вокруг каждого заряда и каждой систе-
мы зарядов можно провести бесчислен-
ное множество. Однако их обычно про-
водят так, чтобы разности потенциалов
между любыми двумя соседними экви-
потенциальными поверхностями были

158