Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 25

разованы к виду

p − p

0

γp

0

= M

r

1 +

(γ + 1)

2

16

M

2

+

γ + 1

4

M

2

,

p

p

0

=



1 −

γ − 1

2

M



2γ/(γ−1)

.

Здесь M =

|u−u

0

|

c

0

, c

0

— скорость звука перед волной.

4.35. Показать, что если при отражении простой волны от жесткой

стенки возникает простая волна, то падающая и отраженная волны яв-
ляются одновременно либо волнами сжатия, либо волнами разрежения.

4.36. Плоский поршень, вдвигающийся с постоянной скоростью в

покоящийся газ, мгновенно останавливается. Используя метод (u, p)-
диаграмм, дать качественное описание движения газа и построить кар-
тину движения на плоскости (x, t).

4.37. В условиях предыдущей задачи показать, что в политропном

газе давление на поршне после его остановки всегда положительно (газ
не отрывается от поршня).

4.38. Идущая по покою ударная волна догоняет (встречает) про-

стую волну разрежения. Дать качественное описание процесса взаимо-
действия этих волн и выяснить, будет ударная волна ускоряться или
замедляться.

4.39. Ударная волна, распространяющаяся по покоящемуся полит-

ропному газу с параметрами p = p

0

, ρ = ρ

0

, достигает границы (пе-

регородки) газа с вакуумом. В момент выхода перегородка мгновенно
разрушается. Найти последующее движение газа и скорость истечения
газа в вакуум.

Ответ: течение описывается центрированной волной разрежения,

u

в

= u

1

+

2

γ−1

c

1

(u

в

— скорость разлета газа в вакуум, u

1

— скорость

газа, c

1

— скорость звука за ударной волной).

4.40. Рассматривается задача о распаде произвольного разрыва

(газ политропный):

(u, p, τ )|

t=0

=

(

(u

0

, p

0

, τ

0

), x < 0;

(u

1

, p

1

, τ

1

), x > 0;

(u

i

, p

i

, τ

i

) — const.

Найти условия, которым должны удовлетворять начальные данные,
для того чтобы возникли следующие конфигурации распада разрыва:

(А): в один газ идет ударная волна, в другой — волна разрежения;

(Б): в оба газа идут ударные волны;

100

(В): в оба газа идут волны разрежения;

Указание: без ограничения общности можно считать p

0

>

p

1

и

u

1

= 0 (преобразование Галилея).

Ответ:

(А): −

2

γ − 1

√

γp

0

τ

0

 

1 −



p

1

p

0



(γ−1)/(2γ)

!

< u

0

<

< (p

0

− p

1

)

√

2τ

1

(γ + 1)p

0

+ (γ − 1)p

1

−1/2

;

(Б): (p

0

− p

1

)

√

2τ

1

(γ + 1)p

0

+ (γ − 1)p

1

−1/2

< u

0

< ∞;

(В): −∞ < u

0

< −

2

γ − 1

√

γp

0

τ

0

 

1 −



p

1

p

0



(γ−1)/(2γ)

!

.

4.41. Построить графики распределения основных величин (u, p,

ρ, s) как функций x для некоторого момента времени t > 0 при рас-
паде произвольного разрыва в случае реализации конфигурации (А)
задачи 4.40.

4.42. Построить графики распределения основных величин (u, p, ρ,

s) для некоторого момента времени t > 0 при распаде произвольного
разрыва в случае конфигураций (Б) и (В) задачи 4.40.

4.43. Рассматривается задача о распаде разрыва (газ политропный,

γ = 5/3):

(u, p, ρ)





t=0

=







(c

1

/

√

5, 2p

1

, 3ρ

1

/2), x < 0;

(0, p

1

, ρ

1

),

x > 0.

Здесь p

1

, ρ

1

— постоянные, c

1

— начальная скорость звука справа от

разрыва. Предполагая известным коэффициент удельной теплоемкости
c

V

, найти распределение температуры T в газе при t > 0.

Ответ:

T =















2p

1

ρ

1

c

V

,

−∞ < x <

3

√

5

c

1

t;

1, 5p

1

ρ

1

c

V

,

3

√

5

c

1

t < x < ∞.

4.44. Рассматривается задача о распаде разрыва (газ политропный,

γ = 3):

(u, p, ρ)|

t=0

=







(−c

0

/2, p

0

, ρ

0

), x < 0;

(0, p

0

/8, ρ

1

),

x > 0.

101

Здесь p

0

, ρ

0

, ρ

1

— постоянные, c

0

— скорость звука в газе слева от

начального разрыва. Найти распределение плотности при t > 0.

Ответ:

ρ =























ρ

0

,

−∞ < x 6 −

3
2

c

0

t;

1
4

ρ

0



1 −

2x

c

0

t



, −

3
2

c

0

t < x < −

c

0

2

t;

1
2

ρ

0

,

−

c

0

2

t 6 x < 0;

ρ

1

,

0 < x < ∞.

4.45. Вычислить температуру, получаемую при столкновении двух

одинаковых политропных газов, двигавшихся навстречу друг другу со
скоростью u

0

. Скорость звука в газах c

0

, температура T

0

.

Ответ: T = T

0

H

γ + 1 − (γ − 1)H

(γ + 1)H − (γ − 1)

, где

H = 1 +

γ + 1

4

·

u

2

0

c

2

0

−

s

(γ + 1)

2

16

·

u

4

0

c

4

0

+

u

2

0

c

2

0

.

4.46. Плоский поршень вдвигается в трубу, заполненную покоя-

щимся политропным газом (γ = 3), со скоростью

3
4

c

0

, где c

0

— скорость

звука в покоящемся газе. Найти скорость ударной волны, распростра-
няющейся по газу.

Ответ: D = 2c

0

.

4.47. Доказать, что в политропном газе при взаимодействии двух

ударных волн, идущих навстречу друг другу, всегда образуются две
ударные волны.

4.48. Ударная волна падает на контактный разрыв, разделяющий

два состояния покоя политропного газа. Показать, что при определен-
ных условиях контактный разрыв после взаимодействия с ударной вол-
ной может исчезнуть.

4.49. В бесконечной прямолинейной трубе заданы два равновесных

состояния покоя “1” и “2” одного и того же политропного газа, раз-
деленные контактным разрывом x = 0. По состояниям “1” и “2” со
скоростями D

1

и D

2

движутся навстречу друг другу ударные волны.

Фронты этих волн одновременно достигают сечения x = 0. Показать,
что при выполнении условия ρ

1

D

2

1

= ρ

2

D

2

2

(ρ

1

и ρ

2

— плотности газов

“1” и “2”) контактный разрыв останется неподвижным после взаимо-
действия ударных волн.

4.50. По покоящемуся газу, заполняющему при t 6 0 область x < 0,

движется с постоянной скоростью ударная волна. Скорость газа за
фронтом равна u

1

. В момент времени t = 0 ударная волна падает на

поршень, находящийся при t 6 0 в сечении x = 0. При t > 0 поршень

102

начинает двигаться с постоянной скоростью V . Выяснить возможные
режимы движения газа при t > 0 в зависимости от соотношений ско-
ростей V и u

1

и построить для каждого случая картину движения на

плоскости (x, t).

4.51. По полубесконечной трубе, заполненной покоящимся полит-

ропным газом с параметрами p = p

1

, ρ = ρ

1

движется ударная волна,

давление за которой равно p

2

(p

2

> p

1

). В некоторый момент времени

ударная волна достигает закрытого торца трубы и отражается от него.
Найти коэффициент усиления ударной волны k =

p

3

−p

1

p

2

−p

1

и отношение

плотностей ρ

3

/ρ

1

. Здесь p

3

, ρ

3

— давление и плотность газа на стенке

после отражения ударной волны.

Ответ:

k =

(3γ − 1)a + 4γ

(γ − 1)a + 2γ

,

ρ

3

ρ

1

=

γ(a + 1)(2γ + (γ + 1)a)

(γ + (γ − 1)a)(2γ + (γ − 1)a)

,

где a = (p

2

− p

1

)/p

1

.

4.52. В ствол пневматического ружья, один конец которого закрыт

пулей, начал вдвигаться поршень со скоростью V = 0, 5 c

0

(c

0

— ско-

рость звука в покоившемся в стволе воздухе). Найти время задержки
вылета пули, если известно, что она вылетает, как только давление на
нее превысит первоначальное в 5 раз. Длина ствола 0, 5 м, скорость
звука c

0

= 330 м/с, воздух считать политропным газом с γ = 1, 4.

Ответ: t

в

≈ 0, 002 с.

4.53. Закрытая с обоих торцов цилиндрическая ампула заполнена

воздухом с температурой T

0

= 0

◦

C и давлением p

0

= 1 атм. Ампуле

мгновенно сообщается в осевом направлении скорость V = 10 c

0

(c

0

—

скорость звука в начальном состоянии). После того как ампула про-
летает половину своей длину, она мгновенно останавливается. Пред-
полагая, что через некоторое время после остановки воздух в ампуле
приходит в равновесное состояние, найти давление и температуру в
этом состоянии. Воздух считать политропным газом с γ = 1, 4, ампулу
— нетеплопроводной.

Указание: найти работу, совершаемую над газом, и использовать

первый закон термодинамики.

Ответ: p

1

≈ 35 атм, T

1

≈ 9555 K.

4.54. Цилиндрическая ампула −L 6 x 6 L с площадью сечения F ,

заполненная покоящимся политропным газом (γ = 3), перегорожена в
сечении x = 0 нетеплопроводной непроницаемой пластиной. При t > 0
пластина мгновенно приобрела скорость V = 0, 75 c

0

(c

0

— скорость

звука в покоящемся газе) и остановилась после прохождения ею рас-
стояния 0, 25 L. Предполагая ампулу неподвижной, найти равновесные

103