Курс физики для вузов - часть 27

Разделив переменные и учитывая,

С

что —— =  [см. (53.8)], найдем

Су

Интегрируя это уравнение в преде-

лах от  ДО  и соответственно от

 до

 а затем потенцируя, придем к выра-

жению

Так как состояния 1 и 2 выбраны

произвольно, то можно записать

(55.4)

Полученное выражение есть урав-

нение адиабатного процесса, называ-
емое также уравнением Пуассона.

Для перехода к переменным Т, V или

р, Т исключим из (55.4) с помощью
уравнения Клапейрона — Менделеева

pV — - RT соответственно давление

или объем:

(55.5)

(55.6)

Выражения (55.4) — (55.6) представ-

ляют собой уравнения адиабатного про-
цесса. В этих уравнениях безразмерная
величина [см. (53.8) и (53.2)]

(55.7)

называется показателем адиабаты
(или коэффициентом Пуассона). Для
одноатомных газов (Ne,

 и др.), дос-

таточно хорошо удовлетворяющих ус-
ловию идеальности, г = 3,  = 1,67. Для
двухатомных газов

 и др.)

 5,

 = 1,4. Значения

 вычисленные по

формуле (55.7), хорошо подтверждают-

ся экспериментом.

Рис. 85

График зависимости между пара-

метрами состояния идеального газа при

 =.0 называется адиабатой. Адиаба-

та в координатах р, V изображается ги-
перболой (рис. 85). На рисунке видно,
что адиабата (р

 = const) более кру-

та, чем изотерма

 = const). Это

объясняется тем, что при адиабатном
сжатии увеличение давления газа обус-
ловлено не только уменьшением его
объема, как при изотермическом сжа-
тии, но и повышением температуры.

Вычислим работу, совершаемую га-

зом в адиабатном процессе. Запишем
уравнение (55.1) в виде

Если газ адиабатно расширяется от

объема

 до

 температура

уменьшается от

 до

 и работа рас-

ширения идеального газа

(55.8)

Применяя те же приемы, что и при

выводе формулы (55.5), выражение

(55.8) для работы при адиабатном рас-

ширении можно преобразовать к виду

_
~ М

107

Работа, совершаемая газом при

адиабатном расширении 1 — 2 (опре-

деляется тонированной площадью на
рис. 85), меньше, чем при изотерми-
ческом расширении. Это объясняется

тем, что при адиабатном расширении
происходит охлаждение газа, тогда
как при изотермическом температура
поддерживается постоянной за счет
притока извне эквивалентного коли-
чества теплоты.

Рассмотренные изохорный, изобар-

ный, изотермический и адиабатный
процессы имеют общую

 —

они происходят при постоянной тепло-
емкости. В первых двух процессах теп-
лоемкости соответственно равны

 в изотермическом процессе (d

 0)

теплоемкость равна ±оо, в адиабатном

теплоемкость равна нулю. Про-

цесс, в котором теплоемкость остается
постоянной, называется политроп-
ным.

Исходя из первого начала термоди-

намики при условии постоянства теп-
лоемкости

 const), можно вывести

уравнение политропы:

(55.9)

где п —

— показатель политро-

пы. График зависимости между пара-
метрами состояния идеального газа
при С= const называется политропой.
Политропа в координатах р, V— гипер-
бола, занимающая промежуточное по-

ложение между изотермой и адиаба-
той.

Очевидно, что при С = 0, п —  из

(55.9) получается уравнение адиабаты;
при

 оо, п — 1 — уравнение изотер-

мы; при

 — уравнение изо-

бары, при С= Су, п = ±оо — уравнение
изохоры. Таким образом, все рассмот-
ренные процессы являются частными
случаями

 процесса.

§ 56. Обратимые

и необратимые процессы.

Круговой процесс (цикл)

Термодинамический процесс назы-

вается обратимым, если он может про-
исходить как в прямом, так и в обрат-
ном направлении, причем если такой
процесс происходит сначала в прямом,
а затем в обратном направлении и сис-
тема возвращается в исходное состоя-
ние, то в окружающей среде и в этой си-
стеме не происходит никаких измене-

ний. Всякий процесс, не удовлетворя-
ющий этим условиям, будет необрати-

мым.

Любой обратимый процесс являет-

 равновесным. Обратимость равновес-

ного процесса, происходящего в систе-
ме, следует из того, что ее любое про-
межуточное состояние есть состояние
термодинамического равновесия; для
него «безразлично», идет процесс в пря-
мом или обратном направлении.

Реальные процессы сопровождают-

ся диссипацией энергии (из-за трения,
теплопроводности и т.д.), которая нами
не обсуждается. Обратимые процес-
сы — это идеализация реальных процес-
сов. Их рассмотрение важно по двум
причинам: 1) многие процессы в при-
роде и технике близки к обратимым;
2) для обратимых процессов термичес-
кий коэффициент полезного действия
максимален, что позволяет указать пути
повышения КПД реальных тепловых
двигателей.

Круговым процессом (или циклом)

называется процесс, при котором сис-
тема, пройдя через ряд состояний, воз-
вращается в исходное. На диаграмме
p—V равновесный круговой процесс
изображается замкнутой кривой (рис.

86). Цикл, совершаемый идеальным га-
зом, можно разбить на процессы расши-

рения (1 — 2)  сжатия (2— 1) газа.

108

Рис. 86

Работа расширения (определяется

площадью фигуры положи-
тельна (dV > 0), работа сжатия (опре-
деляется площадью фигуры
отрицательна (dV < 0). Следовательно,
работа, совершаемая газом за цикл, опре-
деляется площадью, охватываемой зам-

кнутой кривой. Если за цикл совершает-
ся положительная работа
(цикл протекает по часовой стрелке), то
он называется прямым (рис. 86, а), если

за цикл совершается отрицательная ра-
бота . (цикл протекает
против часовой стрелки), то он называ-
ется обратным (рис. 86, б).

Прямой цикл используется в теп-

ловых двигателях — периодически

действующих двигателях, совершаю-
щих работу за счет полученной извне
теплоты. Обратный цикл используется
в холодильных машинах — периоди-
чески действующих установках, в кото-
рых за счет работы внешних сил тепло-
та переносится к телу с более высокой
температурой.

В результате кругового процесса си-

стема возвращается в исходное состоя-
ние и, следовательно, полное изменение
внутренней энергии газа равно нулю.
Поэтому первое начало термодинами-
ки (51.1) для кругового процесса

(56.1)

т. е. работа, совершаемая за цикл, равна
количеству полученной извне теплоты.

Однако в результате кругового процес-

са система может теплоту как получать,

так и отдавать, поэтому

где Q

1

 — количество теплоты, получен-

ное системой; Q

2

 — количество тепло-

ты, отданное системой.

Поэтому термический коэффици-

ент полезного действия для кругово-
го процесса

§ 57. Энтропия,

ее статистическое толкование

и связь с термодинамической

вероятностью

Понятие энтропии введено в 1865 г.

Р. Клаузиусом. Для выяснения физи-

ческого содержания этого понятия рас-
сматривают отношение теплоты Q, по-
лученной телом в изотермическом про-

цессе, к температуре Т теплоотдающе-
го тела, называемое приведенным ко-

личеством теплоты.

Приведенное количество теплоты,

сообщаемое телу на бесконечно малом
участке процесса, равно . Строгий
теоретический анализ показывает, что

приведенное количество теплоты, сооб-
щаемое телу в любом обратимом круго-
вом процессе, равно

(57.1)

Из равенства нулю интеграла (57.1),

взятого но замкнутому контуру, следу-
ет, что подынтегральное выражение

— есть полный дифференциал неко-

торой функции, которая определяется
только состоянием системы и не зави-
сит от пути, каким система пришла в это
состояние. Таким образом,

109

(57.2)

Функция состояния, дифференциалом

которой является , называется эн-

тропией и обозначается S.

Из формулы (57.1) следует, что для

обратимых процессов изменение энтро-
пии

(57.3)

В термодинамике доказывается, что

энтропия системы, совершающей нео-
братимый цикл, возрастает:

(57.4)

Выражения (57.3) и (57.4) относят-

ся только к замкнутым системам, если
же система обменивается теплотой с
внешней средой, то ее энтропия может
вести себя любым образом. Соотноше-
ния (57.3) и (57.4) можно представить
в виде неравенства Клаузиуса

(57.5)

т.е. энтропия замкнутой системы мо-
жет либо возрастать (в случае необра-
тимых процессов), либо оставаться по-
стоянной (в случае обратимых процес-
сов).

Если система совершает равновес-

ный переход из состояния 1 в состоя-

ние 2, то, согласно (57.2), изменение эн-
тропии

(57.6)

где подынтегральное выражение и пре-
делы интегрирования определяются че-
рез величины, характеризующие иссле-
дуемый процесс. Энтропия определяет-
ся с точностью до аддитивной посто-

янной. Значение постоянной, с которой

определяется энтропия, не играет роли,
так как физический смысл имеет не
сама энтропия, а разность энтропий.

Исходя из выражения (57.6), найдем

изменение энтропии в процессах иде-

или

т. е. изменение энтропии

 идеаль-

ного газа при переходе его из состоя-
ния 1 в состояние 2 не зависит от вида
процесса перехода 1

 2.

Так как для адиабатного процесса

 0, то AS = 0 и, следовательно,

S = const, т. е. адиабатный обратимый
процесс протекает при постоянной эн-

тропии. Поэтому его часто называют
изоэнтропийным процессом. Из фор-
мулы (57.7) следует, что при изотерми-
ческом процессе (

 =

при изохорном процессе ( V

1

 = V

2

)

Энтропия обладает свойством адди-

тивности: энтропия системы равна
сумме энтропий тел, входящих в систе-

му. Свойством аддитивности обладают

также внутренняя энергия, масса, объем
(температура и давление таким свой-
ством не обладают).

110