Курс физики для вузов - часть 13

в формуле (25.5) показывает, что век-
тор напряженности д направлен в сто-

рону убывания потенциала.

В качестве частного примера, исхо-

дя из представлений теории тяготения,

рассмотрим потенциальную энергию

тела, находящегося на высоте h относи-
тельно Земли:

где R

o

 — радиус Земли.

Так как

Таким образом, мы вывели форму-

лу, совпадающую с (12.7), которая по-
стулировалась раньше.

§ 26. Космические скорости

Для запуска ракет в космическое

пространство надо в зависимости от

поставленных целей сообщать им опре-
деленные начальные скорости, называ-
емые космическими.

Первой космической (или круго-

вой) скоростью  называют такую ми-
нимальную скорость, которую надо со-
общить телу, чтобы оно могло двигать-
ся вокруг Земли по круговой орбите,
т.е. превратиться в искусственный
спутник Земли. На спутник, движу-
щийся по круговой орбите радиусом г,
действует сила тяготения Земли, сооб-
щающая ему нормальное ускорение —.
По второму закону Ньютона,

Если спутник движется вблизи по-

верхности Земли, то (радиус

Земли) и д — [см. (25.6)], поэтому

у поверхности Земли

Первой космической скорости недо-

статочно для того чтобы тело могло
выйти из сферы земного притяжения.

Необходимая для этого скорость назы-
вается второй космической. Второй

космической (или параболической)

скоростью

 называют ту наимень-

шую скорость, которую надо сообщить
телу, чтобы оно могло преодолеть при-
тяжение Земли и превратиться в спут-
ник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле
тяготения Земли стала параболической.

Для того чтобы тело (при отсутствии

сопротивления среды) могло преодо-
леть земное притяжение и уйти в кос-
мическое пространство, необходимо,
чтобы его кинетическая энергия была
равна работе, совершаемой против сил
тяготения:

Третьей космической скоростью

называют скорость, которую необходи-
мо сообщить телу на Земле, чтобы оно
покинуло пределы Солнечной системы,
преодолев притяжение Солнца. Третья
космическая скорость

 = 16,7 км/с.

Сообщение телам таких больших на-

чальных скоростей является сложной
технической задачей. Ее первое теоре-
тическое осмысление начато К. Э. Ци-

51

олковским, им была выведена уже рас-
смотренная нами формула (10.3), по-
зволяющая рассчитывать скорость ра-
кет.

Впервые космические скорости бы-

ли достигнуты в СССР: первая — при
запуске первого искусственного спут-

ника Земли в 1957 г., вторая — при за-
пуске ракеты в 1959 г. После историче-
ского полета Ю.А.Гагарина в 1961 г.
начинается бурное развитие космонав-
тики.

§ 27. Неинерциальные системы

отсчета. Силы инерции

Как уже отмечалось (см. § 5, 6), за-

коны Ньютона выполняются только в
инерциальных системах отсчета. Сис-
темы отсчета, движущиеся относи-
тельно инерциальной системы с уско-
рением, называются неинерциалъны-
ми. В неинерциальных системах зако-

ны Ньютона, вообще говоря, уже не-
справедливы. Однако законы динами-
ки можно применять и для них, если
кроме сил, обусловленных воздействи-
ем тел друг на друга, ввести в рассмот-
рение силы особого рода — так называ-
емые силы инерции.

Если учесть силы инерции, то вто-

рой закон Ньютона будет справедлив
для любой системы отсчета: произведе-
ние массы тела на ускорение в рассмат-
риваемой системе отсчета равно сумме
всех сил, действующих на данное тело

(включая и силы инерции). Силы инер-

ции

 при этом должны быть такими,

чтобы вместе с силами F, обусловлен-
ными воздействием тел друг на друга,
они сообщали телу ускорение

 каким

оно обладает в неинерциальных систе-
мах отсчета, т. е.

Так как F = та (а — ускорение тела в
инерциальной системе отсчета), то

Силы инерции обусловлены уско-

ренным движением системы отсчета
относительно измеряемой системы, по-
этому в общем случае нужно учитывать
следующие случаи проявления этих

сил: 1) силы инерции при ускоренном
поступательном движении системы от-
счета; 2) силы инерции, действующие
на тело, покоящееся во вращающейся
системе отсчета; 3) силы инерции, дей-
ствующие на тело, движущееся во вра-
щающейся системе отсчета.

Рассмотрим эти случаи.

1. Силы инерции при ускоренном посту-

пательном движении системы отсчета.

Пусть на тележке к штативу на нити подве-

шен шарик массой т (рис. 42). Пока тележ-

ка покоится или движется равномерно и

прямолинейно, нить, удерживающая шарик,

занимает вертикальное положение и сила

тяжести Р уравновешивается силой реакции

нити

Если тележку привести в поступатель-

ное движение с ускорением

 то нить нач-

нет отклоняться от вертикали назад до та-

кого угла а, пока результирующая сила  =

— Р +

 не обеспечит ускорение шарика,

равное

 Таким образом, результирующая

сила  направлена в сторону ускорения те-

лежки

 для установившегося движения

шарика (шарик теперь движется вместе с те-

лежкой с ускорением

 равна F=

 =

—

 откуда

(27.1)

т. е. угол отклонения нити от вертикали тем

больше, чем больше ускорение тележки.

Относительно системы отсчета, связан-

ной с ускоренно движущейся тележкой,

шарик покоится, что возможно, если сила F

уравновешивается равной и противополож-

но направленной ей силой

 которая яв-

ляется не чем иным, как силой инерции, так

52

Рис. 42

как на шарик никакие другие силы не дей-
ствуют. Таким образом,

(27.2)

Проявление сил инерции при поступа-

тельном движении наблюдается в повсе-
дневных явлениях. Например, когда поезд

набирает скорость, то пассажир, сидящий по
ходу поезда, под действием силы инерции
прижимается к спинке сиденья. Наоборот,
при торможении поезда сила инерции на-
правлена в противоположную сторону и
пассажир удаляется от спинки сиденья. Осо-
бенно эти силы заметны при внезапном тор-
можении поезда. Силы инерции проявляют-
ся в перегрузках, которые возникают при

запуске и торможении космических кораб-

2. Силы инерции, действующие на тело,

покоящееся во вращающейся системе от-
счета. Пусть диск равномерно вращается с
угловой скоростью

 const) вокруг вер-

тикальной оси, проходящей через его центр.

На диске, на разных расстояниях от оси вра-

щения, установлены маятники (на нитях
подвешены шарики массой га). При враще-
нии маятников вместе с диском шарики от-
клоняются от вертикали на некоторый угол

(рис. 43).

В инерциальной системе отсчета, связан-

ной, например, с помещением, где установ-

лен диск, шарик равномерно вращается по

окружности радиусом 7?. (расстояние от цен-
тра вращающегося шарика до оси враще-
ния). Следовательно, на пего действует
сила, равная F=

 направленная пер-

пендикулярно оси вращения диска. Она яв-
ляется равнодействующей силы тяжести Р
и силы натяжения нити

 F  Р +

 Ког-

да движение шарика установится, то

откуда

Рис. 43

т.е. углы отклонения нитей маятников бу-
дут тем больше, чем больше расстояние R

от центра шарика до оси вращения диска и

чем больше угловая скорость вращения

Относительно системы

 связан-

ной с вращающимся диском,

 покоит-

ся, что возможно, если сила  уравновеши-

вается равной и противоположно направ-

ленной ей силой

 которая является не чем

иным, как силой инерции, так как па шарик
никакие другие силы не действуют. Сила
называемая центробежной силой инерции,
направлена по горизонтали от оси вращения
диска и равна

(27.3)

Действию центробежных сил инерции

подвергаются, например, пассажиры в дви-
жущемся транспорте на поворотах, летчи-
ки при выполнении фигур высшего пилота-
жа; центробежные силы инерции использу-
ются во всех центробежных механизмах:

насосах, сепараторах и т. д., где они достига-
ют огромных значений. При проектирова-
нии быстро вращающихся деталей машин
(роторов, винтов самолетов и т.д.) принима-
ются специальные меры для уравновешива-
ния центробежных сил инерции.

Из формулы (27.3) вытекает, что центро-

бежная сила инерции, действующая на тела
во вращающихся системах отсчета в направ-

лении радиуса от оси вращения, зависит от
угловой скорости вращения  системы отсче-
та и радиуса R, но не зависит от скорости тел
относительно вращающихся систем отсчета.

Следовательно, центробежная сила инерции

действует во вращающихся системах отсче-
та на все тела, удаленные от оси вращения па
конечное расстояние, независимо от того, по-

53

Рис. 44

коятся ли они в этой системе (как мы пред-
полагали до сих пор) или движутся относи-
тельно нее с какой-то скоростью.

3. Силы инерции, действующие на тело,

движущееся во вращающейся системе от-
счета. Пусть шарик массой га движется с

постоянной скоростью v' вдоль радиуса рав-
номерно вращающегося диска

 = const,

из = const, v' JL из). ЕСЛИ ДИСК не вращается,

то шарик, направленный вдоль радиуса, дви-
жется по радиальной прямой и попадает в
точку А, если же диск привести во враще-

ние в направлении, указанном стрелкой, то
шарик катится

 кривой ОВ (рис. 44, а),

причем его скорость v' относительно диска
изменяет свое направление. Это возможно
лишь тогда, если на шарик действует сила,
перпендикулярная скорости

Для того чтобы заставить шарик катить-

ся по вращающемуся диску вдоль радиуса,
используем жестко укрепленный вдоль ра-
диуса диска стержень, на котором шарик
движется без трения равномерно и прямо-
линейно со скоростью v' (рис. 44, б). При от-

клонении шарика

 действует на

него с некоторой силой F. Относительно
диска (вращающейся системы отсчета) ша-
рик движется равномерно и
что можно объяснить тем, что сила F урав-

 к шарику си-

лой инерции

 перпендикулярной скоро-

сти v'. Эта сила называется
силой инерции.

Можно показать, что сила Кориолиса

1

(27.4)

Вектор

 перпендикулярен векторам

скорости v' тела и угловой скорости враще-
ния  системы отсчета в соответствии с пра-
вилом правого винта.

Рис. 45

 Г.Кориолис (1792— 1843) — французский

физик и инженер.

Сила Кориолиса действует только на

тела, движущиеся относительно вращаю-
щейся системы отсчета, например относи-
тельно Земли. Поэтому действием этих сил

объясняется ряд наблюдаемых на Земле яв-

лений. Так, если тело движется в Северном

полушарии на север (рис. 45), то действу-
ющая на него сила Кориолиса, как это сле-

дует из выражения (27.4), будет направле-

на вправо по отношению к направлению

движения, т. е. тело несколько отклонится

на восток. Если тело движется на юг, то
сила Кориолиса также действует вправо,
если смотреть по направлению движения,
т.е. тело отклонится на запад. Поэтому в

Северном полушарии наблюдается более

сильное подмывание правых берегов рек;
правые рельсы железнодорожных путей по
движению изнашиваются быстрее, чем ле-

вые, и т.д. Аналогично можно показать, что
в Южном полушарии сила Кориолиса, дей-
ствующая на движущиеся тела, будет на-
правлена влево по отношению к направле-
нию движения.

Благодаря силе Кориолиса падающие на

поверхность Земли тела отклоняются к во-
стоку (на широте 60° это отклонение долж-
но составлять 1 см при падении с высоты

100 м). С силой Кориолиса связано поведе-

ние маятника Фуко, явившееся в свое вре-
мя одним из доказательств вращения Зем-
ли. Если бы этой силы не было, то плоскость
колебаний качающегося вблизи поверхнос-
ти Земли маятника оставалась бы неизмен-

ной (относительно Земли). Действие же сил
Кориолиса приводит к вращению плоскости
колебаний вокруг вертикального направле-
ния.

Раскрывая содержание

 в форму-

ле (27.1), получим основной закон ди-

54