Курс физики для вузов - часть 38

Рис. 124

ния до рассматриваемых точек поля.

Вектор, направленный по оси диполя
(прямой, проходящей через оба заряда)

от отрицательного заряда к положи-
тельному и равный расстоянию между
ними, называется плечом диполя

Вектор

(80.3)

совпадающий по направлению с плечом

диполя и равный произведению заряда

\Q\ на плечо Г, называется электриче-

ским моментом диполя или диполь-

 моментом (рис. 124).

Согласно

(80.2), напряженность

 диполя в

произвольной точке

где

 — напряженности полей, со-

здаваемых соответственно положитель-
ным и отрицательным зарядами.

Воспользовавшись этой формулой,

рассчитаем напряженность поля в про-
извольной точке на продолжении оси
диполя и на перпендикуляре к середи-
не его оси.

1. Напряженность поля на продол-

жении оси диполя в точке  (рис.

 а).

Как видно из рисунка (рисунок не в

масштабе), напряженность поля дипо-

ля в точке А направлена по оси диполя
и по модулю равна

 =

 - Е_.

Обозначив расстояние от точки А до

середины оси диполя через

 на осно-

вании формулы (79.2) для случая ваку-

ума можно записать

Согласно определению диполя,

 поэтому

2. Напряженность поля на перпен-

дикуляре, восставленном к оси из его

середины, в точке В [рис. 125, б (рису-
нок не в масштабе)]. Точка В равноуда-

лена от зарядов, поэтому

(80.4)

где  — расстояние от точки В до сере-

дины плеча диполя.

Из подобия равнобедренных треу-

гольников, опирающихся на плечо ди-
поля и вектор

 получим

Рис. 125

151

откуда

(80.5)

Подставив в выражение (80.5) зна-

чение (80.4), получим

Вектор

 имеет направление, про-

тивоположное вектору электрического
момента диполя (вектор  направлен от
отрицательного заряда к положитель-
ному).

§ 81. Теорема Гаусса

для электростатического поля

в вакууме

Вычисление напряженности поля

системы электрических зарядов с помо-
щью принципа суперпозиции электро-
статических полей можно значительно
упростить, используя выведенную не-
мецким ученым К.Гауссом (1777 —

1855) теорему, определяющую поток

вектора напряженности электрическо-
го поля сквозь произвольную замкну-
тую поверхность.

В соответствии с формулой (79.3)

поток вектора напряженности сквозь
сферическую поверхность радиуса
охватывающую точечный заряд Q, на-

ходящийся в ее центре (рис. 126), равен

Этот результат справедлив для замк-

нутой поверхности любой формы. Дей-
ствительно, если окружить сферу (рис.

126) произвольной замкнутой поверх-

ностью, то каждая линия напряженно-
сти, пронизывающая сферу, пройдет и
сквозь эту поверхность.

Рис. 126

Рис. 127

Если замкнутая поверхность произ-

вольной формы охватывает заряд (рис.

127), то при пересечении любой выб-

ранной линии напряженности с поверх-
ностью она то входит в нее, то выходит
из нее. Нечетное число пересечений при
вычислении потока в конечном счете
сводится к одному пересечению, так как
поток считается положительным, если
линии напряженности выходят из по-
верхности, и отрицательным для ли-
ний, входящих в поверхность. Если зам-
кнутая поверхность не охватывает за-
ряда, то поток сквозь нее равен нулю,
так как число линий напряженности,
входящих в поверхность, равно числу

линий напряженности, выходящих из

нее.

Таким образом, для поверхности

любой формы, если она замкнута и зак-
лючает в себя точечный заряд Q, поток
вектора Е будет равен —, т. е.

Знак потока совпадает со знаком за-

ряда Q.

Рассмотрим общий случай произ-

вольной поверхности, окружающей п

зарядов. В соответствии с принципом

суперпозиции (80.2) напряженность Ё

152

поля, создаваемого всеми зарядами,
равна сумме напряженностей

 полей,

создаваемых каждым зарядом в отдель-

ности: Поэтому

Согласно (81.1), каждый из интегра-

лов, стоящий под знаком суммы, равен

Следовательно,

(81.2)

Формула (81.2) выражает теоре-

му Гаусса для электростатическо-

го поля в вакууме: поток вектора на-

пряженности электростатического
поля в вакууме сквозь произвольную

замкнутую поверхность равен алгеб-
раической сумме заключенных внут-
ри этой поверхности зарядов, делен-
ной па

 Эта теорема выведена мате-

матически для векторного поля лю-
бой природы русским математиком

 В. Остроградским (1801-1862), а

затем независимо от него примени-
тельно к электростатическому полю —
К. Гауссом.

В общем случае электрические заря-

ды могут быть «размазаны» с некото-
рой объемной плотностью р =

различной в разных местах простран-
ства. Тогда суммарный заряд, заклю-
ченный внутри замкнутой поверхнос-
ти S, охватывающей некоторый объем

V, равен Используя этот ре-

зультат, теорему Гаусса (81.2) можно
записать так:

§ 82. Применение теоремы

Гаусса к расчету некоторых

электростатических полей

в вакууме

1. Поле равномерно заряженной беско-

нечной плоскости. Бесконечная плоскость

(рис. 128) заряжена с постоянной поверх-

ностной плотностью — за-
ряд, приходящийся на единицу поверхнос-
ти). Линии напряженности перпендикуляр-
ны рассматриваемой плоскости и направле-
ны от нее в обе стороны.

В качестве замкнутой поверхности мыс-

ленно построим цилиндр, основания кото-
рого параллельны заряженной плоскости, а
ось перпендикулярна ей. Так как образую-
щие цилиндра параллельны линиям напря-
женности (cos  = 0), то поток вектора на-
пряженности сквозь боковую поверхность

цилиндра равен нулю, а полный поток
сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь
его основания (площади оснований равны
и для основания

 совпадает с Е), т.е. ра-

вен 2ES. Заряд, заключенный внутри пост-
роенной цилиндрической поверхности, ра-
вен

 Согласно теореме Гаусса (81.2),

,откуда

(82.1)

Следует отметить, что это формула спра-

ведлива только для малых (по сравнению с
размерами плоскости) расстояний от плос-
кости, так как только тогда плоскость мож-
но считать бесконечной. Из формулы (82.1)
следует, что поле равномерно заряженной
плоскости однородно.

2. Поле двух бесконечных параллель-

ных разноименно заряженных плоскостей
(рис. 129). Пусть плоскости заряжены рав-

Рис. 128

153

Рис. 129

 разноименными зарядами с повер-

хностными плотностями

 и

 Поле та-

ких плоскостей найдем как суперпозицию
полей, создаваемых каждой из плоскостей
в отдельности. На рисунке верхние стрелки
соответствуют полю от положительно заря-
женной плоскости, нижние — от отрица-
тельно заряженной. Слева и справа от плос-
костей поля вычитаются (линии напряжен-
ности направлены навстречу друг другу),
поэтому здесь напряженность поля Е = 0.

В области между плоскостями Е —

 +

 и Е_ определяются по формуле (82.1)].

Поэтому результирующая напряженность

(82.2)

Таким образом, результирующая напря-

женность поля в области между плоскостя-
ми описывается формулой (82.2), а вне
объема, ограниченного плоскостями, равна
нулю.

3. Поле равномерно заряженной сфе-

рической поверхности. Сферическая по-
верхность радиусом R с общим зарядом Q
заряжена равномерно с поверхностной

плотностью

 Благодаря равномерному

распределению заряда по поверхности поле,
создаваемое им, обладает сферической сим-
метрией. Поэтому линии напряженности

направлены радиалыю (рис. 130). Построим
мысленно сферу радиусом г, имеющую об-

щий центр с заряженной сферой. Если  > R,

то внутрь поверхности попадает весь заряд Q,

создающий рассматриваемое поле, и, по те-
ореме Гаусса (81.2),

 = —, откуда

(82.3)

Таким образом, напряженность поля вне

равномерно заряженного шара описывает-
ся формулой (82.3), а внутри него изменяет-
ся линейно с расстоянием  согласно выра-
жению (82.4). График зависимости

 для

рассмотренного случая приведен на рис.

5. Поле равномерно заряженного беско-

нечного цилиндра (нити). Бесконечный ци-
линдр радиусом R (рис.

 заряжен равно-

 132

Рис.

 130

Рис.

 131

154

При r> R поле убывает с расстоянием

по такому же закону, как у точечного заря-

да. График зависимости

 приведен на

рис.

 Если  < R, то замкнутая поверх-

ность не содержит внутри зарядов, поэтому
внутри равномерно заряженной сферичес-
кой поверхности электростатическое поле
отсутствует (Е— 0).

4. Поле объемно заряженного шара. Шар

радиусом R с общим зарядом Q заряжен рав-

 —

заряд, приходящийся на единицу объема).

Учитывая соображения симметрии (см.
п. 3), можно показать, что для напряженно-
сти поля

 шара получится тот же резуль-

тат, что и в предыдущем случае [см. (82.3)].

Внутри шара напряженность поля будет

другая. Сфера радиусом  < R. охватывает за-

ряд Q' =

 Поэтому, согласно теоре-