Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 26

состояния газа по обе стороны от пластины после остановки и работу,
которую надо затратить на движение пластины. В начальном состоя-
нии заданы давление газа p

0

, плотность ρ

0

и температура T

0

.

Ответ:

ρ

+

=

4
3

ρ

0

,

p

+

= 5 p

0

,

T

+

=

15

4

T

0

;

ρ

−

=

4
5

ρ

0

,

p

−

=

127
160

p

0

,

T

−

=

127
128

T

0

;

A =

351
256

p

0

F L.

4.55. В условиях предыдущей задачи пластина пролетает расстоя-

ние 0, 25 L не с постоянной скоростью V , а равноускоренно с ускорением
c

2

0

/(2L). Дать качественное описание движения газа и определить рав-

новесные состояния в каждой из частей ампулы после ее остановки.
Вычислить работу, затраченную на движение пластины.

Ответ:

ρ

+

=

4
3

ρ

0

,

p

+

=

59
20

p

0

,

T

+

=

177

80

T

0

;

ρ

−

=

4
5

ρ

0

,

p

−

= 0, 67 p

0

,

T

−

=

67
80

T

0

;

A =

21
40

p

0

F L.

4.56. Вывести формулы для решения задачи о распаде произволь-

ного разрыва

(u, p, ρ)|

t=0

=







(u

0

, p

0

, ρ

0

),

x < 0;

(u

1

, p

1

, ρ

1

),

x > 0;

(u

i

, p

i

, ρ

i

— const)

в акустическом приближении

|p

1

−p

0

|

p

0

≪ 1,

|u

1

−u

0

|

|u

0

|

≪ 1

.

Указание: использовать линейные аппроксимации (u, p)-диаграмм

и адиабат Гюгонио и Пуассона.

Ответ:

(u, p, ρ)





t>0

=































(u

0

, p

0

, ρ

0

), −∞ < x < (u

0

− c

0

)t;

(u

2

, p

2

, ρ

2

), (u

0

− c

0

)t < x < u

2

t;

(u

2

, p

2

, ρ

3

), u

2

t < x < (u

1

+ c

1

)t;

(u

1

, p

1

, ρ

1

), (u

1

+ c

1

)t < x < ∞,

104

где c

0

, c

1

— скорости звука в газах “0” и “1”,

u

2

=

p

0

− p

1

+ ρ

0

c

0

u

0

+ ρ

1

c

1

u

1

ρ

1

c

1

+ ρ

0

c

0

,

p

2

=

ρ

1

c

1

p

0

+ ρ

0

c

0

p

1

+ ρ

0

c

0

ρ

1

c

1

(u

0

− u

1

)

ρ

1

c

1

+ ρ

0

c

0

,

ρ

2

= ρ

0

+

p

2

− p

0

c

2

0

,

ρ

3

= ρ

1

+

p

2

− p

1

c

2

1

.

4.57. Показать, что при взаимодействии двух слабых волн алгебра-

ическая сумма амплитуд до и после взаимодействия сохраняется с точ-
ностью до малых более высокого порядка по сравнению с амплитудами
исходных волн. (Амплитуда ударной волны считается положительной,
а волны разрежения — отрицательной.)

4.58. Слабая ударная волна, распространяющаяся по покоящемуся

газу “0” с параметрами p

0

, ρ

0

, c

0

, падает на границу контакта этого

газа с покоящимся газом “1”, имеющим параметры p

0

, ρ

1

, c

1

. Показать,

что при ρ

0

c

0

> ρ

1

c

1

по газу “0” после взаимодействия пойдет волна

разрежения, а при ρ

0

c

0

< ρ

1

c

1

— ударная волна.

4.59. Показать, что амплитуда волны разрежения, возникающей

при взаимодействии двух слабых ударных волн, есть малая величина
более высокого порядка по сравнению с амплитудами исходных волн.

4.60. В прямолинейную трубу, заполненную при t = 0 покоящимся

политропным газом (γ = 3), вдвигается поршень по закону

x =







εc

0

t,

0 < t 6 t

0

;

εc

0

t

0

, t

0

< t < ∞.

Здесь c

0

— скорость звука в покоящемся газе, t

0

> 0 — постоянная.

Предполагая ε ≪ 1, найти закон движения ударной волны.

Указание: использовать приближенные соотношения (4.65) асимп-

тотической теории затухания ударных волн.

Ответ:

x =



















(1 + ε)c

0

t,

0 < t 6

1 + ε

ε

t

0

;

c

0

t

0

"

ε +

t

t

0

− 1 + 2

√

ε



t

t

0

− 1



1/2

#

,

1 + ε

ε

t

0

< t < ∞.

4.61. Плоский поршень вдвигается в покоящийся политропный газ,

105

заполняющий при t = 0 область 0 < x < ∞ по закону

x =























−

2

γ − 1

c

0

t +

γ + 1
γ − 1

c

0

t

0



1 +

γ − 1

2

ε

 "

1 +

t

t

0



2

γ

+1

− 1

#

, t 6 t

1

;

c

0

t

0

"

1 +

γ − 1

2

ε



γ

+1

γ−1

− 1 −

γ + 1

2

ε

#

,

t > t

1

.

Здесь c

0

— скорость звука в покоящемся газе, t

0

, ε — положительные

постоянные, t

1

определяется формулой

t

1

t

0

=



1 +

γ − 1

2

ε



γ

+1

γ−1

− 1.

Предполагая ε ≪ 1, найти с точностью до O(ε

2

) закон движения удар-

ной волны.

Ответ: x = c

0

t +

γ+1

2

c

0

t

0

ε

p

1 + t/t

0

− 1



.

4.62. В начальный момент времени t = 0 покоящийся политропный

газ заполнял область вне цилиндрического поршня радиуса R

0

. При

t > 0 поршень вдвигается в газ по закону x = R

0

1 + t/t

0

2/3

,

t

0

=

2R

0

/(3εc

0

). Здесь c

0

— скорость звука в покоящемся газе, ε > 0 —

постоянная. Предполагая ε ≪ 1, найти с точностью до O(ε

2

) закон

движения ударной волны, распространяющейся по газу.

Указание: использовать соотношения (4.65) при ν = 1.
Ответ:

x = R

0

+ c

0

t +

γ + 1

2

εR

0

r

c

0

R

0

t + 1 − 1



.

4.63. Показать, что законы сохранения массы и энергии в одномер-

ных движениях газа с плоскими (ν = 0), цилиндрическими (ν = 1) и
сферическими (ν = 2) волнами для произвольно меняющегося со вре-
менем объема x

1

(t) 6 x 6 x

2

(t) имеют вид

d

dt

x

2

(t)

Z

x

1

(t)

ρx

ν

dx +



ρx

ν



u −

dx

dt



2

1

= 0,

d

dt

x

2

(t)

Z

x

1

(t)

ρ



1
2

u

2

+ ε



x

ν

dx +



ρ



1
2

u

2

+ ε



x

ν



u −

dx

dt



+ px

ν

u



2

1

= 0,

где символ [f (x, t)]

2
1

обозначает разность f (x

2

, t) − f(x

1

, t).

106

4.64. Показать, что закон сохранения импульса для одномерных

движений газа в случае произвольно меняющегося со временем объема
x

1

(t) 6 x 6 x

2

(t) имеет вид

d

dt

x

2

(t)

Z

x

1

(t)

ρux

ν

dx +



ρux

ν



u −

dx

dt



+ px

ν



2

1

= ν

x

2

(t)

Z

x

1

(t)

px

ν−1

dx,

где [f (x, t)]

2
1

= f (x

2

, t) − f(x

1

, t).

4.65. Вывести законы сохранения (4.63) (см. разд. 4.4) для автомо-

дельных движений политропного газа.

Указание: использовать задачи 4.63 и 4.64.
4.66. Построить решение задачи о сильном точечном разрыве в по-

литропном газе с γ = 7 (одномерное движение со сферическими волна-
ми).

Ответ: движение за ударной волной при 0 < x < λ

ф

t

2/5

описыва-

ется формулами

u = 0, 1

x

t

,

ρ =

4
3

ρ

1

λ

ф

x

t

2/5

,

p = 0, 04

ρ

1

λ

ф

x

3

t

2,4

,

где

λ

ф

=



450

E

0

ρ

1



1/5

≈ 3, 4



E

0

ρ

1



1/5

,

E

0

— энергия, выделившаяся при взрыве.
4.67. Рассматривается одномерное движение газа при сильном взры-

ве. Показать, что скорость газа u, давление p и плотность ρ на фронте
ударной волны изменяются с расстоянием x

ф

, пройденным ударной

волной, в соответствии с формулами

u = A

1

x

−(ν+1)/2
ф

,

p = A

2

x

−(ν+1)
ф

,

ρ =

γ + 1
γ − 1

ρ

1

.

Здесь ρ

1

— плотность газа перед фронтом ударной волны, ν — параметр

геометрии движения (ν = 0, 1, 2), A

1

и A

2

— некоторые постоянные.

4.68. Проинтегрировать уравнения (4.62) для случая, отвечающего

постановке задачи и сильном взрыве (β = 0, (ν + 3)α − 2 = 0).

107