Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 30

“1”

“3 ”

’

“3 ”

’’

“2”

p

Рис. 5.8

Рис. 5.9

возникают косые скачки уплотнения. По известному значению p

3

мож-

но определить параметры течения в областях “3

′

”, “3

′′

”, углы наклона

фронтов OC и OD точно так же, как в примере 5.1. Угол наклона
фронта контактного разрыва OE совпадает с углом наклона вектора
скорости v

3

. Решение задачи построено.

5.4

Уравнения Чаплыгина. Дозвуковые и околозву-
ковые течения

Потенциал вектора скорости ϕ (v = ∇ϕ) в изэнтропическом безвихре-
вом установившемся течении удовлетворяет дифференциальному урав-
нению:

(ϕ

2

x

− c

2

)ϕ

xx

+ 2ϕ

x

ϕ

y

ϕ

xy

+ (ϕ

2

y

− c

2

)ϕ

yy

= 0

(5.13)

Величину c

2

= c

2

(ρ, s

0

) можно выразить через |∇ϕ|

2

с помощью инте-

грала Бернулли (5.2).

Если течение дозвуковое (ϕ

2

x

+ ϕ

2

y

< c

2

), то уравнение (5.13) име-

ет эллиптический тип, если течение сверхзвуковое (ϕ

2

x

+ ϕ

2

y

> c

2

), то

уравнение (5.13) гиперболическое.

120

Введем функцию тока ψ с помощью равенств

ψ

x

= −ρv, ψ

y

= ρu.

Квазилинейное уравнение (5.13) можно преобразовать в линейное диф-
ференциальное уравнение, если в качестве независимых переменных
выбрать компоненты вектора скорости u, v либо q и θ (u = q cos θ, v =
q sin θ). Действительно, по определению ϕ и ψ

dx =

cos θ

q

dϕ −

sin θ

ρq

dψ =

=



cos θ

q

ϕ

q

−

sin θ

ρq

ψ

q



dq +



cos θ

q

ϕ

θ

−

sin θ

ρq

ψ

θ



dθ;

dy =

sin θ

q

dϕ +

cos θ

ρq

dψ =

=



sin θ

q

ϕ

q

+

cos θ

ρq

ψ

q



dq +



sin θ

q

ϕ

θ

+

cos θ

ρq

ψ

θ



dθ

(5.14)

Условия полных дифференциалов дают уравнения Чаплыгина:

ϕ

q

=

M

2

− 1

ρq

ψ

θ

, ϕ

θ

=

q
ρ

ψ

q

.

(5.15)

Исключение ϕ из системы (5.15) приводит к уравнению Чаплыгина для
функции тока:

1 − M

2

ρq

ψ

θθ

+

∂

∂q



q
ρ

ψ

q



= 0.

(5.16)

Уравнение (5.16) является линейным, коэффициенты в этом уравне-
нии, стоящие при производных неизвестной функции ψ, зависят только
от независимой переменной q.

Уравнение (5.16) допускает разделение переменных — на этом фак-

те основан метод Чаплыгина решения стационарных задач газовой ди-
намики.

Если решение уравнения (5.16) известно, то производные функции

ϕ, найденные с помощью (5.15), а также производные функции ψ под-
ставляются в (5.14). Интегрированием уравнений в полных диффе-
ренциалах (5.14) определяются функции x = x(q, θ), y = y(q, θ). Ес-
ли это отображение удается обратить, то определяется решение q =
q(x, y), θ = θ(x, y). Поэтому преобразование к переменным годогра-
фа применяется к тем задачам, решения которых взаимно однознач-
но отображают область определения решения плоскости x, y на неко-
торую область в плоскости годографа. Примером решения уравнений

121

(5.4), для которого нет указанной взаимной однозначности, является
простая волна: двумерной области определения простой волны в плос-
кости переменных x, y соответствует одномерное многообразие — кри-
вая (θ ± µ(q) = const).

Пример 5.5. Пусть известно частное решение ψ = aθ (a = const)

уравнения Чаплыгина (5.16). Построить картину течения в плоскости
(x, y).

Решение. Из уравнений (5.15) следует, что

ϕ

q

=

M

2

− 1

ρq

a, ϕ

θ

= 0.

С учетом этих равенств первое уравнение (5.14) можно представить в
виде

dx =

cos θ

ρq

2

(M

2

− 1)a dq −

sin θ

ρq

a dθ.

(5.17)

Из (5.17) следует, что

x

θ

= −a

sin θ

ρq

.

Интегрированием этого уравнения определяем

x = a

cos θ

ρq

+ x

0

(q)

(5.18)

(x

0

(q) — произвольная функция). Из (5.17) следует также, что

x

q

= a

cos θ

ρq

2

(M

2

− 1).

(5.19)

Если подставить x, заданный формулой (5.18), в уравнение (5.19) и
учесть следствие интеграла Бернулли

∂

∂q



1

ρq



=

M

2

− 1

ρq

2

,

(5.20)

получится равенство x

′

0

(q) = 0. Следовательно x

0

= const, а

x − x

0

=

a cos θ

ρq

.

Аналогично возникают соотношения

y − y

0

= a

sin θ

ρq

(y

0

= const);

y − y

0

x − x

0

= tg θ;

p

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

=

|a|

ρq

,

122

из которых следует, что линии тока — прямые, проходящие через точку
(x

0

, y

0

). Согласно (5.20), |a|/ρq монотонно зависит от q при M > 1,

либо при M < 1. В первом случае |a|/ρq монотонно возрастает при
возрастании q, а тогда и q монотонно возрастает с ростом |~x −~x

0

|. Если

|~x − ~x

0

| → ∞, то q → q

m

, а ρ → 0. Построенное решение определено

при

|a|

ρ

∗

c

∗

≤

p

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

< ∞.

(5.21)

В итоге найдено сверхзвуковое течение типа источника при a > 0 и
типа стока при a < 0.

Аналогичный анализ второго решения, соответствующий неравен-

ству M < 1, показывает, что оно определено в области (5.21), q → 0 при
|~x − ~x

0

| → ∞. Это решение описывает дозвуковое течение типа источ-

ника или стока. Величина 2π|a| = 2πρq

p

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

задает

расход газа в источнике (стоке).

Уравнение Чаплыгина (5.16) с помощью замены переменных

σ = g

c

∗

Z

q

ρ
q

dq, g = const,

преобразуется к следующему виду:

K(σ)ψ

θθ

+ ψ

σσ

= 0.

(5.22)

Здесь K(σ) = (1 − M

2

)/ρ

2

g

2

, постоянная g выбирается из условия

K

′

(0) = 1.

Околозвуковые течения характеризуются неравенством |M −1| ≪ 1.

Звуковой линией называется кривая на плоскости (x, y), вдоль которой
M = 1. Важное качественное свойство околозвуковых течений связано
с поведением вектора скорости на звуковой линии: если при перемеще-
нии вдоль звуковой линии область дозвукового течения остается слева,
то вектор скорости монотонно поворачивается по часовой стрелке (тео-
рема А. А. Никольского, Г. И. Таганова).

При моделировании околозвуковых течений часто используется сле-

дующая аппроксимация функции K : K(σ) ∼

= σ. Возникающее при

этой аппроксимации уравнение

σψ

θθ

+ ψ

σσ

= 0

(5.23)

называется уравнением Трикоми. Уравнение (5.23) используется для
приближенного описания поведения околозвуковых течений в окрест-
ности звуковой линии.

123