Курс физики для вузов - часть 29

Термический КПД цикла Карно, со-

гласно (56.2),

Применив уравнение (55.5) для ади-

абат 2 — 3 и 4—1, получим

откуда

(59.3)

Подставляя (59.1) и (59.2) в форму-

лу (56.2) и учитывая (59.3), получаем

(59.4)

т. е. для цикла Карно КПД действитель-
но определяется только температурами
нагревателя и холодильника (доказа-
тельство теоремы Карно). Для повыше-
ния КПД необходимо увеличивать раз-

ность температур нагревателя  холо-

дильника. Например, при

 = 400 К и

 = 300 К  — 0,25. Если же темпера-

туру нагревателя повысить на 100 К,
а температуру холодильника понизить
на 50 К, то  = 0,5. КПД всякого реаль-
ного теплового двигателя из-за трения
и неизбежных тепловых потерь гораз-
до меньше вычисленного для цикла

Карно.

Обратный цикл Карно положен в

основу действия тепловых насосов.
В отличие от холодильных машин теп-
ловые насосы должны как можно боль-
ше тепловой энергии отдавать горяче-
му телу, например системе отопления.
Часть этой энергии отбирается от окру-
жающей среды с более низкой темпера-
турой, а часть получается за счет меха-
нической работы, производимой, на-
пример, компрессором.

Теорема Карно послужила основа-

нием для установления термодинами-

ческой шкалы температур. Сравнив
левую и правую части формулы (59.4),
получим

(59.5)

т.е. для сравнения температур

 и

двух тел необходимо осуществить цикл

Карно, в котором одно тело использу-
ется в качестве нагревателя, другое —
как холодильник. Из равенства (59.5)
видно, что отношение температур тел
равно отношению отданного в этом
цикле количества теплоты к получен-
ному. Согласно теореме Карно, хими-
ческий состав рабочего тела не влияет
на результаты сравнения температур,
поэтому такая термодинамическая шка-
ла не связана со свойствами какого-то
определенного термометрического

тела. Отметим, что практически таким

образом сравнивать температуры труд-
но, так как реальные термодинамиче-
ские процессы, как уже указывалось,

являются необратимыми.

Контрольные вопросы

В чем суть закона Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы моле-

кул?

Почему колебательная степень свободы обладает вдвое большей энергией, чем поступа-

тельная и вращательная?

Что такое внутренняя энергия идеального газа? В результате каких процессов может

изменяться внутренняя энергия системы?

115

• Что такое теплоемкость газа? Какая из теплоемкостей —

 — больше и почему?

• Как объяснить температурную зависимость молярной теплоемкости водорода?
• Чему равна работа изобарного расширения 1 моль идеального газа при нагревании на 1 К?
• Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется при постоянном дав-

лении?

• Температура газа в цилиндре постоянна. Запишите на основе первого начала термоди-

намики соотношение между сообщенным количеством теплоты и совершенной рабо-

той.

• Газ переходит из одного и того же начального состояния 1 в одно и то же конечное состо-

яние 2 в результате следующих процессов: а) изотермического; б) изобарного; в) изо-
хорного. Рассмотрев эти процессы графически, покажите: 1) в каком процессе работа
расширения максимальна; 2) когда газу сообщается максимальное количество теп-
лоты.

• Газ переходит из одного и того же начального состояния 1 в одно и то же конечное состо-

яние 2 в результате следующих процессов: а) изобарного процесса; б) последователь-
ных изохорного и изотермического процессов. Рассмотрите эти переходы графически.

Одинаковы или различны в обоих случаях: 1) изменение внутренней энергии; 2) затра-

ченное количество теплоты?

• Почему адиабата более крутая, чем изотерма?
• Как изменится температура газа при его адиабатном сжатии?
• Показатель политропы п > 1. Нагревается или охлаждается идеальный газ при сжатии?
• Проанализируйте прямой и обратный циклы.
• Чем отличаются обратимые и необратимые процессы? Почему все реальные процессы

необратимы?

• Возможен ли процесс, при котором теплота, взятая от нагревателя, полностью преобра-

зуется в работу?

• В каком направлении может изменяться энтропия замкнутой системы? незамкнутой

системы?

• Дайте понятие энтропии (определение, размерность и математическое выражение энт-

ропии для различных процессов).

• Изобразите в системе координат Т, S изотермический и адиабатный процессы.
• Представив цикл Карно на диаграмме р,

 укажите, какой площадью опре-

деляется: 1) работа, совершенная над газам; 2) работа, совершенная самим расширяю-

щимся газом.

• Представьте графически цикл Карно в переменных Т, S.

ЗАДАЧИ

9.1. Азот массой 1 кг находится при температуре 280 К. Определите: 1) внутреннюю энер-

гию молекул азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул
азота. Газ считать идеальным. [1) 208 кДж; 2) 83,1 кДж]

9.2. Определите удельные теплоемкости  и  некоторого двухатомного газа, если плот-

ность этого газа при нормальных условиях

 кг/м

3

.

 650 Дж/(кг • К),  = 910 Дж/кг • К)]

9.3. Водород массой  = 20 г был нагрет на

 100 К при постоянном давлении. Опре-

делите: 1) количество теплоты Q, переданное газу; 2) приращение

 внутренней энергии

газа; 3) работу А расширения. [1) 29,3 кДж; 2) 20,9 кДж; 3) 8,4 кДж]

9.4. Кислород объемом 2 л находится под давлением 1 МПа. Определите, какое количе-

ство теплоты необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление вдвое в результате
изохорного процесса. [5 кДж]

9.5. Некоторый газ массой 2 кг находится при температуре 300 К и под давлением

0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газа увеличилось в три раза. Ра-

116

бота, затраченная па сжатие, А = -1,37 кДж. Определите: 1) какой это газ; 2) первоначаль-

ный удельный объем газа. [1) гелий; 2) 1,25

9.6. Двухатомный идеальный газ занимает объем

 1 л и находится под давлением

 — 0,1 МПа. После адиабатного сжатия газ характеризуется объемом

 и давлением

В результате последующего изохорного процесса газ охлаждается до первоначальной тем-

пературы, а его давление  = 0,2 МПа. Определите: 1) объем

 2) давление  Представь-

те эти процессы графически. [1) 0,5 л; 2) 0,26 МПа]

9.7. Идеальный газ количеством вещества v — 2 моль сначала изобарно нагрели так,

что его объем увеличился в п — 2 раза, а затем изохорно охладили так, что давление газа

уменьшилось в п = 2 раза. Определите приращение энтропии в ходе указанных процессов.

 Дж/К]

9.8. Тепловая машина, совершая обратный цикл Карно, за один цикл совершает работу

1 кДж. Температура нагревателя 400 К, а холодильника 300 К. Определите: 1) КПД маши-

ны; 2) количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за цикл; 3) количество

теплоты, отдаваемое холодильнику за цикл. [1) 25 %; 2) 4 кДж; 3) 3 кДж]

9.9. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД которого равен 0,3. Опре-

делите работу

 сжатия газа, если работа изотермического расширения со-

ставляет 300  ж.

 Дж|

Глава 10

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ И ТВЕРДЫЕ ТЕЛА

§ 60. Силы и потенциальная

энергия межмолекулярного

взаимодействия

Модель идеального газа (см. § 41), ис-

пользуемая в молекулярно-кинетиче-
ской теории газов, позволяет довольно
хорошо описывать поведение разрежен-
ных реальных газов. При выводе урав-

нения состояния идеального газа раз-
мерами молекул и их взаимодействием
друг с другом пренебрегают. Повыше-
ние давления приводит к уменьшению
среднего расстояния между молекула-
ми, поэтому необходимо учитывать
объем молекул и взаимодействие меж-
ду ними. Так, в 1 м

3

 газа при нормаль-

ных условиях содержится 2,68 • 10

25

 мо-

лекул, занимающих объем примерно

 м

3

 (радиус молекулы примерно

 м), которым по сравнению с объе-

мом газа (1

 можно пренебречь. При

давлении 500 МПа (1 атм = 101,3 кПа)

объем молекул составит уже половину
всего объема газа. Таким образом, при
высоких давлениях указанная модель
идеального газа

При рассмотрении реальных га-

зов — газов, свойства которых зависят
от взаимодействия молекул, надо учи-
тывать силы межмолекулярного вза-

имодействия. Они проявляются на
расстояниях  10~

9

 м и быстро убыва-

ют с увеличением расстояния между
молекулами. Такие силы называются
короткодействующими.

В XX в., по мере развития представ-

лений о строении атома и квантовой ме-
ханики, было выяснено, что между мо-
лекулами вещества одновременно дей-
ствуют силы притяжения и силы от-
талкивания. На рис. 90, а приведена
качественная зависимость сил межмо-
лекулярного взаимодействия от расс-
тояния  между молекулами, где

 — соответственно силы отталкива-

117

Рис. 90

ния и притяжения, a F — их результи-
рующая.

Силы отталкивания считаются поло-

жительными, а силы взаимного притя-

жения — отрицательными.

На расстоянии

 результирую-

щая сила F = 0, т. е. силы притяжения и
отталкивания уравновешивают друг
друга. Таким образом, расстояние  со-
ответствует равновесному расстоянию
между молекулами, на котором бы они
находились в отсутствие теплового дви-
жения. При

 преобладают силы от-

талкивания (F > 0), при

 — силы

притяжения (F < 0). На расстояниях

 >

 м межмолекулярные силы вза-

имодействия практически отсутствуют

Элементарная работа

 силы

увеличении расстояния между молеку-
лами на  r совершается за счет умень-
шения взаимной потенциальной энер-

гии молекул, т. е.

(60.1)

Из анализа качественной зависимо-

сти потенциальной энергии взаимодей-
ствия молекул от расстояния между
ними (рис. 90, б) следует, что если мо-

лекулы находятся друг от друга на рас-

стоянии, на котором межмолекулярные
силы взаимодействия не действуют

 сю), то П  0. При постепенном

сближении молекул между ними появ-
ляются силы притяжения (F < 0), ко-
торые совершают положительную рабо-
ту (ЬА = Fdr > 0). Тогда, согласно

(60.1), потенциальная энергия взаимо-

действия уменьшается, достигая мини-
мума при

При  <  с уменьшением  силы от-

талкивания (F > 0) резко возрастают и
совершаемая против них работа отри-
цательна (ЬА =

 < 0). Потенциаль-

ная энергия начинает также резко воз-
растать и становится положительной.
Из данной потенциальной кривой сле-
дует, что система из двух взаимодей-
ствующих молекул в состоянии устой-
чивого равновесия

 обладает ми-

нимальной потенциальной энергией.

Критерием различных агрегатных

состояний вещества является соотно-
шение между величинами

 и кТ.

 — наименьшая потенциальная

энергия взаимодействия молекул — оп-
ределяет работу, которую нужно совер-
шить против сил притяжения для
чтобы разъединить молекулы, находя-

щиеся в равновесии (г =

 кТ опре-

деляет удвоенную среднюю энергию,

приходящуюся на одну степень свобо-

ды хаотического (теплового) движения
молекул.

Если

 кТ, то вещество нахо-

дится в газообразном состоянии, так как

интенсивное тепловое движение моле-
кул препятствует соединению молекул,
сблизившихся до расстояния

 т. е. ве-

роятность образования агрегатов из мо-
лекул достаточно мала.

Если

 кТ, то вещество находит-

ся в твердом состоянии, так как молеку-

лы, притягиваясь друг к другу, не могут

удалиться на значительные расстояния

118