Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 29

p

p

Рис. 5.4

Ударная поляра звездна относительно точки A, угол поворота век-

тора скорости e

θ не превышает значения θ

max

< π/2.

Из соотношений (5.7) можно получить связь между давлением p за

скачком уплотнения и углом поворота вектора скорости e

θ = θ −θ

1

. Для

этого нужно использовать следствия (5.7):

|v − v

1

|

2

= (p − p

1

)(τ

1

− τ),

q

2

= q

2

1

− (p − p

1

)(τ

1

+ τ )

(5.11a)

и уравнение адиабаты Гюгонио τ = τ (p, τ

1

, p

1

).

В результате получается уравнение кривой на плоскости θ, p —

(θ, p)-диаграммы косых скачков уплотнения:

θ − θ

1

= ± arcsin



(p − p

1

)(τ

1

− τ − τ

2

1

q

−2

1

(p − p

1

))

q

2

1

− (p − p

1

)(τ

1

+ τ )



1/2

.

(5.11)

Вид этой кривой в случае политропного уравнения состояния изобра-
жен на рис. 5.4. Знаки “±” соответствуют правой и левой ветвям кри-
вой, симметричной относительно прямой θ = θ

1

. Максимальное значе-

ние p на (θ, p)-диаграмме достигается при прямом скачке уплотнения,
когда θ = θ

1

.

Рассмотрим вектор σ, касательный к ударному фронту, такой что

σ

·v

1

≥ 0. Введем χ−θ

1

— угол между векторами v

1

и σ (|χ−θ

2

| < π/2).

Знак χ − θ

1

совпадает со знаком θ − θ

1

в силу равенства, следующего

из соотношений (5.7):

ctg(χ − θ

1

) = tg(θ − θ

1

) τ

−1

1

q

1

(p − p

1

)

−1

− 1

.

(5.12)

116

ударные
волны

,

обращенные
вправо

ударные
волны

,

обращенные
влево

простые

волны

простые

волны

p

p

Рис. 5.5

Совпадение знаков χ − θ

2

и χ − θ

1

следует из закона сохранения массы

на разрыве:

ρ

1

q

1

sin(χ − θ

1

) = ρ

1

q

2

sin(χ − θ

2

)

Будем называть скачки уплотнения, на которых выполняется неравен-
ство χ − θ > 0, обращенными вправо (соответственно при χ − θ < 0
— обращенными влево). Учитывая сказанное выше, знак “+” в (5.11)
соответствует скачкам, обращенным вправо, знак “−” — обращенным
влево. С помощью (θ, p) — диаграмм ударных и простых волн можно
построить общую (θ, p) — диаграмму переходов заданного состояния
“1” в другие состояния (рис. 5.5).

Верхняя часть диаграммы (p ≥ p

1

) отвечает переходам с помощью

ударных волн, нижняя (p ≤ p

1

) описывает переходы с помощью про-

стых центрированных волн. Диаграмма “a” определяет переходы, об-
ращенные вправо, диаграмма “б” — переходы, обращенные влево. С
помощью этих диаграмм можно строить решения задач о взаимодей-
ствии косых скачков уплотнения по аналогии с построением решения
задачи о распаде произвольного разрыва методом (u, p) — диаграмм.
Точка пересечения двух (θ, p)-диаграмм, обращенных в разные сторо-
ны, соответствует переходу заданных состояний в состояния, которые
можно связать соотношениями на контактном разрыве [p] = 0, [θ] = 0.

Пример 5.3. Построить решение задачи обтекания бесконечного

клина угла раствора 2β, расположенного симметрично относительно
оси Ox (рис. 5.6), равномерным сверхзвуковым потоком политропного
газа с параметрами v = v

1

= (q

1

, 0), p = p

1

, ρ = ρ

1

(q

1

> c

1

).

Решение. Условие непротекания на стенках клина можно предста-

117

Рис. 5.6

вить в виде

θ





y=x tg β

= β, θ





y=−x tg β

= −β.

Так как задача инвариантна относительно равномерных растяжений
независимых переменных x → ax, y → ay (a — параметр растяжения),
решение ее будем искать в классе автомодельных решений (зависящих
от

y
x

) уравнений газовой динамики. В силу того, что набегающий по-

ток сверхзвуковой, возмущения этого потока будут распространяться
только в область x > 0. Очевидно, что фронты ударных (или центри-
рованных) волн должны располагаться при y > 0 так, что χ − θ > 0, а
при y < 0 так, что χ − θ < 0. Рассмотрим (θ, p)-диаграмму переходов,
обращенных вправо (рис. 5.5,а). Точки пересечения прямой θ = β и
(θ, p)-диаграммы должны определять состояние за волной, возникаю-
щей при обтекании. Из свойств (θ, p)-диаграммы следует, что таких то-
чек две (2 и 2

∗

). Нижняя точка отвечает “слабому” скачку уплотнения,

верхняя — “сильному”. В качестве решения принято выбирать состо-
яние, отвечающее минимальному значению p (p = p

2

), что согласует-

ся с экспериментальными данными и теоретическими результатами по
устойчивости таких течений. После определения p

2

с помощью уравне-

ния адиабаты Гюгонио определяется величина ρ

2

; соотношение (5.11a)

определяет q

2

, при этом v

2

= q

2

(cos β, sin β). Угол наклона фронта ко-

сого скачка уплотнения χ определяется из соотношения (5.12). Анало-
гичным образом определяются параметры течения за скачком уплот-
нения, обращенным влево (на нижней стороне клина). Таким образом,
при сверхзвуковом обтекании клина образуются два скачка уплотне-
ния, за которыми потоки равномерные.

Замечание. Приведенное выше построение возможно в том случае,

118

Рис. 5.7

когда β < θ

max

. Если β > θ

max

, то автомодельного решения задача об-

текания не имеет. При сверхзвуковом обтекании конечного клина с уг-
лом раствора 2β > 2θ

max

и при обтекании затупленного тела возникает

течение с отошедшим скачком уплотнения (рис. 5.7).

Скачки уплотнения, изображенные на рис. 5.6, называют присоеди-

ненными. В случае обтекания симметричного затупленного тела рав-
номерным потоком, направленным вдоль оси симметрии, в точке пере-
сечения фронта и оси симметрии скачок будет прямым. При движении
вдоль фронта интенсивность скачка меняется, при этом всевозможные
значения θ, p за фронтом соответствуют различным точкам кривой на
рис. 5.4. Построение решений с отошедшими скачками уплотнения сво-
дится к достаточно сложной задаче с неизвестной границей (фронтом
скачка).

Задача о взаимодействии косых скачков уплотнения возникает при

сверхзвуковом обтекании двух клиньев (рис. 5.8). Фронты косых скач-
ков уплотнения AO и BO, возникших при обтекании каждого клина,
пересекаются в точке 0.

Пример 5.4. Пусть заданы прямолинейные фронты взаимодей-

ствующих скачков уплотнения AO, BO; параметры сверхзвукового рав-
номерного течения в областях “0” , “1” , “2”. Требуется найти параметры
течения в окрестности точки 0 вниз по потоку.

Решение. Поместим начало координат в точку 0. Рассмотрим (θ, p)-

диаграмму переходов, обращенных вправо, для состояния “1” и (θ, p)-
диаграмму переходов, обращенных влево, для состояния “2” (рис. 5.9).
Пусть (θ

3

, p

3

) — точка пересечения указанных (θ, p)-диаграмм (p

3

—

наименьшее значение по сравнению со значениями давления в дру-
гих точках пересечения). Так как пересекаются ударные ветви (θ, p)-
диаграмм, при переходах из состояния “1” в “3

′

”, из состояния “2” в “3

′′

”

119