Курс физики для вузов - часть 23

Прибор для определения высоты

над земной поверхностью называется

высотомером (или альтиметром).

Его работа основана на использовании
формулы (45.3). Из этой формулы сле-
дует, что давление с высотой убывает
тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (45.3)

можно преобразовать, если воспользо-
ваться выражением (42.6)

(45.4)

где m

o

gh — П — потенциальная энергия

молекулы в поле тяготения, т. е.

(45.5)

Выражение (45.5) называется рас-

пределением Болъцмана для внешне-
го потенциального поля. Из него сле-
дует, что при постоянной температуре
плотность газа больше там, где меньше
потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую

массу и находятся в состоянии хаоти-

ческого теплового движения, то распре-
деление Больцмана (45.5) справедливо
в любом внешнем потенциальном поле,
а не только в поле сил тяжести.

§ 46. Среднее число

столкновений и средняя длина

свободного пробега молекул

Молекулы газа, совершая хаотиче-

ское движение, непрерывно сталкива-
ются друг с другом. Между двумя пос-

ледовательными столкновениями мо-
лекулы проходят некоторый путь  ко-
торый называется длиной свободного

пробега. В общем случае длина пути
между последовательными столкнове-
ниями различна, но так как мы имеем
дело с огромным числом хаотически
движущихся молекул, то можно гово-
рить о средней длине свободного про-

бега молекул

Минимальное расстояние, на кото-

рое сближаются при столкновении цен-
тры двух молекул, называется эффек-
тивным диаметром молекулы d (рис.
70). Он зависит от скорости сталкива-

ющихся молекул, т.е. от температуры
газа (несколько уменьшается с ростом
температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в

среднем путь, равный средней арифме-
тической скорости (v), и если (z) — сред-
нее число столкновений, испытывае-
мых одной молекулой газа за 1 с, то
средняя длина свободного пробега

Для определения (z) представим

себе молекулу в виде шарика диамет-
ром d, которая движется среди других

«застывших» молекул. Эта молекула

столкнется только с теми молекулами,
центры которых находятся на расстоя-
ниях, равных или меньших

 т. е. лежат

внутри «ломаного» цилиндра радиусом

 71).

Среднее число столкновений за 1 с

равно числу молекул в объеме «лома-

ного» цилиндра:

Рис. 70

Рис.71

91

где п — концентрация молекул; V =

=

 ((v) — средняя скорость моле-

кулы или путь, пройденный ею за 1 с).

Таким образом, среднее число

столкновений

Расчеты показывают, что при учете

движения других молекул

Тогда средняя длина свободного

пробега

т.е.

 обратно пропорциональна кон-

центрации п молекул. С другой сторо-
ны, из (42.6) следует, что при постоян-
ной температуре п пропорциональна

давлению р. Следовательно,

§ 47. Опытное обоснование

молекулярно-кинетической

теории

Рассмотрим некоторые явления, эк-

спериментально подтверждающие ос-
новные положения и выводы молеку-
лярно-кинетической теории.

1. Броуновские движение. Это яв-

ление открыто (1827) Броуном

1

, кото-

рый, наблюдая с помощью сильной
лупы за взвесью цветочной пыльцы в
воде, обнаружил, что частицы пыльцы
оживленно и беспорядочно двигались,
то вращаясь, то перемещаясь с места на

место, подобно пылинкам в солнечном

луче. Впоследствии оказалось, что по-
добное сложное зигзагообразное дви-
жение характерно для любых частиц

малых размеров

 мкм), взвешенных

в газе или жидкости. Интенсивность
этого движения, названного броунов-
ским, повышается с ростом температу-
ры среды, с уменьшением вязкости и
размеров частиц (независимо от их хи-

мической природы).

Причина броуновского движения

долго оставалась неясной. Лишь через

80 лет после обнаружения этого эффек-
та ему было дано объяснение: броунов-
ское движение взвешенных частиц вы-
зывается ударами молекул среды, в ко-
торой частицы взвешены. Так как мо-
лекулы движутся хаотически, то броу-

новские частицы получают толчки с
разных сторон, поэтому и совершают

движение столь причудливой формы.

Таким образом, броуновское движение
является подтверждением выводов мо-
лекулярно-кинетической теории о хао-
тическом (тепловом) движении атомов

и молекул.

2. Опыт Штерна. Первое экспери-

ментальное определение скоростей мо-
лекул выполнено немецким физиком

О.Штерном (1888-1970). Его опыты
позволили также оценить распределе-

ние молекул по скоростям.

Схема установки Штерна представ-

лена на рис. 72. Вдоль оси внутреннего
цилиндра с щелью натянута платино-

вая проволока, покрытая слоем сереб-
ра, которая нагревается током при от-

Рис.72

1

 Р.Броун (1773-- 1858) — шотландский бо-

таник.

92

качанном воздухе. При нагревании се-
ребро испаряется. Атомы серебра выле-

тая через щель, попадают на внутрен-

нюю поверхность второго цилиндра,
давая изображение щели О. Если при-

бор привести во вращение вокруг об-
щей оси цилиндров, то атомы серебра
осядут не против щели, а сместятся от
точки О на некоторое расстояние s.

Изображение щели получается размы-

тым. Исследуя толщину осажденного
слоя, можно оценить распределение
молекул по скоростям, которое соответ-
ствует максвелловскому распределе-
нию.

Зная радиусы цилиндров, их угло-

вую скорость вращения, а также изме-
ряя s, можно вычислить скорость дви-
жения атомов серебра при данной тем-
пературе проволоки. Результаты опы-
та показали, что средняя скорость ато-
мов серебра близка к той, которая сле-

дует из максвелловского распределения

молекул по скоростям.

3. Опыт Ламмерт. Этот опыт позво-

ляет более точно определить закон рас-
пределения молекул по скоростям. Схе-
ма вакуумной установки приведена на
рис. 73. Молекулярный пучок, сформи-
рованный источником, проходя через
щель, попадает в приемник. Между ис-
точником и приемником помещают два
диска с прорезями, закрепленных на
общей оси.

При неподвижных дисках молекулы

достигают приемника, проходя через
прорези в обоих дисках. Если ось при-
вести во вращение, то приемника дос-
тигнут только те прошедшие прорезь в
первом диске молекулы, которые зат-

рачивают для пробега между дисками

время, равное или кратное времени обо-
рота диска. Другие же молекулы задер-
живаются вторым диском. Меняя угло-
вую скорость вращения дисков и изме-

ряя число молекул, попадающих в при-

Источник

Приемник

емник, можно выявить закон распреде-
ления молекул по скоростям. Этот опыт
также подтвердил справедливость мак-
свелловского распределения молекул
по скоростям.

4. Опытное определение постоян-

ной Авогадро. Воспользовавшись иде-

ей распределения молекул по высоте

[см. формулу (45.4)], французский уче-

ный Ж.Перрен (1870—1942) экспери-
ментально определил значение посто-
янной Авогадро. Исследуя в микроскоп
броуновское движение, он убедился,
что броуновские частицы распределя-
ются по высоте подобно молекулам газа
в поле тяготения. Применив к ним

 распределение, можно

записать

Значение N

A

, получаемое из работ

Ж. Перрена, соответствовало значени-
ям, полученным в других опытах, что

93

подтверждает применимость к бро-

уновским частицам распределения

(45.4).

§ 48. Явления переноса

в термодинамически

неравновесных системах

В термодинамически неравновес-

ных системах возникают особые нео-
братимые процессы, называемые явле-
ниями переноса, в результате которых

происходит пространственный перенос
энергии, массы, импульса. К явлениям
переноса относятся теплопровод-
ность (обусловлена переносом энер-

 диффузия (обусловлена перено-

сом массы) и внутреннее трение
(обусловлено переносом импульса). Для
простоты ограничимся одномерными
явлениями переноса. Систему отсчета
выберем так, чтобы ось х была ориен-
тирована в направлении переноса.

1. Теплопроводность. Если в одной

области газа средняя кинетическая
энергия молекул больше, чем в другой,
то с течением времени вследствие по-
стоянных столкновений молекул про-

исходит процесс выравнивания сред-
них кинетических энергий молекул,
т.е., иными словами, выравнивание
температур.

Перенос энергии в форме теплоты

подчиняется закону Фурье:

(48.1)

где  — плотность теплового пото-
ка — величина, определяемая энерги-
ей, переносимой в форме теплоты в еди-
ницу времени через единичную площад-
ку, перпендикулярную оси  X — теп-

— градиент тем-

пературы, равный скорости изменения
температуры на единицу длины х в на-
правлении нормали к этой площадке.

Знак «—» показывает, что при тепло-
проводности энергия переносится в
направлении убывания температуры
(поэтому знаки у PI противопо-

ложны).

Теплопроводность X численно рав-

на плотности теплового потока при гра-
диенте температуры, равном единице.
Можно показать, что

(48.2)

где

 — удельная теплоемкость газа

при постоянном объеме (количество
теплоты, необходимое для нагревания

1 кг газа на 1 К при постоянном объе-

ме); р — плотность газа;

 — средняя

скорость теплового движения молекул;

 — средняя длина свободного про-

бега.

2. Диффузия. Явление диффузии

заключается в том, что происходит са-
мопроизвольное проникновение и пе-
ремешивание частиц двух соприкасаю-
щихся газов, жидкостей и даже твердых
тел; диффузия сводится к обмену масс
частиц этих тел, возникает и продолжа-

ется, пока существует градиент плотно-
сти.

Во время становления молекуляр-

но-кинетической теории по вопросу
диффузии возникли противоречия. Так

как молекулы движутся с огромными

скоростями, диффузия должна проис-
ходить очень быстро. Если же открыть

в комнате сосуд с пахучим веществом,
то запах распространяется довольно
медленно. Однако противоречия здесь
нет. Молекулы при атмосферном дав-
лении обладают малой длиной свобод-
ного пробега и, сталкиваясь с другими
молекулами, в основном «стоят» на
месте.

94