Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 21

“1”

“2”

“0”

“0”

p

p

p

p

Рис. 4.9

Рис. 4.10

Так как данная задача конически автомодельна, то конфигурация

волн, отвечающая (u, p)-диаграмме на рис. 4.9 будет такой, как на
рис. 4.10.

Давления p

1

и p

2

рассчитываются на основании уравнений (4.50) и

(4.49), описывающих кривые “0”–“1” и “0”–“2”. Для вычисления p

1

имеем

уравнение (4.50) при γ = 7/5, u

0

= 0, u = V :

25
16

c

2

0

=

2τ

0

p

0



p

1

p

0

− 1



2



7
5

+ 1



p

1

p

0

+



7
5

− 1

 =

25c

2

0

(p

1

/p

0

− 1)

2

7(6p

1

/p

0

+ 1)

.

Здесь использовано соотношение c

2

= γτ p. После элементарных пре-

образований для величины p

′

1

= p

1

/p

0

получим следующее квадратное

уравнение:

16(p

′

1

)

2

− 74p

′

1

+ 9 = 0.

Данное уравнение имеет два корня: 9/2 и 1/8. Поскольку p

′

1

должен

быть больше единицы, то для давления p

1

получим p

1

= 4, 5 p

0

.

Давление p

2

определяется из уравнения (4.49), написанного приме-

нительно к r-волне:

u − u

0

= −

2c

0

γ − 1

"

p

p

0



γ−1

2γ

− 1

#

.

84

Полагая здесь u

0

= 0, u = 5 c

0

/4, γ = 7/5, получим для отношения

p

′

2

= p

2

/p

0

следующее значение:

p

′

2

= (0, 75)

7

≈ 0, 13.

Таким образом, для приведения в движение поршня со скоростью V =
1, 25 c

0

к нему необходимо приложить силу

F = (p

1

− p

2

)S ≈ (4, 5 − 0, 13)p

0

S = 4, 37p

0

S.

Произведение силы F на скорость поршня V даст искомое значение
мощности W установки, способной осуществить это движение:

W = 4, 37 · S · p

0

· 1, 25



7
5

p

0

ρ

0



1/2

=

= 4, 37 · 10

−2

м

2

· 1, 013 · 10

5

Н

м

2

· 1, 25



1, 4

1, 013 · 10

5

1, 2



1/2

м

с

≈

≈ 1, 9 · 10

6

Вт = 1, 9 МВт.

Найдем плотности ρ

1

и ρ

2

в состояниях “1” и “2”, примыкающих к

поршню (см. рис. 4.10). Видно, что ρ

1

должно определяться из урав-

нения адиабаты Гюгонио с центром (τ

0

, p

0

), а ρ

2

— из уравнения изэн-

тропы, проходящей через эту же точку (τ

0

, p

0

). Следовательно,

ρ

1

ρ

0

=

(γ + 1)p

1

+ (γ − 1)p

0

(γ − 1)p

1

+ (γ + 1)p

0

=

(γ + 1)

p

1

p

0

+ γ − 1

(γ − 1)

p

1

p

0

+ γ + 1











γ

=1,4

p1

p0

=4,5

=

56
21

≈ 2, 7;

ρ

2

ρ

0

=



p

2

p

0



1/γ











γ

=1,4

p2

p0

=0,13

≈ 0, 23.

Итак, окончательно получим

p

1

= 4, 5 p

0

= 455850 Па,

ρ

1

= 2, 7 ρ

0

= 3, 24

кг

м

3

;

p

2

= 0, 13 p

0

= 13169 Па,

ρ

1

= 0, 23 ρ

0

= 0, 276

кг

м

3

.

4.4

Автомодельные течения газа. Законы затухания
ударных волн

Для одномерных движений газа с цилиндрическими (ν = 1) и сфери-
ческими (ν = 2) волнами условия на характеристиках (4.4) не интегри-
руются. Для таких движений класс задач, решение которых удается

85

построить в явной аналитической форме, оказывается довольно узким
в отличие от одномерных движений газа с плоскими (ν = 0) волнами.

При решении ряда важных прикладных задач могут быть исполь-

зованы так называемые автомодельные решения. Автомодельными ре-
шениями называются решения, инвариантные относительно преобразо-
ваний растяжения, допускаемых исходной системой уравнений. В част-
ности, легко проверить, что система уравнений (4.2) при ρc

2

= γp

(γ = const), т.е. для политропного газа, допускает трехпараметриче-
скую группу преобразований растяжения:

t

′

= at,

x

′

= abx,

u

′

= bu,

ρ

′

= cρ,

p

′

= cb

2

p.

(4.56)

В (4.56) a, b, c — произвольные вещественные числа, являющиеся пара-
метрами группы преобразований. Допустимость преобразований (4.56)
уравнениями (4.2) означает, что после перехода в (4.2) от переменных
(t, x, . . . , p) к переменным (t

′

, x

′

, . . . , p

′

) вид этих уравнений не изменя-

ется.

Положив в (4.56) b = a

α−1

, c = a

β

, где α, β — произвольные (но фик-

сированные) постоянные, получим следующую однопараметрическую
группу преобразований растяжений, допускаемую (4.2) при ρc

2

= γp:

t

′

= at,

x

′

= a

α

x,

u

′

= a

α−1

u,

ρ

′

= a

β

ρ,

p

′

= a

β+2α−2

p.

(4.57)

Автомодельные решения уравнений (4.2), инвариантные относительно
преобразований (4.57), могут быть представлены в виде

u

′

=

x

t

U (λ),

ρ

′

= t

β

R(λ),

p

′

= r

2

t

β−2

P (λ);

λ = xt

−α

,

(4.58)

где U , R, P — искомые функции. После подстановки (4.57) в (4.2) по-
лучим систему обыкновенных уравнений относительно функций U (λ),
R(λ), P (λ):

(U − α)λU

′

+

λ

R

P

′

− U + U

2

+ 2

P
R

= 0,

(U − α)λR

′

+ λRU

′

+ (β + µU )R = 0,

(U − α)λP

′

+ γλP U

′

+ ((µγ + 2)U + β − 2) P = 0,

(4.59)

где µ = 1 + ν.

Анализ этой системы показывает, что ее можно свести к одному

независимому уравнению и двум квадратурам. Независимое уравнение
выглядит следующим образом:

dZ

dU

=

Z

U − α

M

N

,

(4.60)

86

где

Z =

P
R

,

M =

h

2γU − (γ − 1)(2α + β) − 2

i

Z−

−(U − α)

h

(µ(γ − 1) + 3 − γ)U

2

+

+(γ − αµ(γ − 1) − 2α − 3)U + 2α

i

,

N = (µγU + 2α + β − 2)Z − (U − α)(U

2

− U).

(4.61)

По известной зависимости Z(U ) функции U (λ) и R(λ) находятся квад-
ратурами из уравнений

λ

dU

dλ

=

(µγU + 2α + β − 2)Z − (U − α)(U

2

− U)

(U − α)

2

− γZ

,

λ

R

dR

dλ

= −

λU

′

+ µU + β

U − α

.

(4.62)

Полезно отметить, что из интегральных законов сохранения мас-

сы, импульса и энергии применительно к объему λ

1

t

α

6

x 6 λ

2

t

α

для

автомодельных движений вытекают следующие интегральные соотно-
шения:

(β + α(ν + 1))

λ

2

R

λ

1

Rλ

ν

dλ = −



λ

ν+1

R(U − α)



2
1

,

(β + (ν + 2)α − 1)

λ

2

R

λ

1

RU λ

ν+1

dλ −

λ

2

R

λ

1

P λ

ν+1

dλ =

= −



λ

ν+2

(P + RU (U − α))



2
1

,

(β + (ν + 3)α − 2)

λ

2

R

λ

1



1
2

RU

2

+

1

γ−1

P



λ

ν+2

dλ =

= −

h

λ

ν+3

P U + (

1
2

RU

2

+

1

γ−1

P )(U − α)

i

2

1

.

(4.63)

Здесь [f (λ)]

2
1

= f (λ

2

) − f(λ

1

). Для определенных соотношений между

параметрами α, β и ν из (4.63) сразу получаются интегралы уравнений
(4.59). Например, при β+α(ν +3)−2 = 0 из последнего уравнения (4.63)
получаем такой интеграл уравнения (4.60):

ZU +



1
2

U

2

+

1

γ − 1

Z



(U − α) = 0.

(4.64)

Интеграл (4.64) позволяет получить в аналитической форме реше-

ние задачи о сильном взрыве. Постановка этой задачи такова: в по-
коящемся политропном газе с параметрами состояния p

1

, ρ

1

, заполня-

ющем все пространство R

3

, в момент времени t = 0 в точке x = 0

87