Курс физики для вузов - часть 9

Рис. 24

Рис. 25

где интегрирование производится по
всему объему тела. Величина  в этом
случае есть функция положения точки
с координатами х, у, z. Момент инер-
ции — величина аддитивная: момент
инерции тела относительно некоторой
оси равен сумме моментов инерции ча-
стей тела относительно той же оси.

В качестве примера найдем момент

инерции однородного сплошного ци-
линдра высотой h и радиусом R отно-
сительно его геометрической оси (рис.
25). Разобьем цилиндр на отдельные
полые концентрические цилиндры бес-
конечно малой толщины dr с внутрен-
ним радиусом  и внешним  + dr.

Момент инерции каждого полого

цилиндра

 =

 (так как

 то

считаем, что расстояние всех точек ци-
линдра от оси равно

 где dm — масса

всего элементарного цилиндра; его
объем

 dr. Если р — плотность мате-

риала, то dm

 d

Тогда момент инерции сплошного ци-
линдра

но так как — объем цилиндра, то
его масса

 = а момент инер-

ции

Таблица 1

35

J =

2

Если известен момент инерции тела

относительно оси, проходящей через
его центр масс, то момент инерции от-
носительно любой другой параллель-
ной оси определяется теоремой Штей-

 момент инерции тела J относи-

тельно произвольной оси равен момен-
ту его инерции

 относительно парал-

лельной оси, проходящей через центр
масс С тела, сложенному с произведе-

нием массы

 на квадрат расстоя-

ния а между осями:

 (16.1)

В заключение приведем значения

моментов инерции (табл. 1) для неко-
торых тел (тела считаются однородны-
ми, т — масса тела).

§ 17. Кинетическая энергия

вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело

(см. § 1), вращающееся около неподвиж-
ной оси z, проходящей через него. Мыс-
ленно разобьем это тело на маленькие
объемы с элементарными массами

 находящиеся

 расстоянии

 ...,  от оси. При вращении твер-

дого тела относительно неподвижной

оси отдельные его элементарные объе-
мы массами

 опишут окружности раз-

личных радиусов

 и будут иметь раз-

личные линейные скорости

 26).

Но так как мы рассматриваем абсолют-

Рис. 26

но твердое тело, то угловая скорость
вращения этих объемов одинакова:

Кинетическую энергию вращающе-

гося тела найдем как сумму кинетиче-
ских энергий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), полу-

чим

где

 — момент инерции тела относи-

тельно

 z.

Таким образом, кинетическая энер-

гия вращающегося тела

(17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с вы-

ражением (12.1) для кинетической
энергии тела, движущегося поступа-
тельно ( Т = ), следует, что, как
уже указывалось (см. § 16), момент

инерции — мера инертности тела при
вращательном движении. Формула

(17.2) справедлива для тела, вращаю-
щегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела,

например цилиндра, скатывающегося с
наклонной плоскости без скольжения,
энергия движения складывается из
энергии поступательного движения и
энергии вращения:

36

где

 — масса катящегося тела;

 —

скорость центра масс тела;

 момент

инерции тела относительно оси, прохо-

 через его центр масс;

 -- угло-

вая скорость тела.

Рис. 29

§ 18. Момент силы. Уравнение

динамики вращательного

движения твердого тела

Для характеристики вращательного

эффекта силы при действии ее на твер-
дое тело вводят понятие момента силы.

Различают моменты силы относитель-

но неподвижной точки и относительно

неподвижной оси.

Моментом силы относительно

неподвижной точки О называется фи-

зическая величина М, определяемая век-
торным произведением радиуса-векто-
ра г, проведенного из точки О в точку

Л приложения силы, на силу

 27):

где М— псевдовектор, его направление
совпадает с направлением поступатель-
ного движения правого винта при его
вращении от  к F.

Модуль момента силы

(18.1)

где а — угол между

 = / —

кратчайшее расстояние между линией
действия силы и точкой О — плечо
силы.

Рис. 27

Рис.28

Моментом силы относительно

неподвижной оси z называется скаляр-

пая величина

 равная проекции на

эту ось вектора Л/момента силы, опре-
деленного относительно произвольной
точки О данной оси z (рис. 28). Значе-
ние момента

 не зависит от выбора

положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлени-

ем вектора М, то момент силы представ-
ляется в виде вектора, совпадающего с
осью:

Найдем выражение для работы при

вращении тела (рис. 29). Пусть сила F
приложена в точке В, находящейся от
оси z на расстоянии  а — угол между
направлением силы и радиусом-векто-
ром

 Так как тело абсолютно твердое,

то работа этой силы равна работе, за-
траченной на поворот всего тела. При
повороте тела на бесконечно малый
угол

 точка приложения В проходит

путь

 —

 работа равна произве-

дению проекции силы на направление
смещения на величину смещения:

(18.2)

Учитывая (18.1), можем записать

где

 — момент силы

относительно оси z. Таким образом, ра-
бота при вращении тела равна произве-
дению момента действующей силы на
угол поворота.

Работа при вращении тела идет на

увеличение его кинетической энергии:

37

(18.3)

Уравнение (18.3) представляет со-

бой уравнение динамики вращатель-
ного движения твердого тела отно-
сительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось z со-

впадает с главной осью инерции (см.

§ 20), проходящей через центр масс, то
имеет место векторное равенство

(18.4)

где J — главный момент инерции тела
(момент инерции относительно глав-
ной

§ 19. Момент импульса

и закон его сохранения

При сравнении законов вращатель-

ного и поступательного движений про-
сматривается аналогия между ними,
только во вращательном движении вме-
сто силы «выступает» ее момент, а роль

массы «выполняет» момент инерции.
Какая же величина будет аналогом им-
пульса тела? Ею является момент им-
пульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества

движения) материальной точки А от-
носительно неподвижной точки О
называется физическая величина, опре-
деляемая векторным произведением:

 =

 =

где  — радиус-вектор, проведенный из
точки

 в точку

 р =

 — импульс

Рис. 30

материальной точки (рис. 30); L — псев-
довектор (см. § 4), его направление со-
впадает с направлением поступательно-
го движения правого винта при его вра-
щении от

Модуль вектора момента импульса

где а — угол между векторами  и

 —

плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относи-

тельно неподвижной оси z называет-

ся скалярная величина

 равная про-

екции на эту ось вектора момента им-
пульса, определенного относительно
произвольной точки О данной оси.

Момент импульса  не зависит от по-

ложения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого

тела вокруг неподвижной оси z каждая

отдельная точка тела движется по ок-
ружности постоянного радиуса

 с неко-

торой скоростью

 Скорость

 и им-

пульс

 перпендикулярны этому ради-

усу, т. е. радиус является плечом вектора

 Поэтому можем записать, что мо-

мент импульса отдельной частицы равен

(19.1)

и направлен по оси в сторону, опреде-
ляемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела

относительно оси есть сумма моментов
импульса отдельных частиц:

38