Курс физики для вузов - часть 15

 где  — скорость течения жидко-

сти в месте сечения

 Здесь предпола-

гается, что скорость жидкости в сечении

постоянна. Если жидкость несжимаема
(р = const), то через сечение

 пройдет

такой же объем жидкости, как и через

сечение

 т. е.

(29.1)

Следовательно, произведение скоро-

сти течения несжимаемой жидкости на
поперечное сечение трубки тока есть
величина постоянная для данной труб-
ки тока. Соотношение (29.1) называет-

 уравнением неразрывности для не-

сжимаемой жидкости.

§ 30. Уравнение Бернулли

и следствия из него

В реальных жидкостях между от-

дельными слоями потока возникают

силы внутреннего трения, тормозящие
относительное смещение слоев. Одна-
ко в ряде случаев ими можно пренеб-
речь. Поэтому для вывода ряда законо-

мерностей пользуются физической мо-
делью идеальной жидкости — вообра-
жаемой жидкости, у которой внутрен-
нее трение полностью отсутствует.

Выделим в стационарно текущей

несжимаемой идеальной жидкости
трубку тока, ограниченную сечениями

 по которой жидкость течет сле-

ва направо (рис. 49). Пусть в месте се-
чения

 скорость течения

 давление

 и высота, на которой это сечение рас-

положено,

 Аналогично, в месте се-

чения

 скорость течения

 давление

 высота сечения

 За малый проме-

жуток времени

 жидкость перемеща-

ется от сечения

 сечению

 от

к

Согласно закону сохранения энер-

гии, изменение полной энергии

 —

 49

идеальной несжимаемой жидкости дол-
жно быть равно работе А внешних сил
по перемещению массы т жидкости:

(30.1)

где

 — полные энергии жидкости

массой т в местах сечений

 соот-

ветственно.

С другой стороны, А — это работа,

совершаемая при перемещении всей
жидкости, заключенной между сечени-
ями

 за рассматриваемый малый

промежуток времени At. Для перене-
сения массы

 до

 жидкость дол-

жна переместиться на расстояние  =
=

 и от

 до

 — на расстояние

 =

Отметим, что  и  настолько малы,

что всем точкам объемов, закрашенных
на

 49, приписывают постоянные

значения скорости, давления и высоты.

Следовательно,

(30.2)

где

 =

 —

 (отрицательна,

так как направлена в сторону, противо-
положную течению жидкости; см.

 49).

Полные энергии

 будут скла-

дываться из кинетической и потенци-

альной энергий массы т жидкости:

(30.3)

(30.4)

59

 50

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и

приравнивая (30.1) и (30.2), получим

где р — плотность жидкости.

Так как сечения выбирались произ-

вольно, то можем записать

Выражение (30.6) выведено швей-

царским физиком Д. Бернулли (1700 —

1782; опубликовано в 1738 г.) и назы-

вается уравнением Бернулли. Уравне-
ние Бернулли — выражение закона со-

хранения энергии применительно к ус-

тановившемуся течению идеальной
жидкости. Оно хорошо выполняется и
для реальных жидкостей, внутреннее
трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (30.6) назы-

вается статическим давлением (дав-
ление жидкости на поверхность обтека-
емого ею тела), величина

дина-

мическим давлением. Как уже указы-

валось выше (см. § 28), величина pgh
представляет собой гидростатическое
давление.

Для горизонтальной трубки тока

—

 выражение (30.6) принимает вид

(30.7)

Рис.51

где р + называется полным давле-
нием.

Из уравнения Бернулли (30.7) для

горизонтальной трубки тока и уравне-
ния неразрывности (29.1) следует, что
при течении жидкости по горизонталь-
ной трубе, имеющей различные сечения,
скорость жидкости больше в местах су-
жения, а статическое давление больше

в более широких местах, т.е. там, где
скорость меньше. Это можно продемон-
стрировать, установив вдоль трубы ряд

манометров (рис. 50). В соответствии

с уравнением Бернулли опыт показы-
вает, что в манометрической трубке В,

прикрепленной к узкой части трубы,
уровень жидкости ниже, чем в маномет-
рических трубках А и С, прикреплен-
ных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление свя-

зано со скоростью движения жидкости

(газа), то уравнение Бернулли позволя-

ет измерять скорость потока жидкости.
Для этого применяется трубка Пито —
Прандтля (рис. 51). Прибор состоит из
двух изогнутых под прямым углом тру-

бок, противоположные концы которых

60

Согласно уравнению неразрывности

для несжимаемой жидкости (29.1),

объем, занимаемый жидкостью, остает-
ся постоянным, т.е.

Разделив выражение (30.5) на

получим

присоединены к манометру. С помо-

щью одной из трубок измеряется пол-
ное давление (р

0

), с помощью другой —

статическое (р). Манометром измеря-
ют разность давлений:

(30.8)

где р

0

 — плотность жидкости в маномет-

ре. С другой стороны, согласно уравне-
нию Бернулли, разность полного и ста-
тического давлений равна динамиче-
скому давлению:

Рис. 52

Из формул (30.8) и (30.9) получаем

искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления

в точках, где скорость потока больше,
положено в основу работы водоструй-
ного насоса (рис. 52). Струя воды по-
дается в трубку, открытую в атмосфе-
ру, так что давление на выходе из труб-

ки равно атмосферному. В трубке име-
ется сужение, по которому вода течет с
большей скоростью. В этом месте дав-
ление меньше атмосферного. Это дав-
ление устанавливается и в откачанном
сосуде, который связан с трубкой через
разрыв, имеющийся в ее узкой части.

Воздух увлекается вытекающей с боль-
шой скоростью водой из узкого конца.

Таким образом можно откачивать воз-
дух из сосуда до давления 100 мм рт. ст.

(1 мм рт. ст. = 133,32 Па).

Уравнение Бернулли используется

для нахождения скорости истечения

жидкости через отверстие в стенке или
дне сосуда. Рассмотрим цилиндричес-

кий сосуд с жидкостью, в боковой стен-
ке которого на некоторой глубине ниже

уровня жидкости имеется маленькое

отверстие (рис. 53).

Рассмотрим два сечения (на уров-

не  свободной поверхности жидкости

в сосуде и на уровне  выхода ее из от-
верстия) и запишем уравнение Бернул-

ли:

Так как давления  и  в жидкости

на уровнях первого и второго сечений
равны атмосферному, т.е.  —

 то

уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности (29.1)

следует, что где — пло-

щади поперечных сечений сосуда и от-
верстия. Если то слагаемым
можно пренебречь. Тогда

Рис. 53

61

Это выражение получило название

формулы

§

 Вязкость (внутреннее трение).

Ламинарный и турбулентный

режимы течения жидкостей

Рассмотренная ранее (см. § 30) иде-

альная жидкость — воображаемая жид-
кость, в которой отсутствуют силы
внутреннего трения, есть физическая
абстракция. Всем реальным жидко-

стям и газам присуща вязкость {внут-

реннее трение).

Вязкость {внутреннее трение) —

это свойство реальных жидкостей ока-
зывать сопротивление перемещению
одной части жидкости относительно
другой. При перемещении одних слоев

реальной жидкости относительно дру-
гих возникают силы внутреннего тре-
ния, направленные по касательной к по-
верхности слоев. Действие этих сил
проявляется в том, что со стороны
движущегося быстрее, на слой, движу-

щийся медленнее, действует ускоряю-
щая сила. Со стороны же слоя, движу-
щегося медленнее, на слой, движущий-
ся быстрее, действует тормозящая сила.

Сила внутреннего трения F тем

больше, чем больше рассматриваемая
площадь поверхности слоя S (рис. 54),
и зависит от того, насколько быстро ме-
няется скорость течения жидкости при
переходе от слоя к слою. На рисунке
представлены два слоя, отстоящие друг
от друга на расстоянии Ах и движу-

щиеся со скоростями

 При этом

 —

 Направление, в котором

отсчитывается расстояние между сло-
ями, перпендикулярно скорости течения
слоев. Величина

показывает, как

быстро меняется скорость при перехо-

де от слоя к слою в направлении х, пер-

пендикулярном направлению движе-
ния слоев, и называется градиентом
скорости. Таким образом, модуль силы
внутреннего трения

(31.1)

где коэффициент пропорциональнос-
ти

 зависящий от природы жидкости,

называется динамической вязкостью

(или просто вязкостью).

Единица вязкости — паскаль-секун-

да (Па • с): 1 Па • с равен динамической
вязкости среды, в которой при ламинар-
ном течении и градиенте скорости с мо-
дулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает

сила внутреннего трения 1 Н на 1 м

2

поверхности касания слоев (1

 =

= 1 Н • с/м

2

).

Чем больше вязкость, тем сильнее

жидкость отличается от идеальной, тем
большие силы внутреннего трения в

ней возникают. Вязкость зависит от
температуры, причем характер этой за-
висимости для жидкостей и газов раз-
личен (для жидкостей  с увеличением
температуры уменьшается, у газов, на-
оборот, увеличивается), что указывает

на различие в них механизмов внутрен-
него трения. Особенно сильно от тем-

Рис. 54

 Э.Торричелли (1608— 1647) — итальянский

физик и математик.

62