Курс физики для вузов - часть 7

Потенциальная энергия системы

является функцией состояния системы.

Она зависит только от конфигурации
системы и ее положения по отношению
к внешним телам.

Полная механическая энергия си-

стемы — энергия механического дви-
жения и взаимодействия:

Е=  Т + П ,

т. е. равна сумме кинетической и потен-
циальной энергий.

§ 13. Закон сохранения

механической энергии

Закон сохранения энергии — резуль-

тат обобщения многочисленных опыт-
ных данных. Идея этого закона принад-
лежит М.В.Ломоносову (1711 — 1765),
изложившему закон сохранения мате-
рии и движения, а количественная фор-
мулировка закона сохранения энергии
дана немецким врачом Ю.Майером

(1814 — 1878) и немецким естество-
испытателем Г. Гельмгольцем

 —

1894).

Рассмотрим систему материальных

точек массами

 движу-

щихся со скоростями

 Пусть

 — равнодействующие внут-

ренних консервативных сил, действу-
ющих на каждую из этих точек, a

 ...,

 равнодействующие вне-

шних сил, которые также будем счи-
тать консервативными. Кроме того,
будем считать, что на материальные
точки действуют еще и внешние некон-
сервативные силы; равнодействующие

этих сил, действующих на каждую из
материальных точек, обозначим

...,

 При v

 с массы материальных

точек постоянны и уравнения второго
закона Ньютона для этих точек следу-
ющие:

Двигаясь под действием сил, мате-

риальные точки системы за интервал
времени

 совершают перемещения,

соответственно равные

 ...,

Умножим каждое из уравнений скаляр-
но на соответствующее перемещение и,

учитывая, что

 получим

Первое слагаемое левой части равен-

ства (13.1)

где d T — приращение кинетической
энергии системы.

Второе слагаемое

но элементарной работе внутренних и
внешних консервативных сил, взятой
со знаком «-», т.е. равно элементарно-
му приращению потенциальной энер-
гии

 системы [см. (12.2)].

27

Правая часть равенства (13.1) зада-

ет работу внешних неконсервативных
сил, действующих на систему. Таким
образом, имеем

 /

 Л / А

 О \

а(Т+П) =

 (13.2)

При переходе системы из состоя-

ния 1 в какое-либо состояние 2

т.е. изменение
энергии системы при переходе из одно-
го состояния в другое равно работе, со-

вершенной при этом внешними не кон-
сервативными силами. Если внешние
не консервативные силы отсутствуют,
то из (13.2) следует, что

откуда

Т + П =

 const, (13.3)

т. е. полная механическая энергия сис-
темы сохраняется постоянной. Выраже-

ние (13.3) представляет собой закон
сохранения механической энергии: в
системе тел, между которыми действу-
ют только консервативные силы, пол-

ная механическая энергия сохраняется,

т. е. не изменяется со временем.

Механические системы, на тела ко-

торых действуют только консерватив-
ные силы (внутренние и внешние), на-
зываются консервативными систе-

 Закон сохранения механиче-

ской энергии можно сформулировать
так: в консервативных системах полная
механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической

энергии связан с однородностью време-
ни. Однородность времени проявляет-
ся в том, что физические законы инва-
риантны относительно выбора начала
отсчета времени. Например, при сво-

бодном падении тела в поле сил тяжес-

ти его скорость и пройденный путь за-

висят лишь от начальной скорости и
продолжительности свободного паде-
ния тела и не зависят от того, когда тело
начало падать.

Существует еще один вид систем —

диссипативные системы, в которых
механическая энергия постепенно
уменьшается за счет преобразования в
другие (немеханические) формы энер-
гии. Этот процесс получил название
диссипации (или рассеяния) энергии.
Строго говоря, все системы в природе
являются диссипативными.

В консервативных системах полная

механическая энергия остается посто-

янной. Могут происходить лишь пре-

вращения кинетической энергии в по-
тенциальную и обратно в эквивалент-
ных количествах так, что полная энер-
гия остается неизменной, что и демон-
стрируется на примере свободного па-
дения тела (рис.

 без учета сопротив-

ления среды. Этот закон не есть просто
закон количественного сохранения
энергии, а закон сохранения и превра-

щения энергии, выражающий и каче-
ственную сторону взаимного превраще-
ния различных форм движения друг в
друга. Закон сохранения и превраще-
ния энергии — фундаментальный закон
природы, он справедлив как для систем

Рис. 15

28

макроскопических тел, так и для систем
микротел.

В системе, в которой действуют так-

же неконсервативные силы, например
силы трения, полная механическая
энергия системы не сохраняется. Сле-
довательно, в этих случаях закон сохра-

нения механической энергии несправед-
лив. Однако при «исчезновении» меха-
нической энергии всегда возникает эк-
вивалентное количество энергии друго-

го вида. Таким образом, энергия никог-
да не исчезает и не появляется вновь,
она лишь превращается из одного вида
в другой. В этом и заключается физичес-
кая сущность закона сохранения и
превращения энергии — сущность не-

 материи и ее движения.

§ 14. Графическое

представление энергии

Во многих задачах рассматривается

одномерное движение тела, потенци-
альная энергия которого является фун-
кцией лишь одной переменной (напри-
мер, координаты х), т.е. П  П(х). Гра-
фик зависимости потенциальной энер-
гии от некоторого аргумента называет-
ся потенциальной кривой. Анализ по-

 кривых позволяет опреде-

лить характер движения тела.

Будем рассматривать только консер-

вативные системы, т. е. системы, в ко-
торых взаимные превращения механи-

ческой энергии в другие виды отсут-

ствуют. Тогда справедлив закон сохра-

нения энергии в форме (13.3). Рассмот-
рим графическое представление потен-

циальной энергии для тела в однород-

ном поле тяжести и для упругодефор-

мированного тела.

Потенциальная энергия тела массой т,

поднятого на высоту h над поверхностью

Земли, согласно (12.7),

 = mgh. Гра-

 16

фик данной зависимости П =

 —

прямая линия, проходящая через нача-
ло координат (рис. 16), угол наклона
которой к оси h тем больше, чем боль-

ше масса тела (так как

 =

Пусть полная энергия тела равна Е

(ее график — прямая, параллельная

оси

 На высоте

 обладает потен-

циальной энергией П, которая опреде-

ляется отрезком вертикали, заключен-

ным между точкой h на оси абсцисс и
графиком

 Естественно, что кине-

тическая энергия Гзадается ординатой
между графиком

 и горизонтальной

прямой ЕЕ. Из рис.

 следует, что если

h —

 то

 0 и П —

 е.

потенциальная энергия становится мак-
симальной и равной полной энергии.

Из приведенного графика можно най-

ти скорость тела на высоте

откуда

Зависимость потенциальной энергии

упругой деформации П = от дефор-
мации х имеет вид параболы (рис. 17),

где график заданной полной энергии

Рис. 17

29

тела Е — прямая, параллельная оси аб-
сцисс х, а значения  Т и П определяют-
ся так же, как на рис. 16. Из рис.

 сле-

дует, что с увеличением деформации х

потенциальная энергия тела возраста-
ет, а кинетическая — уменьшается. Аб-
сцисса

 определяет максимально

возможную деформацию растяжения
тела, а

 — максимально возмож-

ную деформацию сжатия тела. Если

потенциальная энергия становится
максимальной и равной полной энер-
гии.

Из анализа графика на рис. 17 выте-

кает, что при полной энергии тела, рав-
ной Е, тело не может сместиться вправо
от

 и влево от

 так как кинети-

ческая энергия не может быть отрица-
тельной и, следовательно, потенциаль-
ная энергия не может быть больше пол-

ной энергии. В таком случае говорят,
что тело находится в потенциальной
яме с координатами

 х

В общем случае потенциальная кри-

вая может иметь довольно сложный
вид, например с несколькими чередую-
щимися максимумами и минимумами

(рис. 18). Проанализируем эту потенци-
альную кривую. Если Е— заданная пол-
ная энергия частицы, то частица может
находиться только там, где

 Е, т. е.

в областях I и III.

Переходить из области I в III и обрат-

но частица не может, так как ей препят-
ствует потенциальный барьер
ширина которого равна интервалу зна-

 18 П

чений х, при которых Е < П, а его высо-
та определяется разностью

 — Е.

Для того чтобы частица смогла преодо-
леть потенциальный барьер, ей необхо-
димо сообщить дополнительную энер-

гию, равную высоте барьера или превы-
шающую ее. В области I частица с пол-
ной энергией

 «запертой»

в потенциальной яме

 совершает

колебания между точками с координа-
тами

 и

В точке В с координатой  (см. рис.

18) потенциальная энергия частицы

минимальна. Так как действующая на
частицу сила (см. § 12) (П —

функция только одной координаты), а
условие минимума потенциальной энер-
гии = 0, то в точке В F

x

 = 0. При

смещении частицы из положения

(и влево, и вправо) она испытывает дей-
ствие возвращающей силы, поэтому по-

ложение

 является положением ус-

тойчивого равновесия. Указанные ус-
ловия выполняются и для точки

 Однако эта точка соответствует

положению неустойчивого равнове-
сия, так как при смещении частицы из
положения  появляется сила, стремя-
щаяся удалить ее от этого положения.

§ 15. Удар абсолютно упругих

и неупругих тел

Удар (или соударение) — это стол-

кновение двух или более тел, при кото-
ром взаимодействие длится очень ко-
роткое время. Помимо ударов в прямом
смысле этого слова (столкновения ато-

мов или бильярдных шаров) сюда мож-
но отнести и такие, как удар человека о
землю при прыжке с трамвая и т.д.

Силы взаимодействия между стал-

кивающимися телами (ударные или

30