Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 23

4.9. Плоский поршень, занимавший в момент времени t = 0 положе-

ние x = 0, выдвигается по закону x = −c

2

0

t

2

/L из трубы, заполненной

при x > 0 покоящимся политропным газом. Найти движение газа при
t > 0 и момент времени t

0

отрыва поршня от газа (c

0

— скорость звука

в покоящемся газе, L > 0 — постоянная).

Ответ:

u =

2

γ − 1

(c − c

0

);

t

0

=

L

(γ − 1)c

0

;

c =











































c

0

,

c

0

t 6 x < ∞;

c(x, t),

−

c

2

0

L

t

2

< x < c

0

t

(t 6 t

0

);

c(x, t),

L

(γ − 1)

2

−

2c

0

γ − 1

t 6 x < c

0

t

(t > t

0

);

0,

−∞ < x <

L

(γ − 1)

2

−

2c

0

γ − 1

t

(t > t

0

);

где

c(x, t) = c

0



1 −

γ − 1

2γ



1 +

γ + 1

L

c

0

t



+

+

γ − 1

2γ

r

1 +

γ + 1

L

c

0

t



2

−

4γ

L

(c

0

t − x)



.

4.10. В условиях предыдущей задачи поршень выдвигается из тру-

бы по закону

x = −V t −

c

2

0

L

t

2

,



0 < V <

2

γ − 1

c

0

, L > 0



,

где V , L — постоянные, c

0

— скорость звука в покоящемся газе. Найти

движение газа при t > 0 и момент времени t

0

отрыва поршня от газа.

Ответ:

u =

2

γ − 1

(c − c

0

);

t

0

=

L

c

0



1

γ − 1

−

V

2c

0



;

92

c =























































































c

0

,

c

0

t 6 x < ∞;

c

0

+

γ − 1
γ + 1

 x

t

− c

0



,



c

0

−

γ + 1

2

V



t 6 x < c

0

t;

c(x, t),

−V t −

c

2

0

L

t

2

< x <



c

0

−

γ + 1

2

V



t,

(t 6 t

0

);

c(x, t),

x

0

−

2c

0

γ − 1

(t − t

0

) 6 x <



c

0

−

γ + 1

2

V



t,

(t > t

0

);

0,

−∞ < x < x

0

−

2c

0

γ − 1

(t − t

0

) (t > t

0

).

Здесь

x

0

= −L

4c

2

0

− (γ − 1)

2

V

2

4c

2

0

(γ − 1)

2

,

c(x, t) = c

0



1 −

γ − 1

4γ



2 + (γ + 1)

V

c

0

+ 2

γ + 1

L

c

0

t



+

+

γ − 1

4γ

r

2 − (γ + 1)

V

c

0

+ 2

γ + 1

L

c

0

t



2

−

16γ

L



c

0

t − x −

γ + 1

2

V t



.

4.11. Поршень выдвигается из бесконечной трубы, заполненной при

0 < x < ∞ покоящимся политропным газом, по закону

x = X(t) ≡ −

2

γ − 1

c

0

t +

γ + 3
γ − 1

L



1 +

c

0

2L

t



2

γ

+1

− 1



(c

0

— скорость звука в покоящемся газе, L > 0 — постоянная). Найти

движение газа при t > 0.

Ответ:

u =

2

γ − 1

(c − c

0

);

c =



























c

0

,

c

0

t 6 x < ∞;

c

0

−

γ − 1
γ + 1



c

0

−

x

t



,

c

0

2

t 6 x < c

0

t;

c

0

−

γ − 1
γ + 1

c

0

c

0

t − x + L

c

0

t + 2L

, X(t) < x <

c

0

2

t.

4.12. Из покоящегося политропного газа, заполняющего при t = 0

93

область 0 < x < ∞, выдвигается по закону

x =















−

c

2

0

L

t

2

,

0 < t 6

L

2(γ − 1)c

0

≡ t

0

;

L

2(γ − 1)

2

−

3c

0

2(γ − 1)

t, t

0

< t < ∞

плоский поршень (c

0

— скорость звука в покоящемся газе, L > 0 —

постоянная). Найти движение газа при t > 0.

Ответ:

c = c

0

+

γ − 1

2

u;

u =























































0,

c

0

t 6 x < ∞;

U

1

(x, t),

−

c

2

0

L

t

2

< x < c

0

t

(t 6 t

0

);

U

1

(x, t),

X

1

(t) 6 x < c

0

t

(t > t

0

);

U

2

(x, t),

X

2

(t) 6 x < X

1

(t)

(t > t

0

);

−

3c

0

2(γ − 1)

,

L

2(γ − 1)

2

−

3c

0

2(γ − 1)

t < x < X

2

(t)

(t > t

0

),

где

U

1

(x, t) =

c

0

γ





s

1 +

γ + 1

L

c

0

t



2

−

4γ

L

(c

0

t − x) −



1 +

γ + 1

L

c

0

t





 ,

U

2

(x, t) = −

2c

0

γ + 1

+

4(γ − 1)

2

x + L

(γ

2

− 1) (2(γ − 1)c

0

t − L)

c

0

;

X

1

=

2 − γ

4(γ − 1)

2

L +

γ − 3

2(γ − 1)

c

0

t,

X

2

=

5 − γ

8(γ − 1)

2

L +

γ − 7

4(γ − 1)

c

0

t.

4.13. Найти скорость движения свободного поршня массы M в

неограниченной трубе с площадью сечения F под действием давления
расширяющегося политропного газа. В начальный момент времени газ
покоился (u = 0, c = c

0

, p = p

0

), на обратной стороне поршня давление

равно нулю во все моменты времени.

Ответ:

V =

2c

0

γ − 1

"

1 −



1 +

γ + 1

2c

0

F p

0

M

t



1−γ
γ

+1

#

.

94

4.14. Поршень, находившийся при t = 0 в сечении x = 0 прямоли-

нейной трубы, вдвигается при t > 0 в газ, первоначально покоившийся
в области 0 < x < ∞. Закон движения поршня таков, что все характе-
ристики семейства C

+

простой волны пересекаются в одной точке при

t = t

0

> 0. Найти закон движения поршня при t < t

0

.

Ответ:

x = c

0

t

0

"

1 +

2

γ − 1



1 −

t

t

0



−

γ + 1
γ − 1



1 −

t

t

0



2

γ

+1

#

,

где c

0

— скорость звука в покоящемся газе.

4.15. В момент времени t = 0 газ покоится в прямолинейной тру-

бе между двумя поршнями, отстоящими друг от друга на расстоянии
L. Показать, что путем выбора соответствующих законов движения
поршней газ между двумя поршнями можно за конечное время изэн-
тропически перевести в состояние покоя с наперед заданным значением
давления.

Указание: использовать одномерные течения в центрированных

волнах сжатия и разрежения.

4.16. В условиях предыдущей задачи найти работу A, которую надо

затратить на движение поршней, для того чтобы первоначальный объ-
ем политропного газа V

0

, находящийся под давлением p

0

, изэнтропиче-

ски перевести в равновесное состояние покоящегося газа с давлением
p

1

.

Ответ:

A =

p

0

V

0

γ − 1

 

p

1

p

0



γ−1

γ

− 1

!

.

4.17. Показать, что решение задачи о взаимодействии центриро-

ванных волн разрежения, распространяющихся навстречу друг другу,
определяется формулой

t = t

0

W (r, l; r

0

, l

0

).

Здесь t

0

— время начала взаимодействия волн, W (r, l; r

0

, l

0

) — функция

Римана, определенная в разделе 4.2 как решение задачи (4.26)–(4.27),
r и l — инварианты Римана, r

0

и l

0

— значения инвариантов Римана в

простых волнах.

4.18. Показать, что функция Римана W (r, l; r

0

, l

0

) для политропно-

го газа с γ = 5/3 дается формулой

W (r, l; r

0

, l

0

) =

r

0

− l

0

(r − l)

3

(r − l

0

)(r

0

− l) + (r

0

− r)(l − l

0

)

.

95