Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 20

которые и определяют качественное поведение кривых в случае нор-
мального газа (см. рис. 4.5).

(u, p)-диаграмма ударных волн с центром в точке (u

0

, p

0

) и задан-

ным значением τ

0

определяется уравнением

(u − u

0

)

2

= (p − p

0

)(τ

0

− τ

H

(p; τ

0

, p

0

)),

(4.48)

где τ = τ

H

(p; τ

0

, p

0

) — адиабата Гюгонио с центром в точке (τ

0

, p

0

).

На рис. 4.6 изображены (u, p)-диаграммы ударных волн, обращенных
вправо (У

П

), и ударных волн, обращенных влево (У

Л

), описываемых

уравнением (4.48). Легко устанавливается, что (u, p)-диаграммы про-
стых и ударных волн с общим центром (u

0

, p

0

) имеют в точке (u

0

, p

0

)

одинаковый наклон и одинаковую кривизну, т. е. имеют касание вто-
рого порядка.

Для политропного газа (u, p)-диаграмма простых волн с центром в

точке (u

0

, p

0

) описывается уравнением

(u − u

0

)

2

=

4γτ

0

p

0

(γ − 1)

2



p

p

0



γ−1

2γ

− 1



2

,

(4.49)

а (u, p)-диаграмма ударных волн с центром в этой же точке следующим
уравнением:

(u − u

0

)

2

=

2τ

0

(p − p

0

)

2

(γ + 1)p + (γ − 1)p

0

.

(4.50)

Одной из задач, эффективно решаемых методом (u, p)-диаграмм,

является задача о распаде произвольного разрыва, позволяющая в об-
щем случае определять вид решения в окрестности точек разрыва ис-
комых величин. Постановка задачи такова: в классе обобщенных дви-
жений газа с сильными разрывами найти при t > 0 решение, удовле-
творяющее следующим начальным условиям:

t = 0 :

(u, p, ρ) =

(

(u

1

, p

1

, ρ

1

),

x < 0;

(u

2

, p

2

, ρ

2

),

x > 0;

(4.51)

где u

1

, p

1

, ρ

1

, u

2

, p

2

, ρ

2

— заданные постоянные. При этом допускается,

что газ в состоянии “1” (x < 0) и газ в состоянии “2” (x > 0) имеют
разную физическую природу, т. е. их термодинамические состояния
описываются различными уравнениями.

Сформулированная задача является конически автомодельной, т. е.

инвариантной относительно следующего преобразования растяжения:

x

′

= ax,

t

′

= at,

u

′

= u,

p

′

= p,

ρ

′

= ρ,

(4.52)

80

где a — произвольное положительное число, являющееся параметром
преобразования. Инвариантность задачи относительно преобразования
(4.52) означает инвариантность начальных условий (4.51), уравнений
(4.2) (при ν = 0) и условий на сильных разрывах при преобразовании
(4.52).

Отличительным признаком конически автомодельной задачи явля-

ется задание начальных и граничных условий на лучах, выходящих из
одной точки, причем задаваемые величины на лучах должны быть по-
стоянными. В нашем случае данные задаются на лучах (t = 0, x < 0)
и (t = 0, x > 0), выходящих их точки x = t = 0.

Решение, инвариантное относительно следующего преобразования

растяжения (4.52), имеет вид

u = u(λ),

p = p(λ),

ρ = ρ(λ);

λ =

x

t

.

(4.53)

Так как для решения вида (4.53) искомые функции постоянны на каж-
дом луче λ = const, то область {t > 0, −∞ < x < ∞} может быть раз-
бита на секторы λ

1

< λ < λ

2

, внутри которых решение непрерывно,

а границы секторов являются линиями сильного или слабого разры-
ва. Заметим также, что непрерывное решение вида (4.53) может быть
либо постоянным, либо центрированной волной (r или l). Отсюда выте-
кает, что построение решения задачи о распаде произвольного разрыва
сводится к задаче о сопряжении постоянных решений и центрирован-
ных волн разрежения друг с другом непрерывным образом или через
контактные разрывы и ударные волны, распространяющиеся с посто-
янными скоростями.

Анализ возможных вариантов сопряжения показывает, что решение

задачи о распаде произвольного разрыва устроено следующим образом:
имеется один контактный разрыв, справа и слева от которого находится
по одной волне (ударной или волне разрежения), обращенных вправо
и влево соответственно. В частности, по состоянию “2” будет распро-
страняться волна, обращенная вправо, переводящая это состояние в
состояние “3

′

”, а по состоянию “1”−волна, обращенная влево, переводя-

щая “1” в состояние “3

′′

”. Поскольку состояния “3

′

” и “3

′′

” разделены

контактным разрывом, то должны выполняться равенства

p

3

′

= p

3

′′

= p

3

,

u

3

′

= u

3

′′

= u

3

.

Опишем метод решения задачи о распаде произвольного разрыва.

Суть его заключается в том, что точка (u

3

, p

3

) на плоскости (u, p) опи-

сывается как точка пересечения совмещенной (u, p)-диаграммы волн,

81

p

u

p

p

У

л

У

п

l-волна

p

r-волна

u

u

u

“1”

“2”

x

A

“3 ”

’

“3 ”

’’

Рис. 4.7

Рис. 4.8

обращенных вправо, с центром (u

2

, p

2

) и совмещенной (u, p)-диаграммы

волн, обращенных влево, с центром (u

1

, p

1

) (рис. 4.7). Под совмещенной

(u, p)-диаграммой с центром (u

0

, p

0

) понимается кривая, составленная

из (u, p)-диаграммы ударной волны при p > p

0

и (u, p)-диаграммы про-

стой волны при p

0

>

p > 0. Уравнения совмещенных (u, p)-диаграмм с

центрами в точках “1” и “2” (см. рис. 4.7) имеют вид

u = F

1

(p) ≡







u

1

−

p

(p − p

1

)(τ

1

− τ

H

1

(p; τ

1

, p

1

)),

∞ > p > p

1

;

u

1

− σ

1

(p; s

1

) + σ

1

(p

1

; s

1

),

0 6 p 6 p

2

;

u = F

2

(p) ≡







u

2

+

p

(p − p

1

)(τ

2

− τ

H

2

(p; τ

2

, p

2

)),

p

2

6

p < ∞;

u

2

+ σ

2

(p; s

2

) − σ

2

(p

2

; s

2

),

0 6 p 6 p

2

.

(4.54)

Уравнения (4.54) написаны в предположении, что газы в состояниях
“1” и “2” описываются различными уравнениями состояния.

После того как найдена точка пересечения кривых u = F

1

(p) и

u = F

2

(p), решение задачи о распаде произвольного разрыва мож-

но считать, в основном, завершенным. Действительно, пусть эта точ-
ка (u

3

, p

3

) расположена так, как это показано на рис. 4.7. Тогда кар-

тина движения на плоскости (x, t) изобразится следующим образом
(рис. 4.8). Луч OE задает уравнение движения контактного разрыва:
x = u

3

t. Состояние “2” переходит в “3” посредством ударной волны OA,

а состояние “1” в “3” посредством центрированной r-волны разрежения
COD. Величины τ

3

′

и τ

3

′′

могут быть вычислены из уравнений

p

3

= g

1

(τ

3

′′

, s

1

),

τ

3

′

= τ

H

2

(p

3

; τ

2

, p

2

).

82

В области COD решение находится из соотношений

u + σ

1

(p; s

1

) = u

1

+ σ

1

(p

1

; s

1

),

p = g

1

(τ, s

1

),

u − c =

x

t

.

Наконец, фронты OA, OC и OD волн определяются формулами

OC :

x = (u

1

− c

1

)t;

OD :

x = (u

3

− c

3

′′

)t;

OA :

x = D

2

t =

τ

2

u

3

− τ

3

′

u

2

τ

2

− τ

3

′

t.

(4.55)

В (4.55) скорость звука c

3

′′

в состоянии “3

′′

” определяется, очевидно,

уравнением

c

2

3

′′

= −τ

2

3

′′

∂g

1

(τ, s

1

)

∂τ









τ =τ

3′′

.

Метод (u, p)-диаграмм применяется при решении многих задач с

сильными разрывами. Его реализация особенно упрощается, если ис-
пользуется акустическое приближение при рассмотрении процессов, в
которых относительные значения скачков величин [p], [ρ], [u] малы. В
акустическом приближении кривые (u, p)-диаграмм заменяются пря-
мыми, являющимися касательными к этим кривым в центре. (u, p)-
диаграммы ударных и простых волн с центром в (u

0

, p

0

) в акустиче-

ском приближении описываются единым уравнением

(p − p

0

)

2

= ρ

2

0

c

2

0

(u − u

0

)

2

.

Пример 4.5. Бесконечная труба с площадью сечения S = 100 см

2

заполнена покоящимся воздухом с параметрами ρ

0

= 0, 012 г/см

3

, p

0

=

1 атм = 1, 013 · 10

5

Н/м

2

и разделена на две части невесомым нетеп-

лопроводным поршнем. Предполагая воздух политропным газом с γ =
1, 4, найти мощность установки, способной мгновенно сообщать порш-
ню скорость V = 1, 25 c

0

(c

0

— скорость звука в покоящемся воздухе) и

параметры воздуха на обеих сторонах поршня в процессе его движения
со скоростью V .

Решение. Пусть поршень движется по закону x = V t. Тогда по

состоянию “0” справа от поршня пойдет волна, обращенная вправо, а по
состоянию “0” слева от поршня — волна, обращенная влево. За этими
волнами должны реализовываться состояния с известной скоростью
u = V . На плоскости (u, p) соответствующие (u, p)-диаграммы этих
двух волн изображены кривыми “0”–“1” и “0”–“2” (рис. 4.9).

83