Курс физики для вузов - часть 2

ЧАСТЬ 1

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Глава 1

ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

§ 1. Модели в механике.

Система отсчета. Траектория,

длина пути, вектор перемещения

Механика — часть физики, которая

изучает закономерности механическо-
го движения и причины, вызывающие
или изменяющие это движение. Меха-

ническое движение — это изменение с
течением времени взаимного располо-
жения тел или их частей.

Развитие механики как науки начи-

нается с III в. до н.э., когда древнегре-

ческий ученый Архимед (287 — 212 до
н.э.) сформулировал закон равновесия
рычага и законы равновесия плавающих
тел. Основные законы механики уста-

новлены итальянским физиком и астро-
номом Г. Галилеем (1564 —1642) и окон-
чательно сформулированы английским

ученым И. Ньютоном (1643 — 1727).

Механика Галилея — Ньютона назы-

вается классической механикой. В ней

изучаются законы движения макроско-
пических тел, скорости которых малы по
сравнению со скоростью света с в ваку-
уме. Законы движения макроскопических

тел со скоростями, сравнимыми со ско-
ростью с, изучаются релятивистской

механикой, основанной на специальной

теории относительности, сформули-

рованной А.Эйнштейном
Для описания движения микроскопиче-
ских тел (отдельные атомы и элементар-
ные частицы) законы классической ме-
ханики неприменимы — они заменяют-
ся законами квантовой механики.

Уравнения релятивистской механи-

ки в пределе (для скоростей, малых по
сравнению со скоростью света) перехо-
дят в уравнения классической механи-
ки, уравнения квантовой механики в
пределе (для масс, больших по сравне-
нию с массами атомов) также перехо-
дят в уравнения классической механи-
ки. Это указывает на ограниченность
применимости классической механи-
ки — механики тел больших масс (по
сравнению с массой атомов), движу-
щихся с малыми скоростями (по срав-
нению со скоростью света).

Механика делится на три раздела:

1) кинематику; 2) динамику; 3) статику.

Кинематика изучает движение тел,

не рассматривая причины, которые это
движение обусловливают.

Динамика изучает законы движе-

ния тел и причины, которые вызывают
или изменяют это движение.

Статика изучает законы равнове-

сия системы тел. Если известны зако-
ны движения тел, то из них можно ус-

тановить и законы равновесия. Поэто-
му законы статики отдельно от законов

динамики физика не рассматривает.

В механике для описания движения

тел в зависимости от условий конкрет-

ных задач используются разные физи-
ческие модели. Простейшей моделью

является материальная точка — тело,

обладающее массой, размерами которо-
го в данной задаче можно пренебречь.

Материальная точка — понятие абст-

рактное, но его введение облегчает ре-

шение практических задач. Например,
изучая движение планет но орбитам
вокруг Солнца, можно принять их за

материальные точки.

Произвольное макроскопическое

тело или систему тел можно мысленно
разбить на малые взаимодействующие
между собой части, каждая из которых
рассматривается как материальная точ-
ка. Тогда изучение движения произ-
вольной системы тел сводится к изуче-
нию системы материальных точек.

Под воздействием тел друг на друга

тела могут деформироваться, т. е. изме-

нять свою форму и размеры. Поэтому в
механике вводится еще одна модель —
абсолютно твердое тело. Абсолютно
твердым называют тело, которое ни
при каких условиях не может деформи-
роваться и при всех условиях расстоя-

ние между двумя точками (или точнее
между двумя частицами) этого тела ос-
тается постоянным.

Любое движение твердого тела мож-

но представить как комбинацию посту-
пательного и вращательного движений.
Поступательное движение — это дви-
жение, при котором любая прямая, же-
стко связанная с движущимся телом,
остается параллельной своему первона-
чальному положению. Вращательное

движение — это движение, при кото-
ром все точки тела движутся по окруж-
ностям, центры которых лежат на од-

 и

 же прямой, называемой осью

вращения.

Движение тел происходит в про-

странстве и во времени. Поэтому для
описания движения материальной точ-
ки надо знать, в каких местах простран-
ства и в какие моменты времени эта
точка находилась в том или ином поло-
жении.

Положение материальной точки оп-

ределяется по отношению к какому-
либо другому, произвольно выбранно-
му телу, называемому телом отсчета.

С ним связывается система отсче-

та — совокупность системы координат
и часов. В декартовой системе коорди-
нат, используемой наиболее часто, по-
ложение точки А в данный момент вре-

мени по отношению к этой системе ха-
рактеризуется тремя координатами х, у

и z или радиусом-вектором  проведен-

ным из начала системы координат в
данную точку (рис. 1).

При движении материальной точки

ее координаты с течением времени из-
меняются. В общем случае ее движение
определяется скалярными уравнениями

x=x(t), y=y(t),z=z{t), (1.1)

эквивалентными векторному уравнению

r = r(t). (1.2)

Уравнения (1.1) и (1.2) называются

кинематическими уравнениями дви-
жения материальной точки.

Рис. 1

Рис. 2

8

Число независимых величин, полно-

стью определяющих положение точки
в пространстве, называется числом
степеней свободы. Если материальная
точка свободно движется в простран-
стве, то, как уже было сказано, она об-
ладает тремя степенями свободы (коор-
динаты х, у и z); если она движется по

некоторой поверхности, то двумя сте-
пенями свободы, если вдоль некоторой

линии, то одной степенью свободы.

Исключая t в уравнениях (1.1) и

(1.2), получим уравнение траектории

движения материальной точки. Траек-
тория — линия, описываемая в про-

странстве движущейся точкой. В зави-
симости от формы траектории движе-
ние может быть прямолинейным или

криволинейным.

Рассмотрим движение материальной

точки вдоль произвольной траектории

(рис. 2). Отсчет времени начнем с мо-

мента, когда точка находилась в положе-

нии А. Длина участка траектории

 В,

пройденного материальной точкой с
момента начала отсчета времени, назы-
вается длиной пути

 является ска-

лярной функцией времени: As

 As(t).

Вектор

 =  —  проведенный из на-

чального положения движущейся точки

в положение ее в данный момент време-
ни (приращение радиуса-вектора точки

за рассматриваемый промежуток време-
ни), называется перемещением.

При прямолинейном движении век-

тор перемещения совпадает с соответ-
ствующим участком траектории и мо-

дуль перемещения

 равен пройден-

ному пути As.

§ 2. Скорость

Для характеристики движения мате-

риальной точки вводится векторная
величина — скорость, которой опреде-

Рис.З

ляется как быстрота движения, так и

его направление в данный момент вре-
мени.

Пусть материальная точка движет-

ся по какой-либо криволинейной тра-
ектории так, что в момент времени t ей
соответствует радиус-вектор

 (рис. 3).

В течение малого промежутка времени
At точка пройдет путь As и получит
элементарное (бесконечно малое) пере-
мещение

Вектором средней скорости (v)

называется отношение приращения
радиуса-вектора точки к промежутку
времени At:

(2.1)

Направление вектора средней скоро-

сти совпадает с направлением

 При

неограниченном уменьшении At сред-
няя скорость стремится к предельному
значению, которое называется мгно-
венной скоростью v:

Мгновенная скорость v, таким обра-

зом, есть векторная величина, опреде-
ляемая первой производной радиуса-
вектора движущейся точки по времени.
Так как секущая в пределе совпадает с
касательной, то вектор скорости v на-
правлен по касательной к траектории в
сторону движения (см. рис. 3). По мере
уменьшения  t длина пути

 все боль-

ше будет приближаться к

 поэтому

модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной

скорости равен первой производной
пути по времени:

v = dt

(2.2)

При неравномерном движении мо-

дуль мгновенной скорости с течением

времени изменяется. В данном случае
пользуются скалярной величиной (v) —

средней скоростью неравномерного

движения:

 -

 •

At

Из рис. 3 вытекает, что

 > \Av\, так

как As > \Ar\, и только в случае прямо-

линейного движения

As  \Ar\.

Если выражение ds =

 [см. фор-

мулу (2.2)] проинтегрировать по време-
ни в пределах от t до t + At, то найдем

длину пути, пройденного точкой за вре-

мя At:

(2.3)

В случае равномерного движения

числовое значение мгновенной скоро-
сти постоянно; тогда выражение (2.3)

примет вид

Длина пути, пройденного точкой за

промежуток времени от t

1

 до t

2

, опре-

деляется интегралом

§

и его составляющие

В случае неравномерного движения

важно знать, как быстро изменяется
скорость с течением времени. Физиче-
ской величиной, характеризующей бы-
строту изменения скорости по модулю
и направлению, является ускорение.

Рассмотрим плоское движение, т. е.

движение, при котором все участки тра-

ектории точки лежат в одной плоско-
сти. Пусть вектор v задает скорость точ-
ки А в момент времени t. За время At
движущаяся точка перешла в положе-

ние  и приобрела скорость, отличную
от v как по модулю, так и направлению
и равную  = v

 Av. Перенесем век-

тор  в точку А и найдем Av (рис. 4).

Средним ускорением неравномер-

ного движения в интервале от t до

t +  t называется векторная величина,

равная отношению изменения скорос-
ти

 интервалу времени At:

(а) = At

Мгновенным ускорением а (уско-

рением) материальной точки в момент

времени t будет предел среднего ускоре-
ния:

10