Курс физики для вузов - часть 17

6.3. Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой Н= 5 м, имеет форму усечен-

ного конуса, сужающегося вверх. Диаметр нижнего сечения

 — б см, верхнего —

 = 2 см.

Высота сопла  / I = 1 M . Пренебрегая сопротивлением воздуха в струе и сопротивлением в
сопле, определите: 1) расход воды в 1 с, подаваемой фонтаном; 2) разность Ар давления в

нижнем сечении и атмосферного давления. Плотность воды р = 1 г/см

3

. [1)

 —— =

3,1 •

 2) Ар = pgh +

= 58,3 кПа]

6.4. На горизонтальной

 стоит цилиндрический сосуд, в боковой поверхно-

сти которого имеется отверстие. Поперечное сечение отверстия значительно меньше попе-
речного сечения самого сосуда. Отверстие расположено на расстоянии  =

 см ниже уров-

ня воды в сосуде, который поддерживается постоянным, и па расстоянии  = 25 см от дна
сосуда. Пренебрегая вязкостью воды, определите, на каком расстоянии

 горизонтали от

сосуда падает на поверхность струя, вытекающая из отверстия. [80 см]

6.5. В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность р = 1,2 г/см

3

), падает с

установившейся скоростью 5 см/с стеклянный шарик

 = 2,7 г/см

3

) диаметром 1 мм. Оп-

ределите динамическую вязкость глицерина. [16 Па • с]

6.6. В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного на столе, вставлен

на высоте  — 5 см от его дна капилляр внутренним диаметром d — 2 мм и длиной  — 1 см.
В сосуде поддерживается постоянный уровень машинного масла (плотность р = 0,9 г/см

3

 и

динамическая вязкость

 0,1 Па • с) на высоте  — 80 см выше капилляра. Определите, па

каком расстоянии по горизонтали от конца капилляра падает на поверхность стола струя

масла, вытекающая из отверстия. [ s —

 =8,9 см]

|

6.7. Определите наибольшую

 которую может приобрести свободно падающий

в воздухе (р = 1,29 г/см

3

) стальной шарик

 9 г/см

3

) массой га  20 г. Коэффициент

принять равным 0,5. [94 см/с]

Глава 7

ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ (ЧАСТНОЙ)

ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

§ 34. Преобразования Галилея.

Механический принцип

относительности

Рассмотрим две системы отсчета:

инерциальную систему К (с координа-
тами х, у,

 которую условно будем

считать неподвижной, и систему К'
(с координатами х', у',

 движущую-

ся относительно К равномерно и пря-
молинейно со скоростью

 const).

Отсчет времени начнем с момента, ког-

да начала координат обеих систем со-
впадают. Пусть в произвольный момент
времени t расположение этих систем
относительно друг друга имеет вид,
изображенный на рис. 60. Скорость

направлена вдоль 00', радиус-вектор,
проведенный из

 О',

 —

Найдем связь между координатами

произвольной точки А в обеих систе-
мах. Из рис. 60 видно, что

(34.1)

67

Рис. 60

Уравнение (34.1) можно записать в

проекциях на оси координат:

(34.2)

Уравнения (34.1) и (34.2) носят на-

звание преобразований координат Га-

лилея.

В частном случае, когда система К'

движется со скоростью v вдоль положи-
тельного направления оси х системы К

(в начальный момент времени оси ко-
ординат совпадают), преобразования
координат Галилея имеют вид

В классической механике предпола-

гается, что ход времени не зависит от
относительного движения систем от-
счета, т.е. к преобразованиям (34.2)
можно добавить еще одно уравнение:

t=t'. (34.3)

Записанные соотношения справед-

ливы лишь в случае классической меха-

ники (и

 с), а при скоростях, сравни-

мых со скоростью света, преобразования
Галилея заменяются более общими пре-
образованиями Лоренца

1

 (см. § 36).

Продифференцировав выражение

(34.1) по времени [с учетом (34.3)], по-

лучим уравнение

(34.4)

которое представляет собой правило
сложения скоростей в классической

механике.

 Х.Лоренц (1853—1928) — нидерландский

физик-теоретик.

§ 35. Постулаты специальной

(частной) теории относительности

Классическая механика Ньютона

прекрасно описывает движение макро-
тел, движущихся с малыми скоростями

68

Ускорение в системе отсчета К

Таким образом, ускорение точки А

в системах отсчета К  К', движущихся
относительно друг друга равномерно и
прямолинейно, одинаково:

(34.5)

Следовательно, если на точку А дру-

гие тела не действуют (а = 0), то, со-
гласно (34.5), и

 = 0, т.е. система К'

является инерциальной (точка движет-

ся относительно нее равномерно и пря-
молинейно или покоится).

Из уравнения (34.5) следует, что

если выполняется равенство F — та, то
выполняется и равенство F' = то! (мас-
са имеет одинаковое числовое значение
во всех системах отсчета). Поскольку
системы К и К' были выбраны произ-

вольно, то полученный результат озна-
чает, что уравнения динамики при пере-

ходе от одной инерциальной системы

отсчета к другой формулируются оди-
наково. Это утверждение и есть меха-
нический принцип относительности

(принцип относительности Гали-

лея). Галилей первым обратил внима-

ние на то, что никакими механически-
ми опытами, проведенными в данной
инерциальной системе отсчета, нельзя
установить, покоится ли она или дви-
жется равномерно и прямолинейно.

Например, сидя в каюте корабля, дви-

жущегося равномерно и прямолинейно,
мы не можем определить, покоится ко-
рабль или движется, не выглянув в окно.

Однако в конце XIX в. выясни-

лось, что выводы классической механи-

ки противоречат некоторым опытным
данным, в частности при изучении дви-

жения быстрых заряженных частиц
оказалось, что их движение не подчи-
няется законам классической механи-

ки. Далее возникли затруднения при
попытках применить механику Ньюто-
на к объяснению распространения све-
та. Если источник и приемник света
движутся друг относительно друга рав-
номерно и прямолинейно, то, согласно
классической механике, измеренная
скорость должна зависеть от относи-
тельной скорости их движения.

Американский физик А. Майкель-

сон (1852-1913) в 1881 г., а затем в

1887 г. совместно с Е.Морли (амери-

канский физик, 1838—1923) пытался
обнаружить движение Земли относи-
тельно эфира (эфирный ветер) — опыт

Майкельсона — Морли, применяя ин-
терферометр, названный впоследствии

интерферометром Майкельсона (см.
§ 175). Обнаружить эфирный ветер
Майкельсону не удалось, как, впрочем,
не удалось его обнаружить и в других
многочисленных опытах. Опыты «уп-
рямо» показывали, что скорости света
в двух движущихся относительно друг
друга системах равны. Это противо-
речило правилу сложения скоростей
классической механики.

Одновременно было показано проти-

воречие между классической теорией и
уравнениями (см. § 139) Дж. К. Макс-
велла (английский физик, 1831 —1879),
лежащими в основе понимания света
как электромагнитной волны.

Для объяснения этих и некоторых

других опытных данных необходимо

было создать новую теорию, которая,
объясняя эти факты, содержала бы нью-
тоновскую механику как предельный

случай для малых скоростей

Это и удалось сделать А. Эйнштейну,

который пришел к выводу о том, что
мирового эфира — особой среды, кото-
рая могла бы быть принята в качестве

абсолютной системы, — не существует.
Наличие постоянной скорости распро-
странения света в вакууме находилось
в согласии с уравнениями Максвелла.

Таким образом, А. Эйнштейн зало-

жил основы специальной теории от-
носительности. Эта теория представ-
ляет собой современную физическую
теорию пространства и времени, в ко-
торой, как и в классической ньютонов-

ской механике, предполагается, что вре-
мя однородно (см. § 13), а пространство
однородно (см. § 9) и изотропно (см.
§ 19). Специальная теория относитель-
ности часто называется также реляти-
вистской теорией, а специфические
явления, описываемые этой теорией, —

релятивистскими эффектами.

В основе специальной теории отно-

сительности лежат постулаты Эйнш-
тейна, сформулированные им в 1905 г.

I. Принцип относительности: ни-

какие опыты (механические, электри-
ческие, оптические), проведенные внут-
ри данной инерциалыюй системы от-
счета, не дают возможности обнару-
жить, покоится ли эта система или дви-
жется равномерно и прямолинейно; все
законы природы

 по отно-

шению к переходу от одной инерциаль-
ной системы отсчета к другой.

II. Принцип инвариантности ско-

рости света: скорость света в вакууме

не зависит от скорости движения источ-
ника света или наблюдателя и одинакова
во всех инерциальных системах отсчета.

Первый постулат Эйнштейна, явля-

ясь обобщением механического прин-

1

 Инвариантные величины — величины, име-

ющие одно и то же числовое значение во всех
системах отсчетах.

69

ципа относительности (принципа отно-
сительности Галилея) на любые физи-
ческие процессы, утверждает, таким
образом, что физические законы инва-
риантны по отношению к выбору инер-
циальной системы отсчета, а уравнения,
описывающие эти законы, одинаковы
по форме во всех инерциальных систе-

мах отсчета. Согласно этому постулату,
все инерциальные системы отсчета со-
вершенно равноправны, т.е. явления

оптические и др.) во всех инерциальных
системах отсчета протекают одинаково.

Согласно второму постулату Эйнш-

тейна,

 скорости света —

фундаментальное свойство природы, ко-
торое констатируется как опытный факт.

Специальная теория относительно-

сти потребовала отказа от привычных
представлений о пространстве и време-
на, принятых в классической механике,
поскольку они противоречили принци-

пу постоянства скорости света. Потеря-
ло смысл не только абсолютное про-
странство, но и абсолютное время.

Постулаты Эйнштейна и теория,

построенная на их основе, установили
новый взгляд на мир и новые простран-

ственно-временные представления, та-
кие, например, как относительность

длин и промежутков времени, относи-

тельность одновременности событий.

Эти и другие следствия из теории Эйн-
штейна находят надежное эксперимен-
тальное подтверждение, являясь тем
самым обоснованием постулатов Эйн-
штейна — обоснованием специальной
теории относительности.

§ 36. Преобразования Лоренца

Анализ явлений в инерциальных си-

стемах отсчета, проведенный А. Эйнш-
тейном на основе сформулированных

им постулатов, показал, что классичес-
кие преобразования Галилея несовме-
стимы с ними и, следовательно, долж-
ны быть заменены преобразованиями,
удовлетворяющими постулатам теории
относительности.

Для иллюстрации этого вывода рас-

смотрим две инерциальные системы
отсчета: К (с координатами х, у, z) и К'

(с координатами х', у', z'), движущую-
ся относительно К (вдоль оси х) со ско-

ростью v = const (рис. 61). Пусть в на-
чальный момент времени t = t' = 0, ког-
да начала координат

 и О' совпадают,

излучается световой импульс. Согласно
второму постулату Эйнштейна, скорость
света в обеих системах одна и та же и
равна с. Поэтому если за время t в сис-
теме K сигнал дойдет до некоторой точ-
ки А (см. рис. 61), пройдя расстояние

(36.1)

то в системе К' координата светового
импульса в момент достижения точ-

ки А

(36.2)

где t' — время прохождения светового
импульса от начала координат до точ-
ки А в системе К'. Вычитая (36.1) из

(36.2), получим

Так как х'  х (система К' переме-

щается по отношению к системе К), то

т. е. отсчет времени в системах К и К'
различен — отсчет времени имеет от-
носительный характер (в классической

Рис. 61

70