Курс физики для вузов - часть 12

датского астронома Т. Браге (1546 —

1601), эмпирически установил законы

движения планет:

1. Каждая планета движется по эл-

липсу, в одном из фокусов которого на-
ходится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты за равные

промежутки времени описывает одина-
ковые площади.

3. Квадраты периодов обращения

планет вокруг Солнца относятся как
кубы больших полуосей их орбит.

Впоследствии И.Ньютон, изучая

движение небесных тел, на основании
законов Кеплера и основных законов
динамики установил закон всемирно-
го тяготения: между любыми двумя
материальными точками действует

сила взаимного притяжения, прямо
пропорциональная произведению масс
этих точек

 и

 и обратно пропор-

циональная квадрату расстояния меж-

ду ними (r

2

):

(22.1)

Эта сила называется гравитацион-

ной (или силой всемирного тяготе-
ния). Силы тяготения всегда являются
силами притяжения и направлены вдоль
прямой, проходящей через взаимодей-
ствующие тела. Коэффициент пропор-
циональности G называется гравита-
ционной постоянной.

Закон всемирного тяготения спра-

ведлив лишь для тел, которые можно
считать материальными точками, т.е.
для таких тел, размеры которых малы
по сравнению с расстоянием между
ними. Для вычисления силы взаимо-
действия между протяженными (не то-
чечными) телами их следует «разбить»
на элементарные массы, чтобы их мож-
но было считать материальными точка-

ми, подсчитать по формуле (22.1) силы

притяжения между всеми попарно взя-

тыми элементами, а затем геометриче-
ски их сложить (проинтегрировать),
что является довольно сложной мате-

матической задачей.

Впервые экспериментальное доказа-

тельство закона всемирного тяготения
для земных тел, а также числовое опре-
деление гравитационной постоянной G

проведено английским физиком Г. Ка-

вендишем (1731-1810).

Принципиальная схема опыта Ка-

вендиша, применившего крутильные
весы, представлена на рис. 39. Легкое
коромысло А с двумя одинаковыми
шариками массой т = 729 г подвешено
на упругой нити В. На коромысле С
укреплены на той же высоте массивные
шары массой М = 158 кг. Поворачивая

коромысло С вокруг вертикальной оси,
можно изменять расстояние между ша-

рами с массами т и М. Под действием
пары сил, приложенных к шарикам т
со стороны шаров М, коромысло А по-
ворачивается в горизонтальной плоско-
сти, закручивая нить В до тех пор, пока

момент сил упругости не уравновесит
момент сил тяготения. Зная упругие
свойства нити, по измеренному углу
поворота можно найти возникающие
силы притяжения, а так как массы ша-
ров известны, то и вычислить значе-
ние G.

Значение G— фундаментальная фи-

зическая постоянная, принимаемая
равной 6,6720 •

 Н •

 т.е. два

точечных тела массой по 1 кг каждое,
находящиеся на расстоянии 1 м друг
от друга, притягиваются с силой

Рис. 39

47

 • 10  H. Очень малая величина

 что сила гравитационно-

го взаимодействия может быть значи-
тельной только в случае больших масс.

§ 23. Сила тяжести и вес.

Невесомость

Вблизи поверхности Земли все тела

падают с одинаковым ускорением, ко-
торое получило название ускорения
свободного падения д. Таким образом,
в системе отсчета, связанной с Землей,
на всякое тело массой т действует
сила

Р = тд,

называемая силой тяжести.

Согласно фундаментальному физи-

ческому закону — обобщенному зако-
ну Галилея, все тела в одном и том же

поле тяготения падают с одинаковым
ускорением. Следовательно, в данном
месте Земли ускорение свободного па-

дения одинаково для всех тел. Оно из-

меняется вблизи

 Земли с

 в пределах от 9,780 м/с

2

 на эк-

ваторе до 9,832 м/с

2

 на полюсах. Это

обусловлено суточным вращением Зем-
ли вокруг своей оси, с одной стороны,
и сплюснутостью Земли — с другой (эк-
ваториальный и полярный радиусы

Земли равны соответственно 6378 и

6357 км). Так как различие значений д
невелико, то ускорение свободного па-

дения, которое используется при реше-

нии практических задач, принимается
равным 9,81 м/с

2

.

Если пренебречь суточным враще-

нием Земли вокруг своей оси, то сила
тяжести и сила гравитационного тяго-
тения равны между собой:

где М — масса Земли; R — расстояние
между телом и центром Земли.

Эта формула дана для случая, когда

тело находится на поверхности Земли.

Если тело расположено на высоте h

от поверхности Земли, R

o

 — радиус

Земли, тогда

т. е. сила тяжести с удалением от поверх-
ности Земли уменьшается.

Весом тела называют силу, с кото-

рой тело действует на опору (или под-

вес) вследствие гравитационного при-
тяжения к Земле. Вес тела проявляет-
ся только в том случае, если тело дви-
жется с ускорением, отличным от д, т. е.
когда на тело кроме силы тяжести дей-

ствуют другие силы. Состояние тела,
при котором оно движется только под

действием силы тяжести, называется
состоянием невесомости.

Таким образом, сила тяжести дей-

ствует всегда, а вес проявляется толь-
ко в том случае, когда на тело кроме силы
тяжести действуют еще другие силы,
вследствие чего тело движется с уско-
рением

 отличным от  Если тело дви-

жется в ноле тяготения Земли с уско-
рением а  д, то к этому телу приложе-

на дополнительная сила N, удовлетво-
ряющая условию

Тогда вес тела

т.е. если тело покоится или движется

прямолинейно и равномерно, то  =

 — тд. Если тело свободно движет-

ся в поле тяготения по любой траекто-
рии и в любом направлении, то а = g и

р' =

 т. е. тело будет невесомым. На-

пример, невесомыми являются тела, на-

48

ходящиеся в космических кораблях,
свободно движущихся в космосе.

§ 24. Поле тяготения

и его напряженность

Закон тяготения Ньютона (22.1) оп-

ределяет зависимость силы тяготения
от масс взаимодействующих тел и рас-
стояния между ними, но не показыва-
ет, как осуществляется это взаимодей-
ствие. Тяготение принадлежит к особой
группе взаимодействий. Силы тяготе-
ния не зависят от того, в какой среде
находятся взаимодействующие тела.
Тяготение существует и в вакууме.

Гравитационное взаимодействие

между телами осуществляется с помо-
щью поля тяготения, или гравитаци-
онного поля. Это поле порождается те-
лами и является формой существова-
ния материи. Основное свойство поля
тяготения заключается в том, что на
всякое тело массой т, внесенное в это
поле, действует сила тяготения, т.е.

(24.1)

Вектор д не зависит от т  называ-

ется напряженностью поля тяготения.

Напряженность поля тяготения оп-
ределяется силой, действующей со сто-

роны поля на материальную точку еди-
ничной массы, и совпадает по направ-
лению с действующей силой. Напря-

женность есть силовая характеристи-
ка поля тяготения.

Поле тяготения называется одно-

родным, если его напряженность во

всех точках одинакова, и централь-
ным,

 во всех точках тюля векторы

напряженности направлены вдоль пря-
мых, которые пересекаются в одной

точке

 неподвижной по отношению

к какой-либо инерциалыюй системе
отсчета (рис. 40).

Рис. 40

Для графического изображения си-

лового поля используются силовые ли-
нии (линии напряженности). Силовые
линии выбираются так, что вектор на-

пряженности поля направлен по каса-

тельной к силовой линии.

§ 25. Работа в поле тяготения.

Потенциал поля тяготения

Определим работу, совершаемую

силами поля тяготения при перемеще-
нии в нем материальной точки мас-
сой т. Вычислим, например, какую
надо совершить работу для удаления
тела массой m от Земли. На расстоянии

R (рис. 41) на данное тело действует

сила

где М— масса Земли.

При перемещении этого тела на рас-

стояние

 совершается работа

(25.1)

Знак «—» появляется потому, что

сила и перемещение в данном случае
противоположны по направлению (см.
рис. 41).

Рис.41

49

Если тело перемещать с расстояния

 до

 то работа

(25.2)

Из формулы (25.2) вытекает, что

работа в поле тяготения не зависит от
траектории перемещения, а определя-

ется лишь начальным и конечным по-
ложениями тела, т.е. силы тяготения

действительно консервативны, а поле

тяготения является потенциальным

(см. § 12).

Согласно формуле (12.2), работа,

совершаемая консервативными силами,
равна изменению потенциальной энер-
гии системы, взятому со знаком « —»,
т.е.

Из формулы (25.2) получим

Так как в формулы входит только

разность потенциальных энергий в двух
состояниях, то для удобства принимают
потенциальную энергию при
равной нулю Тогда (25.3)

запишется в виде П

1

 = . Так

как первая точка была выбрана произ-
вольно, то

Величина

является энергетической характерис-

тикой поля тяготения и называется по-

тенциалом. Потенциал поля тяготе-
ния ф — скалярная величина, опреде-
ляемая потенциальной энергией тела

единичной массы в данной точке поля
или работой по перемещению единич-
ной массы из данной точки поля в бес-
конечность. Таким образом, потенциал
поля тяготения, создаваемого телом

массой

(25.4)

где R — расстояние от этого тела до рас-
сматриваемой точки.

Из формулы (25.4) вытекает, что гео-

метрическое место точек с одинаковым
потенциалом образует сферическую по-
верхность (R = const). Поверхности,

для которых потенциал постоянен, на-

зываются эквипотенциальными.

Рассмотрим взаимосвязь между по-

тенциалом

 поля тяготения PI его

напряженностью (д). Из выражений

(25.1) и (25.4) следует, что элементар-
ная работа

 совершаемая силами

поля при малом перемещении тела мас-
сой т,

С другой стороны,

элементарное перемещение). Учитывая

(24. 1),

Величина характеризует изме-

нение потенциала на единицу длины в
направлении перемещения в поле тяго-
тения. Можно показать, что

(25.5)

диент скаляра  [см. (12.5)]. Знак «—»

50