Курс физики для вузов - часть 28

Более глубокий смысл энтропии

вскрывают в статистической физике:
энтропия связывается с термодинами-
ческой вероятностью состояния системы.

Термодинамическая вероятность W

состояния системы — это число спосо-
бов, которыми может быть реализова-
но данное состояние макроскопической

системы, или число микросостояний,
осуществляющих данное макросостоя-
ние [по определению, , т. е. термо-
динамическая вероятность не есть ве-
роятность в математическом смысле
(последняя  1!)].

Согласно Больцману (1872), энтро-

пия системы и термодинамическая ве-

роятность связаны между собой следу-

ющим образом:

(57.8)

где к — постоянная Больцмана.

Таким образом, энтропия определя-

ется логарифмом числа микросостоя-
ний, с помощью которых может быть
реализовано данное макросостояние.

Следовательно, энтропия может рас-

сматриваться как мера вероятности со-
стояния термодинамической системы.

Формула Больцмана (57.8) позволяет

дать энтропии следующее статисти-
ческое толкование: энтропия является

мерой неупорядоченности системы.

В самом деле, чем больше число мик-

росостояний, реализующих данное мак-
росостояние, тем больше энтропия.

В состоянии равновесия — наиболее ве-

роятного состояния системы — число

микросостояний максимально, при
этом максимальна и энтропия.

Так как реальные процессы необра-

тимы, то можно утверждать, что все
процессы в замкнутой системе ведут к
увеличению ее энтропии — принцип

возрастания энтропии. При статисти-

ческом толковании энтропии это озна-
чает, что процессы в замкнутой систе-

ме идут в направлении увеличения чис-

ла микросостояний, иными словами, от

менее вероятных состояний к более ве-

роятным — до тех пор, пока вероятность

состояния не станет максимальной.

Сопоставляя выражения (57.5) и

(57.8), видим, что энтропия и термоди-
намическая вероятность состояний

замкнутой системы могут либо возрас-
тать (в случае необратимых процессов),
либо оставаться постоянными (в случае
обратимых процессов).

Отметим, однако, что эти утвержде-

ния имеют место для систем, состоящих
из очень большого числа частиц, но
могут нарушаться в системах с малым

числом частиц. Для «малых» систем

могут наблюдаться флуктуации, т.е.
энтропия и термодинамическая вероят-
ность состояний замкнутой системы на
определенном отрезке времени могут
убывать, а не возрастать, или оставать-
ся постоянными.

§ 58. Второе начало

термодинамики

Первое начало термодинамики, вы-

ражая закон сохранения и превращения
энергии, не позволяет установить на-
правление протекания термодинами-
ческих процессов. Кроме того, можно
представить процессы, не противореча-
щие первому началу, в которых энергия
сохраняется, а в природе они не проис-
ходят. Появление второго начала тер-
модинамики связано с необходимостью
дать ответ на вопрос, какие процессы в
природе возможны, а какие нет. Второе
начало термодинамики определяет на-
правление протекания термодинами-
ческих процессов.

Используя понятие энтропии и не-

равенство Клаузиуса (см. § 57), второе
начало термодинамики можно сфор-

111

мулировать как закон возрастания

энтропии замкнутой системы при нео-
братимых процессах: любой необрати-

мый процесс в замкнутой системе про-

исходит так, что энтропия системы
при этом возрастает.

Можно дать более краткую форму-

лировку второго начала термодинами-

ки: в процессах, происходящих в замкну-
той системе, энтропия не убывает.

Здесь существенно, что речь идет о зам-
кнутых системах, так как в незамкну-
тых системах энтропия может вести
себя любым образом (убывать, возрас-
тать, оставаться постоянной). Кроме
того, отметим еще раз, что энтропия
остается постоянной в замкнутой сис-
теме только при обратимых процессах.
При необратимых процессах в замкну-
той системе энтропия всегда возра-
стает.

Формула Больцмана (57.8) позволя-

ет объяснить постулируемое вторым
началом термодинамики возрастание
энтропии в замкнутой системе при нео-
братимых процессах: возрастание энт-

ропии означает переход системы из ме-

нее вероятных в более вероятные состо-

яния. Таким образом, формула Больц-

мана позволяет дать статистическое
толкование второго начала термодина-
мики. Оно, являясь статистическим за-
коном, описывает закономерности ха-
отического движения большого числа
частиц, составляющих замкнутую сис-
тему.

Укажем еще две формулировки вто-

рого начала термодинамики:

1) по Кельвину: невозможен круго-

вой прогресс, единственным результа-
том которого является превращение
теплоты, полученной от нагревателя, в

эквивалентную ей работу;

2) по Клаузиусу: невозможен круго-

вой процесс, единственным результа-
том которого является передача теп-

лоты от менее нагретого тела к более

нагретому.

Можно довольно просто доказать

(предоставим это читателю) эквивален-

тность формулировок Кельвина и Кла-
узиуса. Кроме того, показано, что если
в замкнутой системе провести вообра-
жаемый процесс, противоречащий вто-
рому началу термодинамики в форму-
лировке Клаузиуса, то он сопровожда-
ется уменьшением энтропии. Это же
доказывает эквивалентность формули-
ровки Клаузиуса (а следовательно, и

Кельвина) и статистической формули-
ровки, согласно которой энтропия зам-
кнутой системы не может убывать.

В середине XIX в. возникла проблема так

называемой тепловой смерти Вселенной.

Рассматривая Вселенную как замкнутую

систему и применяя к ней второе начало тер-

модинамики, Клаузиус свел сто содержание

к утверждению, что энтропия РЗселешюй

должна достигнуть своего максимума. Это

означает, что со временем все формы дви-

жения должны перейти в тепловую. Пере-

ход же теплоты от горячих тел к холодным

приведет к тому, что температура всех тел

во Вселенной сравняется, т. с. наступит пол-

ное тепловое равновесие и все процессы во

Вселенной прекратятся — наступит тепло-

вая смерть Вселенной. Ошибочность выво-

да о тепловой смерти заключается в том, что

бессмысленно применять второе начало тер-

модинамики к незамкнутым системам, на-

пример к такой безграничной и бесконечно

развивающейся системе, как Вселенная.

Первое и второе начала термодина-

мики дополняются третьим началом
термодинамики, или теоремой Нерн-

 — Планка: энтропия всех тел в со-

стоянии равновесия стремится к нулю
по мере приближения температуры к
нулю кельвин:

1

 В.Ф.Г.Нернст (1864-1941) - немецкий

физик и химик.

112

Поскольку энтропия определяется с

точностью до аддитивной постоянной,
то эту постоянную удобно взять равной
нулю. Отметим, однако, что это произ-
вольное допущение, так как энтропия
по своей сущности всегда определяет-

ся с точностью до аддитивной постоян-

ной. Из теоремы Нернста — Планка сле-

дует, что теплоемкости

 при О К

равны нулю.

§ 59. Тепловые двигатели

и холодильные машины.

Цикл Карно и его КПД

для идеального газа

Из формулировки второго начала

термодинамики по Кельвину следует,
что вечный двигатель второго рода —
периодически действующий двигатель,
совершающий работу за счет охлажде-

ния одного источника теплоты, — не-

возможен. Для иллюстрации этого по-

ложения рассмотрим работу теплового
двигателя (исторически второе начало
термодинамики и возникло из анализа
работы тепловых двигателей).

Принцип действия теплового двига-

теля приведен на рис. 87. От термоста-
та

1

 с более высокой температурой

 на-

зываемого нагревателем, за цикл отби-
рается количество теплоты

 а термо-

стату с более низкой температурой
называемому холодильником, за цикл
передается количество теплоты

 при

этом совершается работа А =

 —

Чтобы термический коэффициент

полезного действия теплового двигате-

ля (56.2) был равен 1, необходимо вы-

полнение условия

 = 0, т. е. тепловой

двигатель должен был бы иметь один

Рис. 87

Рис. 88

источник теплоты. Однако, согласно

Карно

1

, для работы теплового двигате-

ля необходимо не менее двух источни-

ков теплоты с различными температу-
рами, иначе это противоречило бы вто-

рому началу термодинамики.

Двигатель второго рода, будь он возмо-

жен, был бы практически вечным. Охлаж-

дение, например, воды океанов на 1° дало бы

огромную энергию. Масса воды в Мировом

океане составляет примерно 10

18

 т, при ох-

лаждении которой на 1° выделилось бы при-

мерно 10

24

 Дж теплоты, что эквивалентно

полному сжиганию 10

14

 т угля. Железнодо-

рожный состав, нагруженный таким коли-

чеством угля, растянулся бы на расстояние

10

10

 км, что приблизительно совпадает с раз-

мерами Солнечной системы!

Процесс, обратный происходящему

в тепловом двигателе, используется в

холодильной машине, принцип дей-

ствия которой представлен на рис. 88.

Системой за цикл от термостата с бо-

лее низкой температурой

 отбирает-

ся количество теплоты

 и отдается за

цикл термостату с более высокой тем-
пературой

 количество теплоты

Для кругового процесса, согласно (56.1),

 А, но, по условию, Q =

 —

 < О,

поэтому А < 0 и

 —

 или

 =

 + А, т.е. количество теплоты

отданное системой источнику теплоты
при более высокой температуре
больше количества теплоты

 полу-

ченного от источника теплоты при бо-
лее низкой температуре

 на величи-

1

 Термодинамическая система, которая мо-

жет обмениваться теплотой с телами без изме-
нения температуры.

1

 Н. Л. С. Карно (1796-1832) - французский

физик и инженер.

113

ну работы, совершенной над системой.
Следовательно, без совершения работы

нельзя отбирать теплоту от менее на-
гретого тела и отдавать ее более нагре-
тому. Это утверждение есть не что
иное, как второе начало термодинами-
ки в формулировке Клаузиуса.

Однако второе начало термодинами-

ки не следует представлять так, что оно
совсем запрещает переход теплоты от
менее нагретого тела к более нагрето-
му. Ведь именно такой переход осуще-
ствляется в холодильной машине. Но
при этом надо помнить, что внешние

силы совершают работу над системой,
т. е. этот переход не является единствен-
ным результатом процесса.

Из всех периодически действующих

тепловых машин, имеющих одинако-
вые температуры нагревателей

 и

холодильников (

 наибольшим КПД

обладают обратимые машины; при этом

КПД обратимых машин, работающих
при одинаковых температурах нагрева-

телей

 и холодильников

 рав-

ны друг другу и не зависят от природы
рабочего тела (тела, совершающего кру-
говой процесс и обменивающегося
энергией с другими телами), а опреде-

ляются только температурами нагрева-

теля и холодильника. Это утверждение

носит название теоремы Карно.

Из всевозможных круговых процес-

сов важное значение в термодинамике
имеет цикл Карно — цикл, состоящий
из четырех последовательных обрати-
мых процессов: изотермического рас-
ширения, адиабатного расширения,
изотермического сжатия и адиабатно-
го сжатия.

Прямой цикл Карно изображен на

рис. 89, где изотермические расширение

и сжатие заданы соответственно кривы-
ми 1 —

 — 4, а адиабатные расшире-

ние и сжатие — кривыми 2—3 и 4—1.
При изотермическом процессе U— const,

поэтому, согласно (54.4), количество
теплоты

 полученное газом от нагре-

вателя, равно работе расширения
совершаемой газом при переходе из со-
стояния 1 в состояние 2:

(59.1)

При адиабатном расширении 2—3

теплообмен с окружающей средой от-
сутствует и работа расширения

 со-

вершается за счет изменения внутрен-
ней энергии [см. (55.1) и (55.8)]:

Количество теплоты

 отданное га-

зом холодильнику при изотермическом

сжатии, равно работе сжатия

и определяется площадью, тонирован-
ной на рис. 89.

Рис. 89

114