Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 18

семейства C

, выходящие из точек кривой OLE, задающей закон дви-

жения поршня, полностью определяются величиной λ = u + c, вычис-
ленной на поршне для всех моментов времени. Аналогично предыдуще-
му примеру для λ(t) = (u + c)(X(t), t) легко устанавливается формула

λ(t) =











γ + 1

′

(t),

0 < t ≤ t

;

γ + 1

′

(t),

< t < ∞.

(4.18)

Так как по условиям задачи X

′′

(t) ≤ 0, X

′′

(t) ≤ 0 и X

′

) < X

′

то функция λ(t) с ростом t не возрастает и в точке t

претерпевает

отрицательный скачок, т. е. λ(t

+ 0) < λ(t

− 0). Это означает, что

характеристики C

будут образовывать расходящийся в направлении

возрастания времени веер, т. е. будет реализовываться волна разреже-
ния. Условия X

′

(t) > −

γ−1

, X

′

(t) > −

γ−1

обеспечивают невозмож-

ность отрыва поршня от газа.

Рассмотрим характеристики LB и LC, выходящие из точки L, опре-

деляемые значениями λ(t

+ 0) и λ(t

− 0):

LB :

x − x

γ + 1

′

)

(t − t

);

LC :

x − x

γ + 1

′

)

(t − t

(4.19)

В областях AOLB и CLE решение определяется уравнениями l-волны
(4.8), где для каждой из областей найдется своя функция F (u) по-
средством удовлетворения граничному условию на поршне. Неопреде-
ленным останется решение только в треугольной области BLC. Легко
проверить, что центрированная волна разрежения с центром L обес-
печит непрерывное сопряжение решений в областях AOLB и CLE по
характеристикам LB и LC.

Действительно, данная l-волна Римана определяется уравнениями

u −

γ − 1

= −

γ − 1

u + c =

x − x

t − t

откуда находим

u =

γ + 1

x − x

t − t

− c

c =

γ − 1
γ + 1

x − x

t − t

γ − 1

(4.20)

Величины u и c, вычисленные по формулам (4.19), (4.20) на характе-

ристиках LB и LC, будут следующими:

= X

′

= c

γ − 1

′

);

= X

′

= c

γ − 1

′

Данные выражения и доказывают факт непрерывного сопряжения про-
стых волн в областях AOLB и CLE с центрированной волной разре-
жения в области BLC. Структура решения полностью определена.

4.2

Плоскость инвариантов Римана. Градиентная ка-
тастрофа

При отыскании решений системы (4.7), не являющихся простыми вол-
нами, иногда бывает целесообразно в качестве независимых перемен-
ных выбирать инварианты Римана r и l, а в качестве искомых функ-
ций координаты x и t. Эта перемена ролей зависимых и независимых
переменных оправдывается тем, что уравнения относительно величин
x = x(r, l) и t = t(r, l) оказываются линейными. В данном случае они
выглядят следующим образом:

∂x

∂l

− (u + c)

∂t
∂l

= 0,

∂x

∂r

− (u − c)

∂t

∂r

= 0.

(4.21)

Величины u, c связаны с независимыми переменным r, l формулами

u =

r + l

σ(c) =

r − l

(4.22)

Исключением x из (4.21) можно эту систему уравнений привести к

одному уравнению относительно функции t = t(r, l):

− H(r − l)(t

− t

) = 0,

(4.23)

где функция H(z) определяется формулами

z = 2σ(c);

H(z) =

1 + σ

′

(c)

4cσ

′

(c)

Для политропного газа H(z) имеет вид

H(z) =

β =

γ + 1

2(γ − 1)

(4.24)

Уравнение Дарбу (4.23) превращается в этом случае в уравнение Эйлера—
Пуассона:

−

r − l

− t

) = 0.

(4.25)

С использованием функции h = ρc уравнение (4.23) может быть пре-
образовано к самосопряженному виду:

(ht

)

+ (ht

)

= 0.

(4.26)

При решении ряда задач для уравнений (4.26) эффективным бывает

применение метода Римана, существенной частью которого является
отыскание функции Римана W (r, l; r

, l

). Задача об отыскании функ-

ции Римана W (r, l; r

, l

) для уравнения (4.26) формулируется следую-

щим образом. Найти решение уравнения (4.26), удовлетворяющее усло-
виям

W (r

, l; r

, l

) =

h(r

− l

)

h(r

− l)

W (r, l

; r

, l

) =

h(r

− l

)

h(r − l

)

(4.27)

Таким образом, функция W (r, l; r

, l

) является решением специализи-

рованной задачи Гурса для уравнения (4.26).

В случае политропного газа, т.е. для уравнения (4.25), функция Ри-

мана W (r, l; r

, l

) представима в следующем виде:

W (r, l; r

, l

) =

− l

)

2β

(r − l

)

− l)

β, β; 1;

− r)(l − l

(r − l

)(r

− l)

(4.28)

где F (a, b; c; z) — гипергеометрическая функция Гаусса, представимая
при |z| < 1 таким степенным рядом:

F (a, b; c; z) = 1 +

z +

a(a + 1)b(b + 1)

c(c + 1)

+ . . . +

a(a + 1) · · · (a + n − 1)b(b + 1) · · · (b + n − 1)

c(c + 1) · · · (c + n − 1)

+ . . . (4.29)

Если использовать формулу преобразования

F (β, β; 1; y) = (1 − y)

−β

β, 1 − β; 1;

y − 1

(4.30)

то легко видеть, что при целых положительных значениях β ряд (4.29)
обрывается и, следовательно, представляет собой некоторую элемен-
тарную функцию.

Нетрудно заметить, что функция Римана W (r, l; r

, l

) дает решение

задачи о взаимодействии двух центрированных волн разрежения r = r

и l = l

, идущих навстречу друг другу по одному и тому же состоянию.

Если t

— время начала взаимодействия волн, то решение такой задачи

будем описываться формулой

t = t

W (r, l; r

, l

(4.31)

Основной сложностью описанного метода решения является нахож-

дение обратного преобразования r = r(x, t), l = l(x, t) после того, как
построено решение задачи в виде t = t(r, l), x = x(r, l). Отметим, что
обратное преобразование существует не всегда, этим ограничивается
область применения метода.

Пример 4.3. Показать, что решение системы уравнений (4.21) мо-

жет быть представлено в виде

x − (u + c)t =

∂U

∂r

x − (u − c)t =

∂U

∂l

(4.32)

где функция U = U (r, l) удовлетворяет уравнению

− e

H(r − l)(U

− U

) = 0.

(4.33)

Здесь e

H(z) определяется формулами

z = 2σ(c),

H(z) =

′

− 1

4cσ

′

− 1

′

+ 1

H(z).

(4.34)

Решение. Пусть функция c = ec(z) является решением уравнения

z = 2σ(c). Тогда уравнения (4.21) можно переписать в виде

∂x

∂l

−

r + l

ec(r − l)

∂t

∂l

≡

∂

∂l

x −

r + l

+ t

− ec

′

= 0,

∂x

∂r

−

r + l

− ec(r − l)

∂t

∂r

≡

∂

∂r

x −

r + l

− ec

+ t

− ec

′

= 0.

(4.35)

содержание .. 16 17 18 19 ..