Курс физики для вузов - часть 21

его плотность р = const, то

Так как при постоянной массе удель-

ный объем пропорционален общему
объему, то макроскопические свойства
однородного тела можно характеризо-
вать объемом тела.

Параметры состояния системы мо-

гут изменяться. Любое изменение в тер-
модинамической системе, связанное с
изменением хотя бы одного из ее тер-
модинамических параметров, называет-

ся термодинамическим процессом.

Макроскопическая система находится

в термодинамическом равновесии,

если ее состояние с течением времени
не меняется (предполагается, что вне-
шние условия рассматриваемой систе-
мы при этом не изменяются).

В молекулярно-кинетической тео-

рии пользуются идеализированной мо-
делью идеального газа, согласно кото-
рой считают, что:

1) собственный объем молекул газа

пренебрежимо мал по сравнению с
объемом сосуда;

2) между молекулами газа отсут-

ствуют силы взаимодействия;

3) столкновения молекул газа меж-

ду собой и со стенками сосуда абсолют-

но упругие.

Наиболее близко свойствам идеаль-

ного газа соответствуют достаточно раз-
реженные газы. Модель идеального газа
можно использовать также при изучении
реальных газов, так как они в условиях,
близких к нормальным (например, водо-
род и гелий), а также при низких давле-
ниях и высоких температурах близки по
своим свойствам к идеальному газу. Кро-
ме того, внеся поправки, учитывающие
собственный объем молекул газа и дей-
ствующие молекулярные силы, можно
перейти к теории реальных газов.

Рассмотрим законы, описывающие

поведение идеальных газов.

Рис. 62

Рис. 63

Закон Бойля — Мариотта

1

: для

данной массы газа при постоянной тем-

пературе произведение давления газа
на его объем есть величина постоянная:

(41.1)

График зависимости между пара-

метрами состояния газа при постоян-
ной температуре называется изотер-

мой. Изотермы в координатах р, V пред-

ставляют собой гиперболы, располо-
женные на графике тем выше, чем выше
температура, при которой происходит
процесс (рис. 62).

Законы Гей-Люссака

2

:1) объем дан-

ной массы газа при постоянном давлении
изменяется линейно с температурой:

(41.2)

2) давление данной массы газа при

постоянном объеме изменяется линей-
но с температурой:

(41.3)

В этих уравнениях t — температу-

ра по шкале Цельсия, р

0

 и V

o

 — давле-

ние и объем при 0°С, коэффициент

 1/273,15  К

- 1

.

Процесс, протекающий при посто-

янном давлении, называется изобар-

1

 Р. Бойль (1627 —1691) — английский ученый;

Э. Мариотт (1620 — 1684) — французский физик.

2

 Ж.Гей-Люссак (1778-1850) - француз-

ский ученый.

83

Рис. 64

ным. На диаграмме в координатах V, t

(рис. 63) этот процесс изображается
прямой, называемой изобарой. Процесс,
протекающий при постоянном объеме,

называется изохорным. На диаграмме в

координатах р, t (рис. 64) он изобража-
ется прямой, называемой изохорой.

Из (41.2) и (41.3) следует, что изо-

бары и изохоры пересекают ось темпе-
ратур в точке t= -— -

 °С,

а

определяемой из условия 1 + at = 0.
Если перенести начало отсчета в эту
точку, то происходит переход к шкале

Кельвина (см. рис. 64), откуда

Вводя в формулы

 и

 тер-

модинамическую температуру, законам

Гей-Люссака можно придать более

удобный вид:

(41.4)

где индексы 1 и 2 относятся к произ-
вольным состояниям, лежащим на од-
ной изобаре или изохоре.

Закон

 1 моль любого газа

при одинаковых температуре и давле-
нии занимает одинаковый объем. При
нормальных условиях этот объем равен
22,41 •

По определению, 1 моль различных

веществ содержит одно и то же число
молекул, называемое постоянной Аво-
гадро:

Закон Дальтона

2

: давление смеси

идеальных газов равно сумме парциаль-
ных давлений

 ...,

 входящих в

нее газов:

P = Pl + P

2

 + ...+ Рп-

Парциальное давление — давление,

которое производил бы газ, входящий
в состав газовой смеси, если бы он один
занимал объем, равный объему смеси
при той же температуре.

§ 42. Уравнение

Клапейрона—Менделеева

Как уже указывалось, состояние не-

которой массы газа определяется тре-
мя термодинамическими параметрами:

давлением р, объемом V и температу-

рой Т. Между этими параметрами су-
ществует определенная связь, называ-
емая уравнением состояния, которое
в общем виде задается выражением

где каждая из переменных является
функцией двух других.

Французский физик и инженер

Б. Клапейрон (1799 — 1864) вывел урав-
нение состояния идеального газа, объе-

1

 А.Авогадро (1776—1856) — итальянский

физик и химик.

2

 Дж.Дальтон (1766—1844) — английский

химик и физик.

84

Рис. 65

динив законы Бойля — Мариотта и Гей-
Люссака. Пусть некоторая масса газа за-
нимает объем

 имеет давление  и

находится при температуре

 Эта же

масса газа в другом произвольном со-
стоянии характеризуется параметрами

(рис. 65).

Переход из состояния 1 в состояние 2

осуществляется в виде двух процессов:

1) изотермического (изотерма 1—1'),

2) изохорного (изохора 1'—2).

В соответствии с законами Бойля —

Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5)

запишем:

(42.1)

(42.2)

Исключив из уравнений (42.1) и

(42.2)

 получим

Так как состояния 1 и 2 были выб-

раны произвольно, то для данной мас-
сы газа величина • остается посто-

янной, т.е.

(42.3)

Выражение (42.3) является уравне-

нием Клапейрона, в котором В — газо-
вая постоянная, различная для разных

газов.

Русский ученый Д.И.Менделеев

(1834—1907) объединил уравнение
Клапейрона с законом Авогадро, отне-
ся уравнение (42.3) к 1 моль газа, ис-
пользовав молярный объем

 Соглас-

но закону Авогадро, при одинаковых р
и Т молярные объемы

 различных

газов одинаковы, поэтому постоянная

В будет одинаковой для всех газов. Эта
общая для всех газов постоянная обо-

значается R и называется молярной
газовой постоянной. Уравнению

(42.4)

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно
является уравнением состояния иде-
ального газа, называемым также урав-
нением Клапейрона—Менделеева.

Числовое значение молярной газо-

вой постоянной определим из форму-
лы (42.4), полагая, что 1 моль газа на-
ходится при нормальных условиях

 1,013 • 10

5

 Па,

 = 273,15 К,

 =

= 22,41 *

 - 8,31

 • К).

От уравнения (42.4) для 1 моль газа

можно перейти к уравнению Клапейро-
на—Менделеева для произвольной

массы газа. Если при некоторых задан-

ных давлении и температуре 1 моль газа
занимает молярный объем V

m

, то при

тех же условиях масса т газа займет
объем , где М— молярная мас -

са (масса 1 моль вещества). Единица
молярной массы — килограмм на моль

(кг/моль). Уравнение Клапейрона —
Менделеева для массы т газа

(42.5)

где — количество вещества.

Часто пользуются несколько иной

формой записи уравнения состояния
идеального газа, вводя постоянную

Больцмана:

85

Исходя из этого уравнение состоя-

ния (42.4) запишем в виде

где

= п — концентрация молекул

(число молекул в единице объема).

Таким образом, из уравнения

р = пкТ (42.6)

следует, что давление идеального газа
при данной температуре пропорцио-
нально концентрации его молекул (или

плотности газа). При одинаковых тем-
пературе и давлении все газы содержат
в единице объема одинаковое число
молекул. Число молекул, содержащих-
ся в 1 м

3

 газа при нормальных условиях,

называется числом Лошмидта

1

:

§ 43. Основное уравнение

молекулярно-кинетической

теории идеальных газов

Для вывода основного уравнения

молекулярно-кинетической теории
рассмотрим одноатомный идеальный
газ. Молекулы газа движутся хаотичес-
ки, число взаимных столкновений меж-
ду молекулами газа пренебрежимо мало
по сравнению с числом ударов о стенки
сосуда, а соударения молекул со стенка-
ми сосуда абсолютно упругие. Выделим
на стенке сосуда некоторую элементар-

ную площадку

 (рис. 66) и вычислим

давление, оказываемое на эту площадку.

При каждом соударении молекула, дви-

Рис. 66

жущаяся перпендикулярно площадке,
передает ей импульс

где — масса молекулы, v — ее

скорость. За время площадки до-
стигнут только те молекулы, которые
заключены в объеме цилиндра с основа-
нием и высотой (см. рис. 66).
Число этих молекул равно
концентрация молекул).

Необходимо, однако, учитывать, что

реально молекулы движутся к площад-
ке , под разными углами, имеют раз-
личные скорости, причем скорость мо-
лекул при каждом соударении меняет-
ся. Для упрощения расчетов хаотиче-
ское движение молекул заменяют дви-
жением вдоль трех взаимно перпенди-

кулярных направлений, так что в лю-
бой момент времени вдоль каждого из
них движется 1/3 молекул, причем из
них половина (l/б) движется вдоль дан-
ного направления в одну сторону, по-
ловина — в противоположную. Тогда
число ударов молекул, движущихся в
заданном направлении, о площадку
будет При столкновении с

площадкой эти молекулы передадут ей
импульс

Тогда давление газа, оказываемое им

на стенку сосуда,

(43.1)

1

 И.Лошмидт (1821 — 1895) — австрийский

химик и физик.

Если газ в объеме V содержит N мо-

лекул, движущихся со скоростями

...,

 то целесообразно рассматривать

среднюю квадратичную скорость

86