Курс физики для вузов - часть 10

Используя формулу (17.1)

получим

тельно оси равна моменту сил относи-
тельно той же оси.

Можно показать, что имеет место

векторное равенство

т.е.

(19.2)

Таким образом, момент импульса

твердого тела относительно оси равен

произведению момента инерции тела
относительно той же оси на угловую
скорость.

Продифференцируем уравнение

(19.2) по времени:

(19.3)

т.е.

Это выражение — еще одна форма

уравнения динамики вращательного

движения твердого тела относитель-

но неподвижной оси: производная мо-
мента импульса твердого тела относи-

В замкнутой системе момент вне-

шних сил М = 0 и — —

 откуда

dt

L = const. (19.4)

Выражение (19.4) представляет со-

бой закон сохранения момента им-
пульса: момент импульса замкнутой

системы сохраняется, т.е. не изменяет-
ся с течением времени.

Закон сохранения момента импуль-

са — фундаментальный закон природы.

Он связан со свойством симметрии

пространства — его изотропностью,  е.
с инвариантностью физических зако-
нов относительно выбора направления
осей координат системы отсчета (отно-
сительно поворота замкнутой системы

в пространстве на любой угол).

 2

39

 31

Продемонстрировать закон сохране-

ния момента импульса можно с помо-
щью скамьи Жуковского. Пусть чело-
век, сидящий на скамье, которая без
трения вращается вокруг вертикальной
оси, и держащий на вытянутых руках
гантели (рис. 31),

 во враще-

ние с угловой скоростью

 Если чело-

век прижмет гантели к себе, то момент
инерции системы уменьшится. По-
скольку момент внешних сил равен
нулю, момент импульса системы сохра-
няется и угловая скорость вращения

возрастает. Аналогично, гимнаст во вре-
мя прыжка через голову поджимает к
туловищу руки и ноги, чтобы умень-

шить свой момент инерции и увеличить
тем самым угловую скорость

Сопоставим основные величины и

уравнения, определяющие вращение
тела вокруг неподвижной оси и его по-
ступательное движение (табл. 2).

§ 20. Свободные оси. Гироскоп

Для того чтобы сохранить положе-

ние оси вращения твердого тела с тече-
нием времени неизменным, использу-
ют подшипники, в которых она удержи-

вается. Однако существуют такие оси
вращения тел, которые не изменяют
своей ориентации в пространстве без
действия на нее внешних сил. Эти оси

называются свободными осями (или
осями свободного вращения).

Можно доказать, что в любом теле

существуют три взаимно перпендику-

лярные оси, проходящие через центр

масс тела, которые могут служить сво-
бодными осями (они называются глав-
ными осями инерции тела). Например,
главные оси инерции однородного пря-

моугольного параллелепипеда прохо-

дят через центры противоположных

граней (рис. 32).

Для однородного цилиндра одной из

главных осей инерции является его гео-
метрическая ось, а в качестве остальных
осей могут быть две любые взаимно
перпендикулярные оси, проведенные
через центр масс в плоскости, перпен-
дикулярной геометрической оси ци-
линдра. Главными осями инерции шара
являются любые три взаимно перпен-
дикулярные оси, проходящие через

центр масс.

Для устойчивости вращения боль-

шое значение имеет, какая именно из
свободных осей служит осью вращения
тела. Так, вращение вокруг главных
осей с наибольшим и наименьшим мо-

ментами инерции оказывается устойчи-
вым, а вращение около оси со средним

Рис. 33

40

моментом — неустойчивым. Так, если
подбросить тело, имеющее форму па-
раллелепипеда, приведя его одновре-

менно во вращение, то оно, падая, бу-
дет устойчиво вращаться вокруг осей 1

и 2 (см. рис. 32).

Если, например, палочку подвесить

за один конец нити, а другой конец, зак-
репленный к шпинделю центробежной
машины, привести в быстрое вращение,
то палочка будет вращаться в горизон-
тальной плоскости около вертикальной

оси, перпендикулярной оси палочки и
проходящей через ее середину (рис. 33).

Это и есть ось свободного вращения
(момент инерции при этом положении

палочки максимальный). Если теперь

палочку, вращающуюся вокруг свобод-
ной оси, освободить от внешних связей
(аккуратно снять верхний конец нити

с крючка шпинделя), то положение оси
вращения в пространстве в течение не-

которого времени сохраняется.

Свойство свободных осей сохранять

свое положение в пространстве широ-
ко применяется в технике. Наиболее
интересны в этом плане гироскопы —
массивные однородные тела, вращаю-
щиеся с большой угловой скоростью
около своей оси симметрии, являющей-
ся свободной осью.

Рассмотрим одну из разновидностей

гироскопов — гироскоп на кардановом
подвесе (рис. 34). Дискообразное тело —-
гироскоп — закреплено на оси А А, ко-

торая может вращаться вокруг перпен-
дикулярной ей оси ВВ, которая, в свою

очередь, может поворачиваться вокруг
вертикальной оси DD. Все три оси пе-
ресекаются в одной точке С, являющей-
ся центром масс гироскопа и остающей-
ся неподвижной, а ось гироскопа может
принять любое направление в про-
странстве. Силами трения в подшипни-
ках всех трех осей и моментом импуль-

са колец пренебрегаем.

Рис. 34

Так как трение в подшипниках ма-

ло, то, пока гироскоп неподвижен, его
оси можно придать любое направление.

Если начать гироскоп быстро вращать
(например, с помощью намотанной на
ось веревочки) и поворачивать его под-
ставку, то ось гироскопа сохраняет свое
положение в пространстве неизменной.

Это можно объяснить с помощью ос-
новного закона динамики вращательно-
го движения.

Для свободно вращающегося гирос-

копа сила тяжести не может изменить
ориентацию его свободной оси, так как
эта сила приложена к центру масс

(центр вращения Ссовпадает с центром
масс), а момент силы тяжести относи-

тельно закрепленного центра масс ра-
вен пулю. Моментом сил трения мы
также пренебрегаем. Поэтому если мо-
мент внешних сил относительно его
закрепленного центра масс равен нулю,
то, как следует из уравнения (19.4),

L = const, т.е. момент импульса гирос-
копа сохраняет свою величину и на-
правление в пространстве. Следова-

тельно, вместе с ним сохраняет свое
положение в пространстве и ось гирос-
копа.

Чтобы ось гироскопа изменила свое

направление в пространстве, необходи-
мо, согласно (19.3), отличие от нуля
момента внешних сил. Если момент

41

Рис. 35

внешних сил, приложенных к вращаю-
щемуся гироскопу, относительно его
центра масс отличен от нуля, то наблю-
дается явление, получившее название
гироскопического эффекта. Оно со-
стоит в том, что под действием пары сил

F, приложенной к оси вращающегося

гироскопа, ось гироскопа

 (рис. 35)

поворачивается вокруг прямой

 а

не вокруг прямой

 как это казалось

бы естественным на первый взгляд (

 лежат в плоскости чертежа, а

 силы F перпендикулярны ей).

Гироскопический эффект объясня-

ется следующим образом. Момент М

пары сил F направлен вдоль прямой

 За время dt момент импульса L

 получит приращение dL —

=

 (направление

 совпадает с на-

правлением М) и станет равным L' =
= L +

 Направление вектора L' со-

впадает с новым направлением оси вра-
щения гироскопа. Таким образом, ось
вращения гироскопа повернется вокруг
прямой

 Если время действия

силы мало, то, хотя момент сил М и ве-
лик, изменение момента импульса dL
гироскопа будет также весьма малым.

Поэтому кратковременное действие

сил практически не приводит к измене-
нию ориентации оси вращения гирос-
копа в пространстве. Для ее изменения

следует прикладывать силы в течение

длительного времени.

Если ось гироскопа закреплена под-

шипниками, то вследствие гироскопи-
ческого эффекта возникают так назы-
ваемые гироскопические силы, дей-
ствующие на опоры, в которых враща-
ется ось гироскопа. Их действие необ-
ходимо учитывать при конструирова-
нии устройств, содержащих быстровра-
щающиеся массивные составные части.

Гироскопические силы имеют смысл

только во вращающейся системе отсче-
та и являются частным случаем корио-
лисовой силы инерции (см. § 27).

Гироскопы применяются в различ-

ных гироскопических навигационных
приборах (гирокомпас, гирогоризонт и
т. д.). Другое важное применение гирос-
копов — поддержание заданного на-
правления движения транспортных
средств, например судна (авторулевой)
и самолета (автопилот) и т. д. При вся-
ком отклонении от курса вследствие ка-

ких-то воздействий (волны, порыва
ветра и т.д.) положение оси гироскопа
в пространстве сохраняется. Следова-
тельно, ось гироскопа вместе с рамами

карданова подвеса поворачивается от-
носительно движущегося устройства.
Поворот рам карданова подвеса с помо-
щью определенных приспособлений
включает рули управления, которые
возвращают движение к заданному
курсу.

Впервые гироскоп применен фран-

цузским физиком Ж.Фуко (1819 —

1868) для доказательства вращения

Земли.

§ 21. Деформации твердого тела

Рассматривая механику твердого

тела, мы пользовались понятием абсо-
лютно твердого тела. Однако в приро-

42