Курс физики для вузов - часть 5

Таким образом, коэффициент тре-

ния равен тангенсу угла

 при кото-

ром начинается скольжение тела по на-
клонной плоскости.

Для гладких поверхностей опреде-

ленную роль начинает играть межмоле-

кулярное притяжение. Для них приме-
няется закон трения скольжения

где

 — истинный коэффициент тре-

ния скольжения; S — площадь контак-
та между телами;  — добавочное дав-

ление, обусловленное силами межмоле-

кулярного притяжения, которые быст-
ро уменьшаются с увеличением рассто-
яния между частицами.

Трение играет большую роль в при-

роде и технике. Благодаря трению дви-
жется транспорт, удерживается заби-
тый в стену гвоздь и т.д. В некоторых
случаях силы трения оказывают вред-
ное действие и поэтому их надо умень-
шать. Для этого на трущиеся поверхно-
сти наносят смазку (сила трения умень-
шается примерно в 10 раз), которая за-
полняет неровности между этими по-
верхностями и располагается тонким
слоем между ними так, что поверхнос-
ти как бы перестают касаться друг дру-

га, а скользят относительно друг друга
отдельные слои жидкости. Таким обра-

зом, внешнее трение твердых тел заме-

няется значительно меньшим внутрен-
ним трением жидкости.

Радикальным способом уменьшения

силы трения является замена трения

скольжения трением качения (шарико-

вые и роликовые подшипники и т.д.).

Сила трения качения определяет-

ся по закону, установленному Куло-
ном:

тр

 >

Г

(8.1)

где  — коэффициент трения качения,
имеющий размерность

 =

 r —

радиус катящегося тела.

Из (8.1) следует, что сила трения ка-

чения обратно пропорциональна ради-
усу катящегося тела.

§ 9. Закон сохранения импульса.

Центр масс

Для вывода закона сохранения им-

пульса рассмотрим некоторые понятия.
Совокупность материальных точек
(тел), рассматриваемых как единое це-
лое, называется механической систе-

мой.

Силы взаимодействия между мате-

риальными точками механической си-
стемы называются внутренними.

Силы, с которыми на материальные

точки системы действуют внешние
тела, называются внешними.

Механическая система тел, на кото-

рую не действуют внешние силы, назы-
вается замкнутой (или изолирован-
ной).

Если мы имеем механическую сис-

тему, состоящую из многих тел, то, со-
гласно третьему закону Ньютона, силы,
действующие между этими телами, бу-
дут равны и противоположно направ-
лены, т. е. геометрическая сумма внут-
ренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему,

состоящую из п тел, масса и скорость
которых соответственно равны

 Пусть

 —

равнодействующие внутренних сил,
действующих на каждое из этих тел, а

 ...,

 — равнодействующие вне-

шних

Запишем второй закон Ньютона для

каждого из п тел механической систе-
мы:

19

Последнее выражение и является

законом сохранения импульса: им-

пульс замкнутой системы сохраняется,
т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса спра-

ведлив не только в классической физи-
ке, хотя он и получен как следствие за-
конов Ньютона. Эксперименты доказы-
вают, что он выполняется и для замк-
нутых систем микрочастиц (они подчи-
няются законам квантовой механики).

Этот закон носит универсальный ха-
рактер, т.е. закон сохранения импуль-
са — фундаментальный закон природы.

Отметим, что, согласно (9.1), им-

пульс сохраняется и для незамкнутой
системы, если геометрическая сумма
всех внешних сил равна нулю. Также
сохраняется проекция импульса на на-
правление, вдоль которого равнодей-
ствующая сил равна нулю.

Закон сохранения импульса являет-

ся следствием определенного свойства
симметрии пространства — его однород-
ности. Однородность пространства
заключается в том, что при параллель-
ном переносе в пространстве замкнутой

системы тел как целого ее физические
свойства и законы движения не изме-
няются, иными словами, не зависят от
выбора положения начала координат
инерциальной системы отсчета.

Импульс системы может быть выра-

жен через скорость ее центра масс. Цен-
тром масс (или центром инерции)
системы материальных точек называет-
ся воображаемая точка С, положение

которой характеризует распределение
массы этой системы. Ее радиус-вектор
равен

где

 — соответственно масса и ра-

диус-вектор

 материальной точки;

п — число материальных точек в систе-

20

или

(9.1)

Так как геометрическая сумма внут-

ренних сил механической системы

по третьему закону Ньютона равна

нулю, то

Складывая почленно эти уравнения,

получим

Таким образом, производная по вре-

мени от импульса механической систе-
мы равна геометрической сумме вне-

шних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил

(рассматриваем замкнутую систему)

Скорость центра масс

(9.2)

т.е. импульс системы равен произведе-
нию массы системы на скорость ее цен-
тра масс.

Подставив выражение (9.2) в урав-

нение (9.1), получим

(9.3)

т.е. центр масс системы движется как
материальная точка, в которой сосредо-
точена масса всей системы и на кото-
рую действует сила, равная геометри-
ческой сумме всех внешних сил, прило-

женных к системе. Выражение (9.3)
представляет собой закон движения
центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона со-

хранения импульса вытекает, что центр

масс замкнутой системы либо движет-

ся прямолинейно и равномерно, либо ос-
тается неподвижным.

§ 10. Уравнение движения

тела переменной массы

Движение некоторых тел сопровож-

дается изменением их массы, например
масса ракеты уменьшается вследствие
истечения газов, образующихся при
сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела

переменной массы на примере движе-

ния ракеты. Если в момент времени t
масса ракеты т, а ее скорость v, то по
истечении времени dt ее масса умень-
шится на dm и станет равной т — dm, a
скорость станет равной v

 dv. Изме-

нение импульса системы за отрезок вре-
мени dt

dp=[(m —

 +

 —

где  — скорость истечения газов
сительно ракеты.

Тогда

dp

 =

 +  dm

(учли, что

 — малый высшего по-

рядка малости по сравнению с осталь-
ными). Если на систему действуют вне-
шние силы, то dp = Fdt, поэтому

или

(10.1)

Второе слагаемое в правой части

(10.1) называют реактивной силой
Если  противоположен v по направ-

лению, то ракета ускоряется, а если со-

впадает с v, то тормозится.

Таким образом, мы получили урав-

нение движения тела переменной

массы

(10.2)

которое впервые было выведено И. Б. Ме-
щерским (1859-1935).

Идея применения реактивной силы

для создания летательных аппаратов

высказывалась в 1881 г. Н.И.Кибаль-
чичем (1854 -1881). В 1903 г. К. Э. Ци-
олковский (1857—1935) опубликовал
статью, где предложил теорию движе-
ния ракеты и основы теории жидко-
стного реактивного двигателя, поэтому
его считают основателем отечественной
космонавтики.

21

Применим уравнение (10.1) к дви-

жению ракеты, на которую не действу-
ют внешние силы. Полагая F = 0 и
считая, что скорость выбрасываемых
газов относительно ракеты постоянна

(ракета движется прямолинейно), по-

лучим

откуда

Значение постоянной интегрирова-

ния С определим из начальных усло-
вий. Если в начальный момент време-
ни скорость ракеты равна нулю, а ее

стартовая масса

 то С=

 Сле-

довательно,

(10.3)

Это соотношение называется фор-

мулой Циолковского. Она показывает,

что: 1) чем больше конечная масса ра-
кеты т, тем больше должна быть стар-
товая масса ракеты

 2) чем больше

скорость  истечения газов, тем боль-
ше может быть конечная масса при дан-
ной стартовой массе ракеты.

Выражения (10.2) и (10.3) получе-

ны для нерелятивистских движений,
т. е. для случаев, когда скорости v и и
малы по сравнению со скоростью с рас-
пространения света в вакууме.

Контрольные вопросы

• Какая

 называется

 Почему система отсчета, связанная с

Землей,

• Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать?
• Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона Ньютона? Почему?
• В чем заключается принцип независимости действия сил?
• Какова физическая сущность трения? В чем отличие сухого трения от жидкого? Какие

виды внешнего (сухого)

 вы знаете?

• Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми? Явля-

ется ли Вселенная замкнутой системой? Почему?

• В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? По-

чему он является фундаментальным законом природы?

• Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения им-

пульса?

• Что называется центром масс системы материальных точек? Как движется центр масс

замкнутой системы?

ЗАДАЧИ

2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело.

Определите скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффици-
ент

 0,15. [10,9 м/с]

2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наимень-

шая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли?

[28 м/с]

2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизон-

том углы а = 30° и  = 45°. Гири равной массы

 =

 = 2 кг) соединены нитью, переки-

нутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о

22