Курс физики для вузов - часть 19

частным случаем механики Эйнштей-

на для малых скоростей.

Релятивистский закон сложения

скоростей подчиняется второму посту-

лату Эйнштейна (см. § 35). Действи-
тельно, если и' = с, то формула (37.6)

примет вид и= = с (аналогич-

но можно показать, что при и = с ско-
рость и' также равна с). Этот результат
свидетельствует о том, что релятивист-
ский закон сложения скоростей нахо-

дится в согласии с постулатами Эйнш-
тейна.

Докажем также, что если складывае-

мые скорости сколь угодно близки к ско-
рости с, то их результирующая скорость
всегда меньше или равна с. В качестве
примера рассмотрим предельный случай

 = v= с. После подстановки в форму-

лу (37.6) получим и — с. Таким образом,

при сложении любых скоростей резуль-
тат не может превысить скорости света с
в вакууме. Скорость света в вакууме
есть предельная скорость, которую не-
возможно превысить. Скорость света в
какой-либо среде, равная — (п — абсо-
лютныи показатель преломления сре-
ды), предельной величиной не является

(подробнее см. § 189).

§ 38. Интервал между событиями

Преобразования Лоренца и след-

ствия из них приводят к выводу об от-
носительности длин и промежутков
времени, значение которых в различ-
ных системах отсчета разное. В то же
время относительный характер длин и
промежутков времени в теории Эйнш-
тейна означает относительность отдель-
ных компонентов какой-то реальной
физической величины, не зависящей от
системы отсчета, т. е. являющейся инва-

риантной по отношению к преобразо-

 координат.

В четырехмерном пространстве Эйн-

штейна, в котором каждое событие ха-
рактеризуется четырьмя координатами

{х,у, z,t), такой физической величиной

является интервал между двумя собы-
тиями:

 (38.1)

 расстояние между точками трех-

мерного пространства, в которых эти
события произошли. Введя обозначение

 =

 —

 получим

Покажем, что интервал между дву-

мя событиями одинаков во всех инер-
циальных системах отсчета. Обозначив

и

выражение (38.1) можно

записать в виде

Интервал между теми же события-

ми в системе К' равен

(38.2)

Согласно преобразованиям Лоренца

(36.3),

75

Обобщая полученные результаты,

можно сделать вывод, что интервал,
определяя пространственно-времен-

ные соотношения между событиями,
является инвариантом при переходе от
одной инерциальной системы отсчета
к другой. Инвариантность интервала
означает, что, несмотря на относи-
тельность длин и промежутков време-

ни, течение событий носит объектив-
ный характер и не зависит от системы
отсчета.

Теория относительности, таким об-

разом, сформулировала новое пред-
ставление о пространстве и времени.

Пространственно-временные отноше-

ния являются не абсолютными величи-
нами, как утверждалось в механике
Галилея — Ньютона, а относительными.

Следовательно, представления об абсо-

лютном пространстве и времени явля-

ются несостоятельными. Кроме того,
инвариантность интервала между дву-
мя событиями свидетельствует о том,
что пространство и время органически
связаны между собой и образуют еди-
ную форму существования материи —

«пространство — время». Пространство
и время не существуют вне материи и
независимо от нее.

Дальнейшее развитие теории отно-

сительности {общая теория относи-
тельности, или теория тяготения)

показало, что свойства пространства-
времени в данной области определяют-
ся действующими в ней полями тяго-
тения. При переходе к космическим
масштабам геометрия пространства-
времени не является евклидовой (т.е.
не зависящей от размеров области

«пространство — время»), а изменяется
от одной области к другой в зависимо-
сти от концентрации масс в этих облас-

тях и их движения.

§ 39. Основной закон

релятивистской динамики

материальной точки

Из принципа относительности Эйн-

штейна (см. § 35), утверждающего ин-
вариантность всех законов природы
при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой, следует ус-
ловие инвариантности уравнений фи-
зических законов относительно преоб-
разований Лоренца. Основной закон

динамики Ньютона оказывает-

ся также инвариантным по отношению
к преобразованиям Лоренца, если в нем
справа стоит производная по времени
от релятивистского импульса.

Основной закон релятивистской

динамики материальной точки имеет
вид

(39.1)

или

где

(39.2)

(39.3)

— релятивистский импульс матери-
альной точки (га — масса материальной
точки).

Отметим, что уравнение (39.2)

внешне совпадает с основным уравне-
нием ньютоновской механики (6.7).

Однако физический смысл его другой:
справа стоит производная по времени
от релятивистского импульса, опреде-

ляемого формулой (39.3). Таким обра-
зом, уравнение (39.1) инвариантно по

76

отношению к преобразованиям Лорен-
ца и, следовательно, удовлетворяет

принципу относительности Эйнштей-
на. Следует учитывать, что ни импульс,
ни сила не являются инвариантными
величинами. Более того, в общем слу-
чае ускорение не совпадает по направ-
лению с силой.

Анализ формул (39.3) и (39.1) пока-

зывает, что при скоростях, значитель-

но меньших скорости с, уравнение

(39.1) переходит в основной закон [см.
(6.5)] классической механики. Следова-

тельно, условием применимости зако-
нов классической (ньютоновской) ме-
ханики является условие Зако-

ны классической механики получают-
ся как следствие теории относительнос-
ти для предельного случая (Ф°Р~
мально переход осуществляется при

). Таким образом, классическая

механика — это механика макротел,

движущихся с малыми скоростями (по
сравнению со скоростью света в вакуу-

ме).

§ 40. Энергия

в релятивистской механике

Найдем кинетическую энергию ре-

лятивистской частицы. Элементарная
работа силы F на малом перемещении

равна [учли

основной закон релятивистской дина-
мики (39.2)]. Тогда

(этот результат можно проверить диф-

ференцированием).

Приращение кинетической энергии

материальной точки на элементарном
перемещении равно элементарной ра-

боте на том же перемещении (см. § 12):

dT=dA. Тогда

Интегрируя это выражение, получим

Поскольку кинетическая энергия

при v — 0 должна обращаться в нуль, то
постоянная интегрирования

Следовательно, кинетическая энергия

релятивистской частицы

(40.1)

Выражение (40.1) при скоростях

переходит в классическое:

(40.2)

правомерно пре-

небречь слагаемыми второго порядка
малости).

Полная энергия свободной частицы,

т.е. частицы, на которую не действуют
силы,

(40.3)

Отметим, что в полную энергию Е не

входит потенциальная энергия тела во
внешнем силовом поле. Полная энер-
гия частицы в разных системах отсчета
различна.

В случае покоящейся частицы (v = 0)

из формулы (40.3) найдем, что

77

 =

 (40.4)

Величина, определяемая выражени-

ем (40.4), называется энергией покоя.

Значения т и

 не зависят от выбора

инерциалыюй системы отсчета. В энер-
гию покоя, как и в полную энергию
(40.3), не входит энергия тела во внеш-
нем силовом поле. В классической ме-
ханике энергия покоя

 не учитывает-

ся, считая, что при v = 0 энергия поко-
ящегося тела равна нулю.

Как энергия Е, так и импульс р реля-

тивистской частицы имеют различные
значения в разных системах отсчета. Но

существует величина Е

2

 —

 = inv,

являющаяся инвариантной (имеющей
одно  то же значение в разных систе-
мах отсчета):

[учли формулы (39.3), (40.3) и (40.4)].

Согласно формуле (40.5), получим

Е

2

 — р

2

с

2

 = т

2

с

4

, откуда связь между

энергией и импульсом

или

(40.6)

Из выражений (40.3), (40.1) и (40.4)

следует, что полная энергия системы

(40.7)

т.е. складывается из ее кинетической
энергии и энергии покоя. Подставив

(40.7) в (40.6), получим

(40.8)

откуда следует, что при выра-
жение (40.8) переходит в ньютоновское

а при приобрета-

ет вид

Согласно формуле (40.4), масса тела

и его энергия покоя связаны соотноше-
нием

 =

 Это означает, что вся-

кое изменение массы тела Am сопро-
вождается изменением энергии покоя

 и эти изменения пропорциональ-

ны друг другу, т. е.

 (40.9)

Выражение (40.9) носит название

закона взаимосвязи массы и энергии

Чтобы охарактеризовать прочность

связи и устойчивость системы каких-

либо частиц (например, атомного ядра

как системы из протонов и нейтронов),
вводят понятие энергии связи. Энергия
связи системы равна работе, которую
необходимо затратить, чтобы разло-
жить эту систему на составные части

(например, атомное ядро — на протоны
и нейтроны). Энергия связи системы

(40.10)

где

 — масса

 частицы в свобод-

ном состоянии; М— масса системы.

Закон взаимосвязи массы и энергии

покоя (иногда говорят просто энергии)
подтвержден экспериментами о выде-
лении энергии при протекании ядерных
реакций. Он широко используется для
расчета энергетических эффектов при
ядерных реакциях и превращениях эле-

ментарных частиц.

Выводы специальной теории относи-

тельности, как, впрочем, и любые круп-
ные открытия, потребовали пересмотра

многих установившихся и ставших при-
вычными представлений. Так, длина тел
и длительность событий не являются аб-
солютными величинами, а носят отно-
сительный характер, масса и энергия
покоя оказались связанными друг с дру-
гом, хотя они и являются качественно
различными свойствами материи.

78