Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 32

Рис. 5.12

Рис. 5.13

направления вектора скорости перед скачком). Доказать соотношение
(газ политропный)

ctg θ = tg χ

h γ + 1

2

M

2

1

M

2

1

sin

2

χ − 1

−1

− 1

i 

M

1

=

q

1

c

1



.

5.21. Найти максимальный угол поворота течения в косом скачке

уплотнения θ

max

как функцию числа Маха набегающего потока. Рас-

смотреть случай M

1

→ ∞.

5.22. Показать, что течение политропного газа за косым скачком с

максимальным углом поворота потока (θ = θ

max

) дозвуковое.

5.23. Доказать соотношение Прандтля для косых скачков в полит-

ропном газе:

v

1n

v

2n

= c

2

∗

−

γ − 1
γ + 1

v

2

l

.

5.24. Доказать, что если равномерный сверхзвуковой поток прохо-

дит через криволинейный скачок уплотнения, то течение за скачком
вихревое. Вывести формулу для величины вихря, образующегося на
скачке

ω = v

x

− u

y

= κv

l

(τ

1

− τ

2

)

2

(τ

1

τ

2

)

−1

Здесь κ — кривизна фронта скачка, v

l

— касательная составляющая

скорости, τ

1

, τ

2

— величины удельного объема до и после скачка.

5.25. Доказать, что в плоскопараллельном установившемся течении

политропного газа невозможна конфигурация из трех прямолинейных
скачков уплотнения, выходящих из одной точки, если в каждом секторе
течение считается постоянным.

Указание: Рассмотреть уравнения адиабат Гюгонио, связывающие

состояния газа в трех секторах.

5.26. Построить решение задачи симметричного обтекания ромба

равномерным сверхзвуковым потоком, если вектор скорости набегаю-
щего потока направлен вдоль большой диагонали (угол β считать до-
статочно малым) (рис. 5.12).

128

Рис. 5.14

Рис. 5.15

5.27. Построить решение задачи обтекания пластины конечной дли-

ны равномерным сверхзвуковым потоком, считая угол β между направ-
лением потока и пластиной достаточно малым (рис. 5.13).

5.28. Дать качественное описание картины сверхзвукового обтека-

ния тела, изображенного на рисунке 5.14 (CD и AB — дуги окружно-
стей, остальные участки границы прямолинейны).

5.29. Определить основные параметры течения политропного га-

за за прямым скачком уплотнения через известные параметры M =
M

1

, p = p

1

, ρ = ρ

1

течения перед скачком.

Ответ:

p

2

= (2γM

2

1

− γ + 1)p

1

,

ρ

2

=

(γ + 1)M

2

1

(γ − 1)M

2

1

+ 2

ρ

1

,

q

2

= q

1

(γ − 1)M

2

1

+ 2

(γ + 1)M

2

1

,

M

2

=

s

(γ − 1)M

2

1

+ 2

2γM

2

1

− γ + 1

.

5.30. Рассматривается симметричное обтекание затупленного тела

равномерным сверхзвуковым потоком политропного газа при наличии
отошедшего скачка уплотнения (рис. 5.15). Найти давление на теле
в точке торможения A, если известны параметры p = p

1

, M = M

1

(M

1

> 1) набегающего потока.

Ответ:

p

0

= p

1

γ + 1

γ

+1

γ−1

2γM

2

1

− γ + 1

−

1

γ−1



(γ + 1)M

1

√

2



2γ

γ−1

.

5.31. В условиях предыдущей задачи вычислить предельные зна-

чения ρ

0

/ρ

1

при M

1

→ ∞ (ρ

0

— плотность газа в точке торможения, ρ

1

— плотность газа в набегающем потоке).

129

Ответ: lim

M

1

→∞

ρ

0

/ρ

1

= (γ + 1)

γ

+1

γ−1

(4γ)

−

1

γ−1

(γ − 1)

−1

.

5.32. Доказать, что константа в интеграле Бернулли при перехо-

де через скачок уплотнения меняется непрерывно. Верно ли это для
критической скорости c

∗

?

5.33. Получить явные выражения для модуля скорости, плотности

и давления в стационарном изэнтропическом течении типа дозвукового
или сверхзвукового источника (газ политропный, γ = 3). Считаются
заданными расход Q, давление p

∗

, плотность газа ρ

∗

на звуковой линии.

Ответ:

q = c

∗

q

1 ∓

p

1 − (r

0

/r)

2

,

r

0

= Q/(2πρ

∗

c

∗

) ,

ρ = ρ

∗

q

1 ±

p

1 − (r

0

/r)

2

,

c

∗

=

p

3p

∗

/ρ

∗

,

p = p

∗

1 ±

p

1 − (r

0

/r)

2

3/2

,

r =

p

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

,

(x

0

= const, y

0

= const).

5.34. Пусть в некоторой точке линии тока L известны параметры

стационарного течения политропного газа: p = p

1

, ρ = ρ

1

, q = q

1

.

Выразить величины p

∗

, ρ

∗

, c

∗

через эти параметры.

Ответ:

c

∗

= c

1

r

γ − 1
γ + 1

M

2

1

+

2

γ − 1

,

ρ

∗

= ρ

1



γ − 1
γ + 1

M

2

1

+

2

γ − 1



1/(γ−1)



c

2

1

=

γp

1

ρ

1

, M

2

1

=

q

2

1

c

2

1



,

p

∗

= p

1



γ − 1
γ + 1

M

2

1

+

2

γ − 1



γ/(γ−1)

.

5.35. Рассматривается стационарное течение газа в секторе, изоб-

раженном на рис. 5.16. При r

1

< r < r

2

реализуется сверхзвуковое те-

чение типа источника, на окружности r = r

2

расположен фронт скачка

уплотнения, при r > r

2

реализуется дозвуковое течение типа источни-

ка. Для политропного газа с показателем политропы γ = 3 определить
давление p

∞

, если при r = r

1

заданы p = p

1

, ρ = ρ

1

, q = q

1

(q

1

> c

1

).

Ответ:

p

∞

= 8p

1

s

(M

2

1

+ 1) 1 +

p

1 − (r

0

/r

2

)

2

3

1 −

p

1 − (r

0

/r

2

)

2

1 + 2

p

1 − (r

0

/r

2

)

2

,

r

0

= 2M

1

(1 + M

2

1

)

−1

r

1

.

130

0

Рис. 5.16

5.36. С помощью частного решения уравнения Чаплыгина вида

ψ = ψ

1

(q)

построить течение на плоскости (x, y) (течение типа потенциального
вихря).

5.37. С помощью частного решения уравнения Чаплыгина вида

ψ = ψ

1

(q) + aθ

построить течение на плоскости (x, y) (a = const).

5.38. Показать, что если вдоль звуковой линии θ = const, то звуко-

вая линия — прямая на плоскости течения.

5.39. Найти вид функции K(σ) для модели политропного газа с

показателем γ = 3 (см. уравнение (5.22)).

Ответ: функция K(σ) определена параметрическими формулами:

K(σ) = 2

−1/3

ν

−2

(1 − ν

−2

),

σ = 2

2/3

h

1 − ν +

1

√

2

ln

(

√

2 + ν)(

√

2 − 1)

(

√

2 − ν)(

√

2 + 1)

i

,



ν =

ρ

ρ

∗



.

5.40. Найти характеристики уравнения Трикоми.
Ответ: θ ±

2
3

(−σ)

3/2

= const.

5.41. Найти преобразования растяжения, допускаемые уравнением

Трикоми.

5.42. Получить аналог уравнений (5.15) в переменных θ, σ, соответ-

ствующий аппроксимации Трикоми для уравнения Чаплыгина.

Ответ: ϕ

σ

= gσψ

θ

, ϕ

θ

= −gψ

σ

.

5.43. Построить решения уравнения Трикоми, имеющие вид поли-

номов от θ, σ, однородных относительно преобразования растяжения
независимых переменных, допускаемого этим уравнением.

131