Курс физики для вузов - часть 3

Таким образом, ускорение  есть

векторная величина, определяемая
первой производной скорости по вре-
мени.

Разложим вектор

 на две составля-

ющие. Для этого из точки А (см. рис. 4)
по направлению скорости v отложим
вектор AD, по модулю равный

 Оче-

видно, что вектор CD, равный

 оп-

ределяет изменение скорости за время

 по модулю:

 — v. Вторая же

составляющая

 вектора

 характе-

ризует изменение скорости за время

 направлению.

Тангенциальная составляющая

ускорения

т.е. равна первой производной по вре-
мени от модуля скорости: она опреде-

ляет быстроту изменения скорости по
модулю.

Найдем вторую составляющую уско-

рения. Допустим, что точка В достаточ-
но близка к точке А, поэтому As можно
считать дугой окружности некоторого
радиуса

 мало отличающейся от хор-

ды  В. Тогда из подобия треугольни-
ков

 В и EAD  с л е д у е т н о

так как  В —

 то

В пределе при At

 0 получим

 v.

Поскольку

 угол

 стре-

мится к нулю, а так как треугольник
EAD равнобедренный, то угол ADE
между v и

 стремится к прямому.

Следовательно, при At

 0 векторы Д

и v оказываются взаимно перпендику-

лярными. Так как вектор скорости на-
правлен по касательной к траектории,
то вектор

 перпендикулярный век-

тору скорости, направлен к центру ее
кривизны. Составляющая ускорения

называется нормальной составляю-
щей ускорения и направлена по глав-
ной нормали к траектории к центру ее
кривизны.

Полное ускорение тела есть геомет-

рическая сумма тангенциальной и нор-
мальной составляющих (рис. 5):

Итак, тангенциальная составляю-

щая ускорения характеризует быстро-
ту изменения модуля скорости (направ-
лена по касательной к траектории), а
нормальная составляющая ускорения —
быстроту изменения направления ско-

рости (направлена по главной норма-

ли к центру кривизны траектории).

Составляющие

 и

 перпендикуляр-

ны друг другу.

В зависимости от тангенциальной и

нормальной составляющих ускорения
движение можно классифицировать
следующим образом:

1)

 0,

 = О — прямолинейное

равномерное движение;

2)

 = а — const,

 = 0 — прямоли-

нейное равнопеременное движение.
При таком виде движения

Если начальный момент времени

 = 0, а начальная скорость  =

 то,

Рис.5

11

получим

Проинтегрировав эту формулу в

пределах от нуля до произвольного мо-
мента времени t, найдем, что длина
пути, пройденного точкой, в случае рав-
нопеременного движения

3)

 = f(t),

 = 0 — прямолинейное

движение с переменным ускорением;

4)

 — 0,

 = const. При

 = 0 ско-

рость изменяется только по направле-
нию. Из формулы следует, что
радиус кривизны

 постоян-

ным. Следовательно, движение по ок-
ружности является равномерным;

5)

 = 0,

 0 — равномерное кри-

волинейное движение;

6)

 = const,

 0 — криволиней-

ное равнопеременное движение;

7)

 = f(t),

 0 — криволинейное

движение с переменным ускорением.

§ 4. Угловая скорость

и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое

вращается вокруг неподвижной оси.
Тогда отдельные точки этого тела бу-

дут описывать окружности разных ра-

диусов, центры которых лежат на оси
вращения. Пусть некоторая точка дви-
жется по окружности радиуса R (рис.

6). Ее положение через промежуток
времени At задается углом

Элементарные (бесконечно малые)

повороты можно рассматривать как
векторы (они обозначаются

Модуль вектора

 равен углу поворо-

 6

Рис.7

та, а его направление совпадает с на-
правлением поступательного движения
острия винта, головка которого враща-

ется в направлении движения точки по
окружности, т. е. подчиняется правилу
правого винта (см. рис. 6). Векторы,
направления которых связываются с
направлением вращения, называются

псевдовекторами или аксиальными
векторами. Эти векторы не имеют оп-
ределенных точек приложения: они
могут откладываться из любой точки
оси вращения.

Угловой скоростью называется век-

торная величина, определяемая первой
производной угла поворота тела по вре-
мени:

Вектор

 направлен вдоль оси вра-

щения по правилу правого винта, т.е.
так же, как и вектор

 (рис. 7). Размер-

ность угловой скорости dim

 =

 а

ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

т.е.

В векторном виде формулу для ли-

нейной скорости можно написать как
векторное произведение:

v =

12

При этом модуль векторного про-

изведения, по определению, равен

а направление совпадает с

направлением поступательного движе-

ния правого винта при его вращении от

G3 к R.

Если

 const, то вращение равно-

мерное и его можно характеризовать
периодом вращения Т — временем, за
которое точка совершает один полный
оборот, т. е. поворачивается на угол
Так как промежутку времени At = Т со-
ответствует откуда

Число полных оборотов, совершае-

мых телом при равномерном его движе-
нии по окружности в единицу времени,
называется частотой вращения:

откуда

Угловым ускорением называется

векторная величина, определяемая пер-
вой производной угловой скорости по
времени:

При вращении тела вокруг непод-

вижной оси вектор углового ускорения
направлен вдоль оси вращения в сторо-
ну вектора элементарного приращения
угловой скорости. При ускоренном дви-

Рис.8

Рис.9

жений вектор  сонаправлен вектору G5

(рис. 8), при замедленном — противо-
направлен ему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ус-

корения и

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линей-

ными (длина пути s, пройденного точ-
кой по дуге окружности радиусом R, ли-
нейная скорость v, тангенциальное уско-
рение

 нормальное ускорение

 и

угловыми величинами (угол
угловая скорость

 угловое ускорение

 выражается следующими формулами:

s —

 v =

 =

 =

В случае равнопеременного движе-

ния точки но окружности

 = const)

где

 — начальная угловая скорость.

Контрольные вопросы

• Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?

• Что такое система отсчета?

• Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку

пути, пройденному точкой?

13

• Какое движение называется поступательным? вращательным?
• Дайте определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной ско-

рости и мгновенного ускорения. Каковы их направления?

• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляю-

щая ускорения? Каковы их модули?

• Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенци-

альное ускорение? Приведите примеры.

• Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направ-

ления?

• Какова связь между линейными и угловыми величинами?

ЗАДАЧИ

1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = А +

 +

+ Ct

2

 + Dt

3

 (С = 0,1 м/с

2

, D = 0,03 м/с

3

). Определите: 1) время после начала движения,

через которое ускорение о тела будет равно 2 м/с

2

; 2) среднее ускорение (а) тела за этот

промежуток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с

2

]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите угол, под которым тело брошено

к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна

 дальности его полета. [45°]

1.3. Колесо радиусом R  0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от

времени задается уравнением

 = 2At +

 (A = 2 рад/с

2

 рад/с

5

). Определите

полное ускорение точек обода колеса через

 после начала вращения и число оборотов,

сделанных колесом за это

 [а = 8,5 м/с

2

; N= 0,48]

 Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом  = 4 м, задает-

ся уравнением

 — А + Bt + Ct

2

 (А = 1

 6 м/с

3

,

 3 м/с

4

). Определите: 1) танген-

циальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время  = 5 с после начала дви-
жения; 3) полное ускорение для момента времени  = 1 с. [1) 6 м/с

2

; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с

2

]

1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленпом движении за t = 1 мин уменьши-

лась от 300 до 180 мин"

1

. Определите: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборо-

тов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с

2

; 2) 240]

1.6. Диск радиусом R — 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость

угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением

 А + Bt + Ct

2

 + Dt

3

 (В =

= 1 рад/с, С = 1 рад/с

2

, D = 1 рад/с

3

). Определите для точек на ободе колеса к концу

второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение

 2) нормальное

ускорение

 3) полное ускорение а. [1) 1,4 м/с

2

; 2) 28,9 м/с

2

; 3) 28,9 м/с

2

]

Глава 2

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 5. Первый закон Ньютона. им в «Математических началах нату-

Масса. Сила ральной философии» (1687). Законы

Ньютона играют исключительную роль

В основе классической динамики в механике и являются обобщением ог-

(основной раздел механики) лежат три ромного числа опытных данных. Пра-

закона Ньютона, сформулированные вильность этих законов (для обширно-

14