Курс физики для вузов - часть 22

(43.2)

характеризующую всю совокупность
молекул газа. Уравнение (43.1) с уче-
том (43.2) примет вид

(43.3)

или

(43.4)

(43.5)

где Е — суммарная кинетическая энер-
гия поступательного движения всех
молекул газа.

Так как масса газа то урав-

нение (43.4) можно переписать в виде

Для 1 моль газа т= М(М— моляр-

ная масса), поэтому

где — молярный объем.

С другой стороны, по уравнению

Клапейрона — Менделеева,

Таким образом,

откуда

(43.6)

Так как — масса од-
ной молекулы, a N

A

 — постоянная Аво-

гадро, то из уравнения (43.6) следует,
что

постоянная Больцмана.

Отсюда найдем, что при комнатной

температуре молекулы кислорода име-

ют среднюю квадратичную скорость

480 м/с, водорода — 1900 м/с. При тем-

пературе жидкого гелия те же скорости
будут соответственно 40 и 160 м/с.

Средняя кинетическая энергия по-

ступательного движения одной молеку-
лы идеального газа

[использовали формулы (43.5) и (43.7)]

пропорциональна термодинамической
температуре и зависит только от нее.
При предельно низких температурах

(близких к 0 К) выражение (43.8) не

справедливо, т. е. средняя кинетическая
энергия молекул не пропорциональна
температуре. Поэтому утверждение о
том, что при 0 К прекращается движе-

ние молекул газа, некорректно. В насто-

ящее время доказано, что даже при 0 К

частицы вещества совершают так назы-
ваемые нулевые колебания.

Таким образом, термодинамическая

температура является мерой средней ки-
нетической энергии поступательного
движения молекул идеального газа, и
формула (43.8) раскрывает молекулярно-
кинетическое толкование температуры.

§ 44. Закон Максвелла

о распределении молекул

идеального газа по скоростям

и энергиям теплового движения

Молекулы газа совершают хаотичес-

кое движение. В результате многократ-
ных соударений скорость каждой моле-

87

Выражение (43.3) называется ос-

новным уравнением молекулярно-ки-
нетической теории идеальных газов.
Точный расчет с учетом движения мо-
лекул по всевозможным направлениям
дает ту же формулу.

Учитывая, что п = , получим

кулы изменяется как по модулю, так и
по направлению. Однако из-за хаоти-
ческого движения молекул все направ-

ления движения являются равноверо-
ятными, т.е. в любом направлении в

среднем движется одинаковое число
молекул. По молекулярно-кинетичес-
кой теории, как бы ни изменялись ско-
рости молекул при столкновениях, сред-
няя квадратичная скорость молекул мас-
сой

 в газе, находящемся в состоянии

равновесия при ( Т= const), остается по-

стоянной и равной

 —

Это объясняется тем, что в газе, на-

ходящемся в состоянии равновесия, ус-
танавливается некоторое стационарное,
не меняющееся со временем распреде-
ление молекул по скоростям, которое

подчиняется вполне определенному
статистическому закону. Этот закон те-
оретически выведен Дж. Максвеллом

(1859).

При выводе закона распределения

молекул по скоростям считалось, что
газ состоит из очень большого числа N
тождественных молекул, находящихся
в состоянии беспорядочного теплового

движения при одинаковой температу-

ре. Предполагалось также, что силовые
поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается неко-

торой

 называемой фун-

кцией распределения молекул по ско-

ростям. Если разбить диапазон скоро-

стей молекул на малые интервалы, рав-
ные dv, то на каждый интервал скорос-

 67

ти будет приходиться некоторое число
молекул dN(v), имеющих скорость, зак-
люченную в этом интервале. Функция

f(v) определяет относительное число

(долю) молекул

, скорости кото-

рых лежат в интервале от v до v + dv, т. е.

откуда

Применяя методы теории вероятно-

стей, Максвелл нашел функцию f(v) —

закон распределения молекул иде-

ального газа по скоростям:

Из (44.1) видно, что конкретный вид

функции зависит от рода газа (от мас-
сы молекулы) и от параметра состояния

(от температуры Т).

График функции (44.1) приведен на

рис. 67. Так как при возрастании v мно-

чем растет множитель v

2

, то функция

f(v), начинаясь от нуля, достигает мак-

симума при

 и затем асимптотически

стремится к нулю. Кривая несиммет-

Относительное число молекул

скорости которых лежат в интервале от

v до v + dv, находится как площадь то-

нированной полоски на рис. 67. Смысл
этого интеграла в следующем: если про-
суммировать все доли молекул, имею-
щих всевозможные значения скоростей,
то получим единицу. Функция f(v)
удовлетворяет условию нормировки

88

Скорость, при которой функция рас-

пределения молекул идеального газа по
скоростям максимальна, называется
наиболее вероятной скоростью. Зна-
чение наиболее вероятной скорости
можно найти, продифференцировав

выражение (44.1) (постоянные множи-
тели опускаем) по аргументу v, прирав-
няв результат нулю и используя усло-
вие для максимума выражения f(v):

Значения v = 0 и v = ос соответству-

ют минимумам выражения (44.1), a
значение v, при котором выражение в
скобках становится равным нулю, и
есть искомая наиболее вероятная ско-
рость

(44.2)

Из формулы (44.2) следует, что при

повышении температуры максимум
функции распределения молекул по
скоростям (рис. 68) сместится вправо
(значение наиболее вероятной скорос-
ти становится больше). Однако пло-
щадь, ограниченная кривой, остается
неизменной, поэтому при повышении
температуры кривая распределения
молекул по скоростям будет растяги-
ваться и понижаться.

Средняя скорость молекулы (v)

(средняя арифметическая скорость)
определяется по формуле

Подставляя сюда f(v) и интегрируя,

получим

Рис. 68

Скорости, характеризующие сос-

тояние газа: 1) наиболее вероятная

=

 3) средняя квадратичная

/о

 =

 (см. рис. 67). Ис-

ходя из распределения молекул по ско-
ростям

можно найти распределение молекул
газа по значениям кинетической энер-
гии  Для этого перейдем от перемен-
ной v к переменной . Подставив

в (44.4) 

v

=

и

получим

где

 — число молекул, имеющих

кинетическую энергию поступательно-
го движения, заключенную в интерва-
ле от  до е +

Таким образом, функция распреде-

ления молекул по энергиям теплово-

го движения

Средняя кинетическая энергия

молекулы идеального газа

89

т. е. получили результат, совпадающий
с формулой (43.8).

§ 45. Барометрическая формула.

Распределение

При выводе основного уравнения мо-

лекулярно-кинетической теории газов и

максвелловского распределения моле-
кул по скоростям предполагалось, что на
молекулы газа внешние силы не действу-
ют, поэтому молекулы равномерно рас-
пределены по объему. Однако молекулы
любого газа находятся в потенциальном
поле тяготения Земли. Тяготение, с од-
ной стороны, и тепловое движение моле-
кул — с другой, приводят к некоторому
стационарному состоянию газа, при ко-
тором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления

с высотой, предполагая, что поле тяго-
тения однородно, температура постоян-
на и масса всех молекул одинакова.
Если атмосферное давление на высоте h
равно р (рис. 69), то на высоте h + dh
оно равно

 (при

 О, так

как давление с высотой убывает). Раз-
ность давлений р и р + dp равна весу
газа, заключенного в объеме цилиндра

Рис. 69

высотой d/г с основанием площадью

1 м

2

:

где р — плотность газа на высоте
настолько мало, что при изменении
высоты в этом пределе плотность газа
можно считать постоянной).

Следовательно,

(45.1)

Воспользовавшись уравнением со-

стояния идеального газа

молярная масса

(т — масса газа, М
газа), находим, что

Подставив это выражение в (45.1),

получим

С изменением высоты от  до  дав-

ление изменяется от •р

1

 до  (см. рис.

 т.е.

(45.2)

Выражение (45.2) называется баро-

метрической формулой. Она позволя-

ет найти атмосферное давление в зави-
симости от высоты или, измерив давле-
ние, найти высоту. Так как высоты обо-
значаются относительно уровня моря,
где давление считается нормальным, то
выражение (45.2) может быть записа-

но в виде

где р — давление на высоте h.

(45.3)

90