Курс физики для вузов - часть 6

наклонные плоскости равными = = /= 0,1 и пренебрегая трением в блоке, определите:

1) ускорение, с которым движутся гири; 2) силу натяжения нити. [1) 0,24 м/с

; 2) 12 Н]

2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой про-

изводится выстрел вдоль полотна под углом а = 45° к горизонту. Масса платформы с пуш-
кой М= 20 т, масса снаряда = 10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и
рельсами /= 0,002. Определите скорость снаряда, если после выстрела платформа откати-
лась на расстояние = 3 м. [ = М

= 970 м/с]

т cos a

2.5. На катере массой т = 5 т находится водомет, выбрасывающий — 25 кг/с воды со

скоростью

м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению

катера, определите: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения; 2) предельно

возможную скорость катера. [1)

Глава 3

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

§ 1 1 . Энергия, работа, мощность

Энергия — универсальная мера раз-

личных форм движения и взаимодей-

ствия. С различными формами движе-
ния материи связывают различные
формы энергии: механическую, тепло-
вую, электромагнитную, ядерную и др.

В одних явлениях форма движения ма-

терии не изменяется (например, горя-
чее тело нагревает холодное), в других —
переходит в иную форму (например, в
результате трения механическое движе-
ние превращается в тепловое). Однако
существенно, что во всех случаях энер-
гия, отданная (в той или иной форме)

одним телом другому телу, равна энер-
гии, полученной последним телом.

Изменение механического движе-

ния тела вызывается силами, действу-

ющими на него со стороны других тел.
Чтобы количественно характеризовать
процесс обмена энергией между взаи-
модействующими телами, в механике
вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно

на него действует постоянная сила F,

которая составляет

угол

с направлением перемещения, то рабо-
та этой силы равна произведению про-
екции силы

на направление переме-

щения

а), умноженной на пе-

ремещение точки приложения силы:

A =

(11.1)

Сила может изменяться как по мо-

дулю, так и по направлению, поэтому в
общем случае формулой

пользо-

ваться нельзя. Если, однако, рассмот-
реть элементарное перемещение dr, то
силу F можно считать постоянной, а
движение точки ее приложения — пря-
молинейным. Элементарной работой
силы F на перемещении dr называется
скалярная величина

Рис. 13

где а — угол между векторами F и dr;

— элементарный путь;

— про-

екция вектора F на вектор

(рис. 13).

Работа силы на участке траектории

от точки 1 до точки 2 равна алгебраи-
ческой сумме элементарных работ на
отдельных бесконечно малых участках
пути. Эта сумма приводится к интегралу

Для вычисления этого интеграла

надо знать зависимость силы

от пути s

вдоль траектории 1 — 2. Пусть эта зави-
симость представлена графически (рис.

14), тогда искомая работа А определя-

ется на графике площадью затониро-
ванной фигуры. Если, например, тело
движется прямолинейно, сила F= const
и а = const, то получим

где s — путь, пройденный телом [см.
также формулу (11.1)].

Из формулы (11.1) следует, что при

работа силы положительна, в

этом случае составляющая

совпадает

по направлению с вектором скорости
движения (СМ. рис. 13). Если а > —,

то работа силы отрицательна. При

(сила направлена перпендику-

Рис. 14

лярно перемещению) работа силы рав-

на нулю.

Единица работы — джоуль (Дж):

1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н

на пути 1 м (1 Дж = 1 Н • м).

Чтобы охарактеризовать скорость

совершения работы, вводят понятие

мощности:

(11.3)

За время dt сила F совершает рабо-

ту Fdr, и мощность, развиваемая этой
силой, в данный момент времени

§ 12. Кинетическая

и потенциальная энергии

Кинетическая энергия механиче-

ской системы — энергия механическо-
го движения этой системы.

Сила F, действуя на покоящееся тело

и вызывая его движение, совершает ра-
боту, а энергия движущегося тела возра-
стает на величину затраченной работы.
Таким образом, работа dA силы F НА. пути,
который тело прошло за время возраста-
ния скорости от 0 до v, идет на увеличе-

ние кинетической энергии

тела, т.е.

т.е. равна скалярному произведению
вектора силы на вектор скорости, с ко-
торой движется точка приложения этой
силы; N — величина скалярная.

Единица мощности — ватт (Вт):

1 Вт — мощность, при которой за вре-

мя 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт =
= 1 Дж/с).

Таким образом, тело массой т, дви-

жущееся со скоростью v, обладает ки-

нетической энергией

(12.1)

Из формулы (12.1) видно, что кине-

тическая энергия зависит только от

массы и скорости тела, т.е. кинетиче-
ская энергия системы есть функция со-
стояния ее механического движения.

При выводе формулы

предпо-

лагалось, что движение рассматривает-

ся в инерциальной системе отсчета, так
как иначе нельзя было бы использовать
законы Ньютона. В разных инерциаль-
ных системах отсчета, движущихся друг
относительно друга, скорость тела, а
следовательно, и его кинетическая
энергия будут неодинаковы. Таким об-
разом, кинетическая энергия зависит от
выбора системы отсчета.

Кинетическая энергия механиче-

ской системы равна сумме кинетиче-
ских энергий тел, входящих в систему.
Так, кинетическая энергия системы из

п материальных точек равна

i=\

где — скорость

материальной точ-

ки массой

Пусть взаимодействие тел осуществ-

ляется посредством силовых полей (на-

пример, поля упругих сил, поля грави-
тационных сил), характеризующихся

тем, что работа, совершаемая действу-

ющими силами при перемещении тела
из одного положения в другое, не зави-
сит от того, по какой траектории это
перемещение произошло, а зависит
только от начального и конечного по-
ложений. Такие поля называются по-
тенциальными, а силы, действующие

в них, — консервативными. Если же
работа, совершаемая силой, зависит от
траектории перемещения тела из одной
точки в другую, то такая сила называ-
ется диссипативной; ее примером яв-
ляется сила трения.

Тела, находясь в потенциальном

поле сил, обладают потенциальной
энергией П. Потенциальная энергия —
механическая энергия системы тел, оп-
ределяемая их взаимным расположени-
ем и характером сил взаимодействия

между ними. Работа консервативных
сил при элементарном (бесконечно ма-

лом) изменении конфигурации систе-

мы равна приращению потенциальной
энергии, взятому со знаком «—» (рабо-

та совершается за счет убыли потенци-

альной энергии):

= - d I I . (12.2)

Работа dA выражается как скаляр-

ное произведение силы

перемеще-

ние dr (см. §

и выражение (12.2)

можно записать в виде

(12.3)

Следовательно, если известна фун-

кция

то из формулы (12.3) мож-

но найти силу F по модулю и направ-
лению.

Согласно формуле (12.3), потенци-

альная энергия

где С — постоянная интегрирования,
т. е. потенциальная энергия определяет-
ся с точностью до некоторой произволь-
ной постоянной. Это, однако, не суще-

ственно, так как в физические соотно-
шения входит или разность потенци-
альных энергий в двух точках, или про-
изводная функции П по координатам.
Поэтому потенциальную энергию тела
в каком-то определенном положении
условно считают равной нулю (выби-
рают нулевой уровень отсчета), а потен-
циальную энергию тела в других поло-

жениях отсчитывают относительно ну-
левого уровня.

Для консервативных сил

или в векторном виде

где

(12.4)

(12.5)

(Г, j, к — единичные векторы коорди-

натных осей). Вектор, определяемый
выражением (12.5), называется гради-
ентом скаляра П.

Для него наряду с обозначением

grad П применяется также обозначение
VII. V («набла») означает символиче-

ский вектор, называемый оператором

или «набла»-операто-

ром:

(12.6)

Конкретный вид функции П зависит

от характера силового поля. Например,

потенциальная энергия тела массой га,
поднятого на высоту h над поверхнос-
тью Земли,

(12.7)

где высота h отсчитывается от нулево-
го уровня, для которого

= 0. Выра-

жение (12.7) вытекает непосредствен-

но из того, что потенциальная энергия
равна работе силы тяжести при падении
тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается

произвольно, то потенциальная энер-
гия может иметь отрицательное значе-
ние (кинетическая энергия всегда поло-

жительна!). Если принять за нуль по-

тенциальную энергию тела, лежащего
на поверхности Земли, то потенциаль-
ная энергия тела, находящегося на дне
шахты (глубина h'), П

Найдем потенциальную энергию

упругодеформированного тела (пружи-

ны). Сила упругости пропорциональна
деформации:

где

— проекция силы упругости на

ось

к — коэффициент упругости

(для пружины — жесткость), а знак
«—» указывает на то, что

направ-

лена в сторону, противоположную де-

формации х.

По третьему закону Ньютона, де-

формирующая сила равна по модулю
силе упругости и направлена противо-
положно ей , т. е.

Элементарная работа

совершае-

мая силой

при бесконечно малой де-

формации da;,

а полная работа

(1805 — 1865) —

математик и физик.

идет на увеличение
энергии пружины. Таким образом, по-
тенциальная энергия упругодеформи-
рованного тела

-рт

содержание .. 4 5 6 7 ..