Курс физики для вузов - часть 18

физике считается, что время во всех
инерциальных системах отсчета течет
одинаково, т.е. t = t').

Эйнштейн показал, что в теории от-

носительности классические преобра-

зования Галилея, описывающие пере-

ход из одной инерциальной системы
отсчета к другой:

заменяются преобразованиями Лорен-
ца, удовлетворяющими постулатам

Эйнштейна (формулы представлены

для случая, когда К' движется относи-
тельно К со скоростью v

Эти преобразования предложены

Лоренцем в 1904 г., еще до появления
теории относительности, как преобра-
зования, относительно которых уравне-
ния Максвелла (см. § 139) инвариантны.

Преобразования Лоренца имеют вид

(36.3)

Из сравнения приведенных уравне-

ний вытекает, что они симметричны и
отличаются лишь знаком при v. Это
очевидно, так как если скорость движе-
ния системы К' относительно системы

К равна v, то скорость движения К от-
носительно К' равна — v.

Из преобразований Лоренца вытека-

ет также, что при малых скоростях (по
сравнению со скоростью с), т.е. когда
(3

 1, они переходят в классические пре-

образования Галилея (в этом заключает-
ся суть принципа соответствия), кото-
рые являются, следовательно, предель-
ным случаем преобразований Лоренца.

При v > с выражения (36.3) для  t, x', t'

теряют физический смысл (становятся

мнимыми). Это находится, в свою оче-
редь, в соответствии с тем, что движение
со скоростью, большей скорости распро-
странения света в вакууме, невозможно.

Из преобразований Лоренца следу-

ет очень важный вывод о том, что как
расстояние, так и промежуток времени
между двумя событиями меняются при
переходе от одной инерциальной сис-
темы отсчета к другой, в то время как в
рамках преобразований Галилея эти ве-
личины считались абсолютными, не из-

меняющимися при переходе от систе-
мы к системе.

Кроме того, как пространственные,

так и временные преобразования [см.

(36.3)] не являются независимыми, по-
скольку в закон преобразования коор-

динат входит время, а в закон преобра-
зования времени — пространственные

координаты, т.е. устанавливается вза-
имосвязь пространства и времени. Та-
ким образом, теория Эйнштейна опери-
рует не с трехмерным пространством, к
которому присоединяется понятие вре-
мени, а рассматривает неразрывно свя-
занные пространственные и временные
координаты, образующие четырехмер-
ное пространство-время.

§ 37. Следствия

из преобразований Лоренца

1. Одновременность событий в раз-

ных системах отсчета. Пусть в систе-

71

ме К в точках с координатами  и  в
моменты времени  и  происходят два

события. В системе К' им соответству-
ют координаты

 и

 и моменты вре-

мени  и

 Если события в системе К

происходят в одной точке

 =

 и яв-

ляются одновременными

 то,

согласно преобразованиям Лоренца

(36.3),

т. е. эти события являются одновремен-
ными и пространственно совпадающи-

ми для любой инерциальиой системы

отсчета.

Если события в системе К простран -

 разобщены

 одно-

временны

 =

 то в системе К', со-

гласно преобразованиям Лоренца (36.3),

Таким образом, в системе К' эти со-

бытия, оставаясь пространственно ра-

 оказываются и неодновре-

менными. Знак разности  —  опреде-

ляется знаком выражения

 —

поэтому в различных точках системы от-
счета

 (при разных v) разность  —

будет различной по величине и может
отличаться по знаку. Следовательно, в
одних системах отсчета первое событие
может предшествовать второму, в то
время как в других системах отсчета,

наоборот, второе событие предшеству-
ет первому. Сказанное, однако, не отно-
сится к причинно-следственным собы-
тиям, так как можно показать, что по-
рядок следования причинно-следствен-
ных событий одинаков во всех инерци-

альных системах отсчета.

2. Длительность событий в разных

системах отсчета. Пусть в некоторой
точке (с координатой х), покоящейся
относительно системы К, происходит
событие, длительность которого (раз-
ность показаний часов в конце и нача-

ле события) т =  —  где индексы 1 и

2 соответствуют началу и концу собы-
тия. Длительность этого же события в
системе К'

(37.1)

причем началу и концу события, соглас-
но (36.3), соответствуют

(37.2)

Подставляя (37.2) в (37.1), получим

или

(37.3)

Из соотношения (37.3) вытекает, что

т <

 т.е. длительность события, про-

исходящего в некоторой точке, наимень-
шая в той

 системе отсче-

та, относительно которой эта точка
неподвижна. Этот результат может быть
еще истолкован следующим образом:

интервал времени т', отсчитанный по
часам в системе К', с точки зрения на-
блюдателя в системе К, продолжитель-
нее интервала т, отсчитанного по его
часам. Следовательно, часы, движущи-
еся относительно инерциальной систе-

мы отсчета, идут медленнее покоящих-

ся часов, т.е. ход часов замедляется в
системе отсчета, относительно которой
часы движутся.

На основании относительности по-

нятий «неподвижная» и «движущаяся»

72

системы соотношения для

 обра-

тимы. Из (37.3) следует, что замедле-

ние хода часов становится заметным

лишь при скоростях, близких к скорос-
ти распространения света в вакууме.

В связи с обнаружением релятивис-

тского эффекта замедления хода часов
в свое время возникла проблема «пара-
докса часов» (иногда рассматривается

как «парадокс близнецов»), вызвавшая
многочисленные дискуссии. Предста-
вим себе, что осуществляется космиче-
ский полет к звезде, находящейся на рас-
стоянии 500 световых лет (расстояние,
на которое свет от звезды до Земли до-
ходит за 500 лет), со скоростью, близ-

кой к скорости света

 — (З

2

 = 0,001).

По земным часам полет до звезды и об-

ратно продлится 1000 лет, в то время
как для системы корабля и космонавта
в нем такое же путешествие займет все-
го 1 год. Таким образом, космонавт воз-
вратится на Землю в раз более

молодым, чем его брат-близнец, остав-
шийся на Земле.

Это явление, получившее название

парадокса

 в действитель-

ности парадокса не содержит. Дело в
том, что принцип относительности ут-
верждает равноправность не всяких
систем отсчета, а только

Неправильность рассуждения состоит

в том, что системы отсчета, связанные

с близнецами, не эквивалентны: земная
система

 а корабельная —

неинерциальна, поэтому к ним принцип
относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления

хода часов является

 реаль-

ным и получил экспериментальное под-

тверждение при изучении нестабиль-

ных, самопроизвольно распадающихся

элементарных частиц в опытах с
зонами. Среднее время жизни покоя-
щихся тс-мезонов (по часам, движущим-

ся вместе с ними) т  2,2 • 10  с. Сле-
довательно,

 образующиеся в

верхних слоях атмосферы (на высоте

 км) и движущиеся со скоростью,

близкой к скорости с, должны были бы
проходить расстояния ст  6,6 м, т.е.
не могли бы достигать земной поверх-
ности, что противоречит действительно-
сти. Объясняется это релятивистским
эффектом замедления хода времени:
для земного наблюдателя срок жизни

, а путь этих час-

3. Длина тел в разных системах от-

счета. Рассмотрим стержень, располо-
женный вдоль оси х' и покоящийся от-
носительно системы К'. Длина стерж-
ня в системе К' будет

 =  —

 где

и  — не изменяющиеся со временем t'
координаты начала и конца стержня, а
индекс 0 показывает, что в системе от-
счета К' стержень покоится. Определим

длину этого стержня в системе К, от-

носительно которой он движется со
скоростью v. Для этого необходимо из-
мерить координаты его концов
системе  в один и тот же момент вре-

мени t. Их разность  —  —  и опре-

делит длину стержня в системе К. Ис-

пользуя преобразования Лоренца
(36.3), получим

т.е.

(37.4)

Таким образом, длина стержня, из-

меренная в системе, относительно ко-

73

торой он движется, оказывается мень-
ше длины, измеренной в системе, отно-
сительно которой стержень покоится.

Если стержень покоится в системе К,
то, определяя его длину в системе К',
опять-таки придем к выражению (37.4).

Из выражения (37.4) следует, что

линейный размер тела, движущегося

относительно инерциальной системы
отсчета, уменьшается в направлении
движения в

 раз, т.е. так назы-

ваемое лоренцево сокращение длины
тем больше, чем больше скорость дви-

жения. Из второго и третьего уравне-

ний преобразований Лоренца (36.3)
следует, что

т.е. поперечные размеры тела не зави-
сят от скорости его движения и одина-
ковы во всех инерциалъных системах от-
счета. Таким образом, линейные разме-

ры тела наибольшие в той инерциаль-

ной системе отсчета, относительно
которой тело покоится.

4. Релятивистский закон сложения

скоростей. Рассмотрим движение ма-
териальной точки в системе К', в свою
очередь движущейся относительно си-

стемы К со скоростью v. Определим ско-
рость этой же точки в системе К. Если
в системе К движение точки в каждый
момент времени t определяется коорди-
натами х, у, z, а в системе К' в момент
времени t' — координатами х', у', z', то

представляют собой соответственно
проекции на оси х, у,  и

 у', z' вектора

скорости рассматриваемой точки отно-
сительно систем К и К'. Согласно пре-
образованиям Лоренца (36.3),

Произведя соответствующие преоб-

разования,

 релятивистский

закон сложения скоростей специаль-

ной теории относительности:

Если материальная точка движется

параллельно оси х, то скорость и отно-
сительно системы К совпадает с

 а

скорость  относительно К' — с

 Тог-

да закон сложения скоростей примет

вид

Легко убедиться в том, что если ско-

рости v, и' и и малы но сравнению со
скоростью с, то формулы (37.5) и (37.6)
переходят в закон сложения скоростей
в классической механике [см. (34.4)].
Таким образом, законы релятивистской

механики в предельном случае для ма-
лых скоростей (по сравнению со скоро-
стью распространения света в вакууме)
переходят в законы классической фи-
зики, которая, следовательно, является

74