Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 17

Формулы (4.12) показывают, что на OLE наряду с u будет известна и
скорость звука c:

c|

OLE

=











c

0

−

γ − 1

2

V t

t

0

,

0 < t ≤ t

0

;

c

0

−

γ − 1

2

V,

t

0

< t < ∞.

(4.13)

Так как скорость звука не может быть отрицательной, то необходимо
различать два случая:

а) c

0

−

γ − 1

2

V ≥ 0;

б) c

0

−

γ − 1

2

V < 0.

Рассмотрим сначала случай (а). Так как на прямой LE величины

u и c постоянны, то между C

+

-характеристикой LB, выпущенной из

точки L, и прямой LE решение будет тождественно постоянным:

(BLE) : u = −V,

c = c

0

−

γ − 1

2

V.

При этом уравнение характеристики LB таково:

LB : x = −

V t

0

2

+



c

0

−

γ + 1

2

V



(t − t

0

).

Теперь рассмотрим вопрос построения решения в области AOLB,

занятой простой l-волной. Решение в этой области определяется соот-
ношениями (4.8), которые в нашем случае можно записать так:

c = c

0

+

γ − 1

2

u,

x −



c

0

+

γ + 1

2

u



t = F (u).

(4.14)

Функцию F (u) определим из граничного условия на OL. В точках кри-
вой OL второе уравнение системы (4.14) примет вид

−

V t

0

2

 t

t

0



2

−



c

0

−

γ + 1

2

V t

t

0



t = F (−V t/t

0

).

Отсюда определяем вид функции F (u):

F (u) =

t

0

V

 γ

2

u

2

+ c

0

u



.

68

Теперь из уравнения

t

0

V

 γ

2

u

2

+ c

0

u



= x −



c

0

+

γ + 1

2

u



t

находится искомая зависимость u = u(x, t):

u =

1

2γt

0

h

− (2c

0

t

0

+ (γ + 1)V t)+

+

p

(2c

0

t

0

+ (γ + 1)V t)

2

− 8γV t

0

(c

0

t − x)

i

.

(4.15)

Функция c = c(x, t) определяется, в силу (4.14), соотношением c =
c

0

+

γ−1

2

u(x, t).

Решение в случае (а): c

0

−

γ−1

2

V ≥ 0 построено. Если c

0

−

γ−1

2

V = 0,

то при t ≥ t

0

на поршне скорость звука равна нулю, а прямые LB и

LE совпадают.

Теперь рассмотрим случай (б): c

0

−

γ−1

2

V < 0. Определим время

t

∗

, когда на поршне впервые обратилась в нуль скорость звука. В силу

(4.13), это время равно

t

∗

=

2t

0

γ − 1

c

0

V

.

Положение поршня X(t

∗

) и скорость поршня X

′

(t

∗

) в этот момент были

следующими:

x

∗

= X(t

∗

) = −

V t

0

2

 t

∗

t

0



2

= −

2t

0

c

2

0

(γ − 1)

2

V

,

X

′

(t

∗

) = −

2c

0

γ − 1

.

Характеристика C

+

∗

, выходящая из точки (x

∗

, t

∗

), дается формулой

C

+

∗

:

x − x

∗

= (u(x

∗

, t

∗

) + c(x

∗

, t

∗

))(t − t

∗

) = −

2

γ − 1

c

0

(t − t

∗

).

Между этой характеристикой и поршнем при t > t

∗

находится область

вакуума (c = 0). Правее этой характеристики решение определяется
формулой (4.15) и соотношением c = c

0

+

γ−1

2

u(x, t).

Решение полностью построено. В ходе решения этой задачи нами

установлено также, что скорость u

k

истечения покоящегося политроп-

ного газа в вакуум дается формулой u

k

=

2

γ−1

c

0

.

Осуществляя в полученном решении предельный переход t

0

→ 0,

V ≡ const, можно получить решение задачи для следующего закона
движения поршня:

x = X

0

(t) ≡ −V t.

69

“0”

“1”

 

ва

куу

м

“0”

Рис. 4.2: V ≤ 2c

0

/(γ − 1)

Рис. 4.3: V > 2c

0

/(γ − 1)

Из уравнения характеристики LB и выражения (4.15) для функции

u(x, t) получим при t

0

→ 0 (V ≤

2c

0

γ−1

)

u =



























0,

c

0

t ≤ x < ∞;

2

γ + 1

 x

t

− c

0



,



c

0

−

γ + 1

2

V



t ≤ x < c

0

t;

−V,

−V t < x <



c

0

−

γ + 1

2

V



t;

c = c

0

+

γ − 1

2

u.

(4.16)

Для V >

2c

0

γ−1

предельное решение (t

0

→ 0) описывается формулами

u =











0,

c

0

t ≤ x < ∞;

2

γ + 1

x

t

− c

0



, −

2c

0

γ − 1

t ≤ x < c

0

t;

c = c

0

+

γ − 1

2

u.

(4.17)

Непосредственно из (4.16) и (4.17) видно, что при постоянной скорости
выдвижения поршня из трубы, заполненной покоящемся газом, реше-
ние описывается центрированной волной. На рис. 4.2 и 4.3 изображе-
ны картины в плоскости (x, t), отвечающие двух случаям выдвижения
поршня из газа с постоянной скоростью V .

Заметим, что в случае V >

2c

0

γ−1

решение вообще не зависит от V .

Это означает, что данное решение может рассматриваться, в частно-

70

Рис. 4.4

сти, как решение следующей задачи Коши с разрывными начальными
данными:

t = 0 (x > 0) :

u = 0,

c = c

0

;

t = 0 (x < 0) :

c = 0.

Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий использование цен-
трированных волн разрежения для разрешения особенностей решения,
возникающих из-за нарушения непрерывности в граничных условиях.

Пример 4.2. Пусть поршень, находящийся при t = 0 в сечении

x = 0, выдвигается из покоящегося политропного газа (0 < x < ∞) по
закону

x = X(t) =

(

X

1

(t),

0 < t ≤ t

0

;

X

2

(t),

t

0

< t < ∞,

причем функции X

1

(t) и X

2

(t) удовлетворяют следующим условиям:

X

1

(0) = X

′

1

(0) = 0,

−

2c

0

γ − 1

< X

′

1

(t) ≤ 0,

X

′′

1

(t) ≤ 0;

X

1

(t

0

) = X

2

(t

0

) = x

0

,

X

′

2

(t

0

) < X

′

1

(t

0

),

−

2c

0

γ − 1

< X

′

2

(t) < 0,

X

′′

2

(t) ≤ 0.

Дать качественное описание структуры решения данной задачи.

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, при x ≥ c

0

t реше-

нием будет u = 0, c = c

0

. Следовательно, к характеристике OA (рис.

4.4) будет примыкать простая волна. Прямолинейные характеристики

71