Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 27

Ответ:

λ = AU

−α



U −

α

γ



m

(a − U)

−n

;

R = B (α − U)

2

γ−2



U −

α

γ



2m(1−α)

α

(γ−1)

(a − U)

−

2n

1+(γ−2)α

,

(γ 6= 2);

R = B (α − U)

1−2α



U −

α

2



1−α

exp



2α(1 − α)

α − U



,

(γ = 2).

Здесь

a =

α

γ − 1 − α(γ − 2)

,

m =

α(γ − 1)

2(1 + α(γ − 2))

,

n = a



1 +

γm

α



− α;

A, B — произвольные постоянные.

108

5

Плоскопараллельные установившиеся дви-
жения

5.1

Интегралы уравнений движения, характеристи-
ки

Движение газа называется установившимся, если основные величины
v

, p, ρ не зависят от времени (в эйлеровой системе координат). Пло-

скопараллельное движение характеризуется независимостью основных
величин от одной из декартовых координат (например, от координаты
z) и равенством нулю проекции вектора скорости на соответствующую
координатную ось (w = 0). Уравнения газовой динамики, описываю-
щие этот класс движений, имеют вид

ρ(uu

x

+ vu

y

) + p

x

= 0, (ρu)

x

+ (ρv)

y

= 0,

ρ(uv

x

+ vv

y

) + p

y

= 0, us

x

+ vs

y

= 0, p = f (ρ, s).

(5.1)

В плоскопараллельном установившемся течении частицы движутся

вдоль линий тока, определяемых соотношением

dx

u

=

dy

v

.

Линии тока являются контактными характеристиками системы урав-
нений (5.1). Соотношения на контактных характеристиках можно про-
интегрировать. Это дает следующие интегралы:

s = s

0

, q

2

+ 2i(ρ, s

0

) = q

2

m

.

(5.2)

Здесь q

2

= u

2

+ v

2

, величины s

0

= s

0

(L), q

m

= q

m

(L) постоянные вдоль

линий тока (но принимают в общем случае разные значения на разных
линиях тока). Второе соотношение (5.2) называется интегралом Бер-
нулли. Входящую в интеграл Бернулли удельную энтальпию i можно
вычислить с помощью уравнения состояния:

i(ρ, s

0

) =

ρ

Z

0

c

2

(ρ

′

, s

0

)

ρ

′

dρ

′

=

ρ

Z

0

f

ρ

(ρ

′

, s

0

)

ρ

′

dρ

′

.

В случае политропного газа

i(ρ, s

0

) =

c

2

(ρ, s

0

)

γ − 1

.

109

Если движение безвихревое (ω = v

x

− u

y

= 0) и изэнтропическое (s

0

≡

const), то q

m

≡ const всюду в области течения. Критическая скорость

c

∗

определяется соотношениями

c

∗

= c(ρ

∗

, s

0

), c

2

(ρ

∗

, s

0

) + 2i(ρ

∗

, s

0

) = q

2

m

.

В общем случае c

∗

= c

∗

(L), но в изэнтропическом безвихревом течении

c

∗

≡ const. Равенство q = c влечет за собой равенство q = c

∗

.

Система уравнений (5.1) является гиперболической системой при

q > c (сверхзвуковое течение). В качестве направления гиперболично-
сти можно выбрать направление скорости v. Введем число Маха M ,
угол Маха α и угол наклона скорости θ, отсчитываемый от положи-
тельного направления оси x, соотношениями

M =

q
c

, sin α =

1

M

, v = (u, v) = q(cos θ, sin θ).

Звуковые характеристики C

±

при M > 1 определяются в соответствии

с общей теорией как интегральные кривые обыкновенных дифферен-
циальных уравнений:

C

+

:

dy
dx

= tg(θ + α), C

−

:

dy
dx

= tg(θ − α).

(5.3)

В случае безвихревого изэнтропического движения из (5.1) получаются
следующие уравнения:

(u

2

− c

2

)u

x

+ 2uvu

y

+ (v

2

− c

2

)v

y

= 0, u

y

− v

x

= 0.

(5.4)

Величина c

2

= c

2

(ρ, s

0

) может быть выражена через q из интеграла

Бернулли (5.2). Для сверхзвукового течения соотношения на звуковых
характеристиках (5.3) получаются из уравнений (5.4) известным спо-
собом (см. разд. 3). Эти соотношения имеют вид

∂r

∂x

+ tg(θ + α)

∂r
∂y

= 0,

∂l

∂x

+ tg(θ − α)

∂l

∂y

= 0.

(5.4a)

Инварианты Римана r, l заданы формулами

r = θ − µ(q), l = θ + µ(q)

µ(q) =

q

Z

c

∗

p

M

2

− 1

dq

′

q

′

.

(5.5)

110

В случае политропного газа

µ(q) =

r

γ + 1
γ − 1

arctg

r

γ − 1
γ + 1

(M

2

− 1) − arctg

p

M

2

− 1.

Для дозвукового течения (M < 1) уравнения (5.4) имеют эллиптиче-
ский тип.

5.2

Простые волны

Система уравнений (5.4) при M > 1 имеет решение в виде простых
волн u = u(λ(x, y)), v = v(λ(x, y)). Невырожденные простые волны под-
разделяются на два типа: r−волны (решения с постоянным инвариан-
том Римана r) и l-волны (решения с постоянным инвариантом Римана
l). В простой r (l)-волне характеристики семейства C

−

(C

+

) образу-

ют семейство прямых на плоскости x, y. Если в установившемся пло-
скопараллельном безвихревом течении основные величины постоянны
вдоль звуковой характеристики C

+

(C

−

), то решение уравнений (5.4) в

окрестности этой характеристики либо постоянно, либо является про-
стой l (r)-волной. В частности, непостоянное решение, примыкающее к
постоянному по звуковой характеристике, является простой волной. В
классе простых волн уравнения (5.1) интегрируются и соотношения

r = θ − µ(q) = r

0

, y = x tg(θ − α) + f(θ);

(5.6a)

l = θ + µ(q) = l

0

, y = x tg(θ + α) + f (θ)

(5.6б)

определяют соответственно r и l-волны. Здесь r

0

, l

0

— произвольные

постоянные, f (θ) — произвольная функция. При решении конкретных
задач в классе простых волн вид функции f определяется заданными
граничными условиями.

Пример 5.1. Равномерный сверхзвуковой поток движется вдоль

прямолинейного участка жесткой стенки, форма которой задана урав-
нением

y =

0,

x < 0;

−h(x),

x ≥ 0,

(h(0) = h

′

(0) = 0; h(x) > 0, h

′

(x) > 0, x 6= 0). Построить решение

задачи обтекания изогнутого участка стенки, если известны параметры
набегающего потока.

Решение. Решение задачи в окрестности стенки ищем в классе

непрерывных движений. Тогда течение будет изэнтропическим и без-
вихревым в силу того, что набегающий поток изэнтропический и без-
вихревой. Заданные параметры определяют значение энтропии s =

111