Курс физики для вузов - часть 11

де абсолютно твердых тел нет, так как
все реальные тела под действием сил из-

меняют свою форму и размеры, т.е. де-

формируются.

Деформация называется упругой,

если после прекращения действия вне-
шних сил тело принимает первоначаль-
ные размеры и форму. Деформации,

которые сохраняются в теле после пре-
кращения действия внешних сил, назы-
ваются пластическими (или оста-
точными). Деформации реального
тела всегда пластические, так как они
после прекращения действия внешних
сил никогда полностью не исчезают.

Однако если остаточные деформации

малы, то ими можно пренебречь и рас-
сматривать упругие деформации, что
мы и будем делать.

В теории упругости доказывается,

что все виды деформаций (растяжение
или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение)
могут быть сведены к одновременно

происходящим деформациям растяже-
ния или сжатия и сдвига.

Рассмотрим однородный стержень

длиной  и площадью поперечного се-
чения S (рис. 36), к концам которого

приложены направленные вдоль его

оси силы

 и

 =

 — F), в ре-

зультате чего длина стержня меняется
на величину А/. Естественно, что при
растяжении

 положительно, а при

сжатии отрицательно.

При деформации тела возникают

силы упругости. Физическая величина,
определяемая модулем силы упругос-
ти, действующей на единицу площади
поперечного сечения тела, называется
напряжением:

 (21.1)

Если сила направлена по нормали

к поверхности, напряжение называет-
ся нормальным, если же по касатель-

Рис. 36

ной к поверхности — тангенциаль-
ным.

Количественной мерой, характери-

зующей степень деформации, испыты-
ваемой телом, является его относи-
тельная деформация. Так, относи-
тельное изменение длины стержня

(продольная деформация)

(21.2)

относительное поперечное растяжение
(сжатие)

где d — диаметр стержня.

Деформации  и  всегда имеют раз-

ные знаки (при растяжении А/ положи-
тельно, a

 отрицательно, при сжатии

 отрицательно, а

 положительно).

Из опыта вытекает взаимосвязь е и

где  — положительный коэффициент,
зависящий от свойств материала и на-
зываемый коэффициентом Пуассона

1

.

Английский физик Р.Гук (1635 —

1703) экспериментально установил, что

для малых деформаций относительное
удлинение е и напряжение а пропорци-

ональны друг другу:

(21.3)

1

 С.Пуассон (1781 — 1840) — французский

ученый.

43

где Е — коэффициент пропорциональ-
ности, называемый модулем Юнга

1

.

Из выражения (21.3) видно, что мо-

дуль Юнга определяется напряжением,
вызывающим относительное удлине-
ние, равное единице.

Из формул (21.2), (21.3) и (21.1)

вытекает, что

или

где к — коэффициент упругости.

Выражение (21.4) также определя-

ет закон Гука, согласно которому удли-

нение стержня при упругой деформа-
ции пропорционально действующей на
стержень силе.

Деформации твердых тел подчиня-

ются закону Гука до известного преде-
ла. Связь между деформацией и напря-
жением представляется в виде диаграм-
мы напряжений, качественный ход ко-
торой мы рассмотрим для металличес-

кого образца (рис. 37). Из рисунка вид-
но, что линейная зависимость

 ус-

тановленная Гуком, выполняется лишь
в очень узких пределах до так называе-

мого предела пропорциональности

(ст,,). При дальнейшем увеличении
пряжения деформация еще упругая
(хотя зависимость ст(е) уже нелинейна)
и до предела упругости

 остаточ-

ные деформации не возникают.

За пределом упругости в теле возни-

кают остаточные деформации и график,
описывающий возвращение тела в пер-
воначальное состояние после прекра-

щения действия силы, изобразится не
кривой ВО, а

 параллельной

 Напряжение, при котором

Рис. 37

ется заметная остаточная деформация

 0,2 %), называется пределом теку-

чести

 — точка С на кривой. В об-

ласти CD деформация возрастает без
увеличения напряжения, т.е. тело как
бы «течет». Эта область называется об-

ластью текучести (или областью

пластических деформаций).

Материалы, для которых область

текучести значительна, называются
вязкими, для которых же она практи-
чески отсутствует — хрупкими. При
дальнейшем растяжении (за точку D)

происходит разрушение тела. Макси-
мальное напряжение, возникающее в
теле до разрушения, называется преде-

лом прочности

Диаграмма напряжений для реальных

твердых тел зависит от различных фак-
торов. Одно и то же твердое тело может
при кратковременном действии сил про-
являть себя как хрупкое, а при длитель-

ных, но слабых силах является текучим.

Вычислим потенциальную энергию

упругорастянутого (сжатого) стержня,
которая равна работе, совершаемой вне-

шними силами при деформации:

Т.

 —

 —

 ученый.

где х — абсолютное удлинение стерж-
ня, изменяющееся в процессе деформа-
ции от 0 до Л/. Согласно закону Гука

(21.4), поэтому

44

т. е. потенциальная энергия упругорас-

тянутого стержня пропорциональна

квадрату деформации

Деформацию сдвига проще всего

осуществить, если взять брусок, име-
ющий форму прямоугольного парал-
лелепипеда, и приложить к нему силу

 (рис. 38), касательную к его поверх-

ности (нижняя часть бруска закрепле-
на неподвижно). Относительная де-
формация сдвига определяется из фор-
мулы

Рис. 38

где As — абсолютный сдвиг параллель-
ных слоев тела относительно друг дру-
га; h — расстояние между слоями (для
малых углов

Контрольные вопросы

Что такое момент инерции тела?

Какова роль момента инерции во

 движении?

Выведите формулу для момента инерции обруча.
Сформулируйте и поясните теорему Штейнера.
Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, и как ее вывести?
Что называется

 силы относительно неподвижной точки? относительно не-

подвижной оси? Как определяется направление момента силы?
Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
Что такое момент импульса материальной точки? твердого тела? Как определяется на-
правление вектора момента импульса?
В чем заключается физическая сущность закона сохранения момента импульса? В ка-
ких системах он выполняется? Приведите примеры.
Каким свойством симметрии пространства обусловливается справедливость закона со-
хранения момента импульса? Сопоставьте основные уравнения динамики поступатель-
ного и вращательного движений, прокомментировав их аналогию.
Что такое

 оси (главные оси инерции)? Какие из них являются устойчивыми?

Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?

Сформулируйте закон Гука. Когда он справедлив?

Дайте объяснение диаграммы напряжений

 такое пределы пропорциональнос-

ти, упругости и прочности?

Каков физический смысл модуля Юнга?

ЗАДАЧИ

4.1. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без

скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Опреде-
лите: 1) отношение скоростей цилиндра и шара на данном уровне; 2) отношение скоростей
в данный момент времени. [1) 14/15; 2)

45

4.2. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная

касательная сила F= 100 Н. При вращении диска па него действует момент сил трения М=

= 2 Н • м. Определите массу т диска, если известно, что его угловое ускорение Е ПОСТОЯННО
и равно 12 рад/с

2

. [32 кг]

4.3. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой т = 1 кг

перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами

 = 1 кг и

 —

— 2 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов; 2) отношения

сил натяжения нити. [1) 2,8 м/с

2

; 2) 1,11]

4.4. Скорость вращения колеса, момент инерции которого 2

 м

2

, вращающегося при

торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшилась от  = 300

 до

 =

= 180 мин"

1

. Определите: 1) угловое ускорение г колеса; 2) момент М силы торможения;

3) работу силы торможения. [1) 0,21 рад/с

2

; 2) 0,42 Н • м; 3) 630 Дж]

4.5. Человек массой т — 80 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой

М= 100 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой
п

1

 = 10 мин"

1

, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а

человека — точечной массой, определите, с какой частотой

 будет тогда вращаться плат-

форма. [26 мин

- 1

]

4.6. Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растя-

жении затрачена работа 62,1 Дж. Длина стержня 2 м, площадь поперечного сечения 1 мм

2

,

модуль Юнга для алюминия Е = 69 ГПа. = 0,03 ]

Глава 5

ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

§ 22. Законы Кеплера. Закон

всемирного тяготения

Еще в глубокой древности было за-

мечено, что в отличие от звезд, которые
неизменно сохраняют свое взаимное
расположение в пространстве в течение
столетий, планеты описывают среди
звезд сложнейшие траектории. Для
объяснения петлеобразного движения
планет древнегреческий ученый К. Пто-
лемей (II в. н.э.), считая Землю распо-
ложенной в центре Вселенной, предпо-
ложил, что каждая из планет движется

по малому кругу (эпициклу), центр ко-
торого равномерно движется по боль-
шому кругу, в центре которого находит-
ся Земля. Эта концепция получила на-

звание птолемеевой геоцентрической
системы мира.

В начале XVI в. польским астроно-

мом Н.Коперником (1473 — 1543) обо-
снована гелиоцентрическая система
(см. § 5), согласно которой движения
небесных тел объясняются движением

Земли (а также других планет) вокруг
Солнца и суточным вращением Земли.

Теория и наблюдения Коперника вос-
принимались как занимательная фан-
тазия.

К началу XVII столетия большин-

ство ученых, однако, убедилось в спра-
ведливости гелиоцентрической систе-
мы мира. И. Кеплер (немецкий ученый,

1571 — 1630), обработав и уточнив ре-

зультаты многочисленных наблюдений

46