Курс физики для вузов - часть 25

• Как,

 функцию

 молекул по скоростям, перейти к функции распреде-

ления по энергиям?

• Как определяется наиболее вероятная скорость? средняя скорость?
• Во сколько раз и как изменится средняя скорость движения молекул при переходе от

кислорода к водороду?

• В чем суть распределения Больцмана?
• Зависит ли средняя длина свободного пробега молекул от температуры газа? Почему?

• Как изменится средняя длина свободного пробега молекул с увеличением давления?
• В чем сущность явлений переноса? Каковы они и при каких условиях возникают?
• Объясните физическую сущность законов Фурье, Фика, Ньютона.
• Каков механизм теплопроводности ультраразреженных газов?

ЗАДАЧИ

8.1. Начертите и объясните графики изотермического и изобарного процессов в коорди-

натах р  V, р  Т, Т  V.

8.2. В сосуде при температуре Т— 20 °С и давлении р = 0,2

 содержится смесь газов —

кислорода массой

 = 16 г и азота массой

 — 21 г. Определите плотность смеси. [2,5 кг/м

3

]

8.3. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при

давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м

3

. [478 м/с]

8.4. Используя закон о распределении молекул идеального газа по скоростям, найдите

закон, выражающий распределение молекул по относительным скоростям

 — ). [f(u) =

8.5. Воспользовавшись законом распределения идеального газа по относительным ско-

ростям (см. задачу 8.4), определите, какая доля молекул кислорода, находящегося при тем-
пературе t = 0 °С, имеет скорости от 100 до ПО м/с. [0,4]

8.6. На какой высоте плотность воздуха в два раза меньше, чем его плотность на уровне

моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 273 К. [55 км]

8.7. Определите среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при

температуре 300 К и давлении 5 кПа. Эффективный диаметр молекул принять равным

0,28

 [170

8.8. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения при некоторых условиях равны

соответственно 1,42 •

 и 8,5 мкПа • с. Определите концентрацию молекул воздуха

при этих условиях. [1,25 •

Глава 9

ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

§ 50. Число степеней свободы

молекулы. Закон равномерного

распределения энергии

по степеням свободы молекул

Важной характеристикой термоди-

намической системы является ее внут-

ренняя энергия U — энергия хаотиче-

ского (теплового) движения микроча-
стиц системы (молекул, атомов, элект-
ронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодей-
ствия этих частиц. Из этого определе-
ния следует, что к внутренней энергии
не относятся кинетическая энергия

99

движения системы как целого и потен-

циальная энергия системы во внешних
полях.

Внутренняя энергия — однозначная

функция термодинамического состоя-
ния системы, т.е. в каждом состоянии
система обладает вполне определенной
внутренней энергией (она не зависит от
того, как система пришла в данное со-
стояние). Это означает, что при перехо-
де системы из одного состояния в дру-
гое изменение внутренней энергии оп-
ределяется только разностью значений
внутренней энергии этих состояний и

не зависит от пути перехода.

В § 1 было введено понятие числа

степеней свободы: это число независи-
мых величин, полностью определяю-
щих положение системы в простран-
стве. В ряде задач молекулу одноатом-
ного газа (рис. 79, а) рассматривают как
материальную точку, которой приписы-
вают три степени свободы поступатель-

ного движения. При этом энергию вра-
щательного движения можно не учиты-

В классической механике молекула

двухатомного газа в первом приближе-

нии рассматривается как совокупность
двух материальных точек, жестко свя-
занных недеформируемой связью (рис.

79, б). Эта система кроме трех степеней
свободы поступательного движения име-
ет еще две степени свободы вращатель-
ного движения. Вращение вокруг тре-

тьей оси (оси, проходящей через оба

атома) лишено смысла. Таким образом,
двухатомный газ обладает пятью степе-
нями свободы (i = 5).

Трехатомная (рис. 79, в) и много-

атомная нелинейные молекулы имеют
шесть степеней свободы: три поступа-
тельных и три вращательных. Есте-
ственно, что жесткой связи между ато-
мами не существует. Поэтому для ре-
альных молекул необходимо учитывать
также степени свободы колебательно-
го движения.

Независимо от общего числа степе-

ней свободы молекул три степени сво-
боды всегда поступательные. Ни одна
из поступательных степеней свободы не
имеет преимущества перед другими,
поэтому на каждую из них приходится
в среднем одинаковая энергия, равная

l/3 значения

 в (43.8):

Рис. 79

В классической статистической фи-

зике выводится закон Больцмана о

равномерном распределении энергии

по степеням свободы молекул: для
статистической системы, находящейся
в состоянии термодинамического рав-
новесия, на каждую поступательную и
вращательную степени свободы прихо-
дится в среднем кинетическая энергия,

равная —

 а на каждую колебатель-

ную степень свободы — в среднем энер-
гия, равная кТ.

Колебательная степень «обладает»

вдвое большей энергией потому, что на
нее приходится не только кинетическая
энергия (как в случае поступательного
и вращательного движений), но и по-
тенциальная, причем средние значения

кинетической и потенциальной энергий
одинаковы. Таким образом, средняя
энергия молекулы

100

где  — сумма числа поступательных,

числа вращательных и удвоенного чис-

ла колебательных степеней свободы
молекулы:

В классической теории рассматрива-

ют молекулы с жесткой связью между
атомами; для них  совпадает с числом
степеней свободы молекулы.

Следует отметить, что закон Больц-

мана является приближенным (полу-

чен на основе классических представ-
лений о характере движения молекул)

и пересмотрен в квантовой статистике.

Так как в идеальном газе взаимная

потенциальная энергия молекул равна
нулю (молекулы между собой не взаи-

модействуют), то внутренняя энергия,
отнесенная к 1 моль газа, будет равна

сумме кинетических энергий

 моле-

кул:

Внутренняя энергия для произволь-

ной массы т газа

где М — молярная масса; v = • — ко-
личество вещества.

§ 51. Первое начало

термодинамики

Рассмотрим термодинамическую

систему, для которой механическая
энергия постоянна, а изменяется лишь
ее внутренняя энергия. Внутренняя
энергия системы может изменяться в

результате различных процессов, на-

пример совершения над системой рабо-

ты или сообщения ей теплоты. Так,

вдвигая поршень в цилиндр, в котором
находится газ, мы сжимаем этот газ, в
результате чего его температура повы-
шается, т. е. тем самым изменяется (уве-
личивается) внутренняя энергия газа.

С другой стороны, температуру газа и

его внутреннюю энергию можно увели-

чить за счет сообщения ему некоторого

количества теплоты — энергии, пере-

данной системе внешними телами пу-
тем теплообмена (процесс обмена внут-
ренними энергиями при контакте тел с
разными температурами).

Таким образом, можно говорить о

двух формах передачи энергии от одних
тел к другим: работе и теплоте. Энер-

гия механического движения может
превращаться в энергию теплового дви-
жения, и наоборот. При этих превраще-
ниях соблюдается закон сохранения и
превращения энергии; применительно
к термодинамическим процессам этим
законом и является первое начало тер-
модинамики, установленное в резуль-

тате обобщения многовековых опыт-
ных данных.

Допустим, что некоторая система

(газ, заключенный в цилиндр под пор-
шнем), обладая внутренней энергией
получила некоторое количество тепло-

ты Q и, перейдя в новое состояние, ха-
рактеризующееся внутренней энергией

 совершила работу А над внешней

средой, т. е. против внешних сил. Коли-
чество теплоты считается положитель-
ным, когда оно подводится к системе, а
работа — положительной, когда систе-
ма совершает ее против внешних сил.

В соответствии с законом сохранения
энергии при любом способе перехода

системы из первого состояния во вто-
рое изменение внутренней энергии
AU=

 будет одинаковым и рав-

ным разности между количеством теп-

101

лоты Q, полученным системой, и рабо-
той А, совершенной системой против
внешних сил:

AU = Q- А,

(51.1)

Уравнение (51.1) выражает первое

начало термодинамики: теплота, со-
общаемая системе, расходуется на из-
менение ее внутренней энергии и на со-
вершение ею работы против внешних

сил.

Выражение (51.1) для элементарно-

го процесса можно записать в виде

или в более корректной форме

(51.2)

где  Q — бесконечно малое количество
теплоты;  U— бесконечно малое изме-
нение внутренней энергии системы;

ЬА — элементарная работа. В этом вы-
ражении  U является полным диффе-

ренциалом, а ЬА и  Q таковыми не яв-
ляются. В дальнейшем будем использо-
вать запись первого начала термодина-
мики в форме (51.2).

Из формулы (51.1) следует, что в СИ

количество теплоты выражается в тех
же единицах, что работа и энергия, т. е.
в джоулях (Дж).

Если система периодически воз-

вращается в первоначальное состояние,
то изменение ее внутренней энергии
AU=0. Тогда, согласно первому нача-

лу термодинамики,

т. е. вечный двигатель первого рода —
периодически действующий двигатель,
который совершал бы большую работу,
чем сообщенная ему извне энергия, не-

возможен (одна из формулировок пер-
вого начала термодинамики).

§ 52. Работа газа

при изменении его объема

Для рассмотрения конкретных про-

цессов найдем в общем виде внешнюю
работу, совершаемую газом при изме-
нении его объема. Рассмотрим, напри-
мер, газ, находящийся под поршнем в
цилиндрическом сосуде (рис. 80). Если
газ, расширяясь, передвигает поршень
на бесконечно малое расстояние dl, то
производит над ним работу

где S — площадь поршня; Sdl — dV —
изменение объема системы.

Таким образом,

(52.1)

Полную работу А, совершаемую га-

зом при изменении его объема от

 до

 найдем интегрированием формулы

(52.1):

(52.2)

Результат интегрирования опреде-

ляется характером зависимости между
давлением и объемом газа. Найденное
для работы выражение (52.2) справед-
ливо при любых изменениях объема

твердых, жидких и газообразных тел.

Произведенную при том или ином

процессе работу можно изобразить гра-
фически с помощью кривой в коорди-
натах р, V. Пусть изменение давления

Рис. 80

Рис.81

102