Курс физики для вузов - часть 8

мгновенные силы) столь велики, что вне-

шними силами, действующими на них,
можно пренебречь. Это позволяет сис-

тему тел в процессе их соударения при-
ближенно рассматривать как замкну-
тую систему и применять к ней законы
сохранения.

Тела во время удара испытывают

деформацию. Сущность удара заключа-
ется в том, что кинетическая энергия

относительного движения соударяю-
щихся тел на короткое время преобра-
зуется в энергию упругой деформации.

Во время удара имеет место перерасп-

ределение энергии между соударяющи-
мися телами. Наблюдения показывают,
что относительная скорость тел после
удара не достигает своего прежнего зна-
чения. Это объясняется тем, что нет

идеально упругих тел и идеально глад-
ких поверхностей. Отношение нор-
мальных составляющих относительной
скорости тел после и до удара называ-
ется коэффициентом восстановле-
ния е:

Если для сталкивающихся тел е  О,

то такие тела называются абсолютно
неупругими, если  = 1 — абсолютно

упругими. На практике для всех тел

О <  < 1 (например, для стальных ша-
ров

 0,56, для шаров из слоновой ко-

сти

 0,89, для свинца

 0). Однако

в некоторых случаях

 можно с боль-

шой степенью точности рассматривать
либо как абсолютно упругие, либо как

абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку

соприкосновения тел и нормальная к
поверхности их соприкосновения, на-
зывается линией удара. Удар называ-
ется центральным, если тела до удара
движутся вдоль прямой, проходящей
через их центры масс. Мы будем рас-

сматривать только центральные абсо-
лютно упругие и абсолютно неупругие
удары.

Абсолютно упругий удар — столк-

новение двух тел, в результате которо-
го в обоих взаимодействующих телах не
остается никаких деформаций и вся ки-
нетическая энергия, которой обладали
тела до удара, после удара снова превра-

щается в кинетическую энергию (под-

черкнем, что это идеализированный слу-
чай).

Для абсолютно упругого удара вы-

полняются закон сохранения импуль-
са и закон сохранения кинетической
энергии.

Обозначим скорости шаров массами

 до удара через  и

 после уда-

ра — через

 и

 (рис. 19). В случае

прямого центрального удара векторы
скоростей шаров до и после удара ле-
жат на прямой линии, соединяющей их
центры. Проекции векторов скорости
на эту линию равны модулям скорос-
тей. Их направления учтем знаками:
положительное значение припишем
движению вправо, отрицательное —
движению влево.

При указанных допущениях законы

сохранения имеют вид

Произведя соответствующие преоб-

разования в выражениях (15.1) и (15.2),

получаем

31

(15.3)

(15.4)

откуда

(15.5)

Решая уравнения (15.3) и (15.5), на-

ходим

Разберем несколько примеров.

1. При  — О

(15.8)

(15.9)

Проанализируем выражения (15.8)

и (15.9) для двух шаров различных
масс:

а)

 =

 Если второй шар до уда-

ра висел неподвижно

 = 0) (рис. 20),

то после удара остановится первый шар

 = 0), а второй будет двигаться с той

же скоростью и в том же направлении,
в котором двигался первый шар до уда-

б)

 >

 Первый шар продолжа-

ет двигаться в том же направлении, как
и до удара, но с меньшей скоростью

 <

 Скорость второго шара после

удара больше, чем скорость первого

после удара

 (рис.

 23

в)

 <

 Направление движения

первого шара при ударе изменяется —
шар

 обратно. Второй шар

движется в ту же сторону, в которую
двигался первый шар до удара, но с

 скоростыо, т. е.

 <

 22);

г) m2

 (например, столкнове-

ние шара со стеной). Из уравнений

(15.8) и (15.9) следует, что

2. При

 —

 выражения (15.6) и

(15.7) будут иметь вид

т.е. шары равной массы «обменивают-
ся» скоростями.

Абсолютно неупругий удар — стол-

кновение двух тел, в результате которого
тела объединяются, двигаясь дальше как
единое целое. Продемонстрировать аб-
солютно неупругий удар можно с помо-

щью шаров из пластилина (глины), дви-
жущихся навстречу друг другу (рис. 23).

Если массы шаров

 и

 их ско-

рости до удара  и

 то, используя за-

кон сохранения импульса, можно запи-
сать

где v — скорость движения шаров пос-

ле удара. Тогда

(15.10)

Если шары движутся навстречу друг

другу, то они вместе будут продолжать
двигаться в ту сторону, в которую дви-

гался шар, обладающий большим им-
пульсом. В частном случае, если массы
шаров равны (т

1

 — m

2

), то

32

Выясним, как изменяется кинети-

ческая энергия шаров при центральном
абсолютно неупругом ударе. Так как в

процессе соударения шаров между
ними действуют силы, зависящие не от
самих деформаций, а от их скоростей,
то мы

 дело с силами, подобны-

ми силам трения, поэтому закон сохра-
нения механической энергии не должен
соблюдаться. Вследствие деформации
происходит «потеря» кинетической
энергии, перешедшей в тепловую или
другие формы энергии. Эту «потерю»
можно определить по разности кинети-
ческой энергии тел до и после удара:

Используя (15.10), получаем

Если ударяемое тело было первона-

чально неподвижно

 = 0), то

Когда

 (масса неподвижно-

го тела очень большая), то v

 и по-

чти вся кинетическая энергия тела при
ударе переходит в другие формы энер-

гии. Поэтому, например, для получения

 деформации наковальня

должна быть массивнее молотка. На-
оборот, при забивании гвоздей в стену

масса молотка должна быть гораздо
большей

 тогда v

 прак-

тически вся энергия затрачивается на
возможно большее перемещение гвоз-
дя, а не на остаточную деформацию
стены.

Абсолютно неупругий удар — при-

мер того, как происходит «потеря» ме-
ханической энергии под действием дис-
сипативных сил.

Контрольные вопросы

В чем различие между понятиями энергии и работы?

Как найти работу неременной силы?

Какую работу совершает равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномер-

но движущемуся по окружности?

Что такое мощность? Выведите ее формулу.

Дайте определения и выведите формулы для известных видов механической энергии.

Какова связь между силой и потенциальной энергией?

Чем обусловлено изменение потенциальной энергии?

Необходимо ли условие замкнутости системы для выполнения закона сохранения ме-

ханической энергии?

В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он вы-

полняется?

В чем

 сущность закона сохранения и превращения энергии? Почему он яв-

ляется фундаментальным законом природы?

Что такое потенциальная яма? потенциальный барьер?

Какие заключения о характере движения тел можно сделать из анализа потенциальных

кривых?

Как охарактеризовать положения устойчивого и неустойчивого равновесия?

Чем отличается абсолютно упругий удар от абсолютно неупругого?

Как определить скорости тел после центрального абсолютно упругого удара? Следствием

каких законов являются эти выражения?

2 Курс финики

33

ЗАДАЧИ

3.1. Определите: 1) работу поднятия груза по наклонной плоскости; 2) среднюю и 3) мак-

симальную мощности подъемного устройства, если масса груза 10 кг, длина наклонной
плоскости 2 м, угол наклона к горизонту 45°, коэффициент трения 0,1 и время подъема 2 с.

[1) 173 Дж; 2) 86 Вт; 3) 173 Вт]

3.2. С башни высотой 35 м горизонтально

 камень массой 0,3 кг. Пренебрегая

сопротивлением воздуха, определите: 1) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с
после начала

 его кинетическая энергия составила 60 Дж; 2) потенциальную энер-

гию камня через 1 с после начала движения. [1) 17,4 м/с; 2)

 Дж]

3.3. Пренебрегая трением, определите наименьшую высоту, с которой должна скаты-

ваться тележка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом 10 м, чтобы она
сделала полную петлю и не выпала из желоба. [25 м]

3.4. Пуля массой т = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью v = 500 м/с, попадает в

баллистический маятник длиной  — 1 м и массой М= 5 кг и застревает в нем. Определите
угол отклонения маятника.

3.5. Зависимость потенциальной энергии частицы в центральном силовом поле от рас-

А В

стояния  до центра поля задается выражением

 = — , где А  В — положительные

постоянные. Определите значение

 соответствующее равновесному положению частицы.

Является ли это положение положением устойчивого равновесия?

 — ]

3.6. При центральном абсолютно упругом ударе движущееся тело массой

 ударяется

о покоящееся тело массой

 в результате чего скорость первого тела уменьшается в п =

= 1,5 раза. Определите: 1) отношение

 2) кинетическую энергию

 второго тела, если

первоначальная кинетическая энергия

 тела

 = 1000 Дж. [1) 5; 2) 555 Дж]

3.7. Тело массой

 = 4 кг движется со скоростью  = 3 м/с  ударяется о неподвижное

тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определите количество теп-
лоты, выделившееся при ударе. [9 Дж]

Глава 4

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 16. Момент инерции

При изучении вращения твердых тел

пользуются понятием момента инер-
ции. Момент инерции тела — мера
инертности твердых тел при вращатель-
ном движении. Его роль такая же, что и
массы при поступательном движении.
Моментом инерции системы (тела)

относительно данной оси называется
физическая величина, равная сумме
произведений масс п материальных то-

чек системы на квадраты их расстоянии
до рассматриваемой оси:

Суммирование производится по

всем элементарным массам

 на кото-

рые разбивается тело (рис. 24).

В случае непрерывного распределе-

ния масс эта сумма сводится к интегралу

34