содержание .. 13 14 15 16 ..

Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 15

3.4. Показать, что функции

u =

t + t

v =

t + t

w =

t + t

ρ = ρ

t + t

S = S

;

p = A(S)ρ

A(S

) =

3ρ

удовлетворяют системе уравнений газовой динамики. Здесь t

, ρ

, S

— заданные положительные постоянные.

3.5. Найти уравнение контактной характеристики на решении, опре-

деляемом в условии задачи 3.4, если начальное положение характери-
стической поверхности задано уравнением x

+ y

− lz = 0.

Ответ: h(x, t) = x

+ y

− (t + t

)lzt

−1

= 0.

3.6. Найти уравнение звуковой характеристики C

−

на решении,

определяемом в условии задачи 3.4, если известно начальное положе-
ние характеристики h(x, 0) = x

+ y

− l

= 0, (l = const).

Ответ:

h(x, t) = x

+ y

− l

1 −

t + t

= 0.

3.7. Показать, что функции

u =

1
2

t + t

v = v

w = w

ρ =

t(t + t

)

p =

3ρ

удовлетворяют системе уравнений газовой динамики (t

, v

, w

, ρ

—

заданные постоянные, t

> 0, ρ

> 0, c

> 0).

3.8. Найти общее решение дифференциального уравнения для кон-

тактных характеристик на решении уравнений газовой динамики, опре-
деленном в условии предыдущей задачи.

Ответ: h(x, t) = h

t(t + t

)

, y −v

t, z −w

, h

— произвольная

функция.

3.9. Показать, что функции

u =

x + ay + bz

t + t

v = 0,

w = 0,

ρ = ρ

t + t

p =

3ρ

удовлетворяют системе уравнений газовой динамики (a, b, t

, ρ

, c

—

заданные постоянные, ρ

> 0, c

> 0, t

> 0).

3.10. Найти уравнение звуковой характеристики C

−

на решении,

определенном в условии задачи 3.9, если известно начальное положение
характеристики h(x, 0) = x + ay + bz − l = 0 (l = const).

Ответ: h(x, t) = x + ay + bz + c

√

1 + a

+ b

t − l(t + t

−1

= 0.

3.11. Найти характеристическую форму уравнений одномерного

движения с плоскими, сферическими, цилиндрическими волнами (см.
2.30).

3.12. Показать, что после введения новых искомых величин (инва-

риантов Римана)

r = u +

γ − 1

l = u −

γ − 1

система уравнений одномерного изэнтропического движения политроп-
ного газа с плоскими волнами преобразуется к виду

γ + 1

r +

3 − γ

= 0,

γ + 1

l +

3 − γ

= 0.

3.13. Начальные данные для системы уравнений изэнтропического

одномерного движения газа с плоскими волнами заданы в виде

u(x, 0) =

(

x ≥ a,

(x − a)(l + a − x)

−1

x < a.

c(x, 0) = c

(a = const, c

= const, l = const). Вычислить [u

] на характеристике

x = c

t + a в момент времени t, если известно, что при x > c

t + a

решение постоянно: u = 0, c = c

(газ политропный).

Ответ: [u

] = −c

2l +

γ+1

−1

3.14. Показать, что после замены искомых функций, указанной в

3.12, уравнения одномерного изэнтропического движения политропно-
го газа с цилиндрическими (ν = 1) и сферическими (ν = 2) волнами
преобразуются к виду

γ + 1

r +

3 − γ

= −

ν(r

− l

)(γ − 1)

γ + 1

l +

3 − γ

= −

ν(r

− l

)(γ − 1)

3.15. Начальные данные для системы уравнений изэнтропического

одномерного движения с цилиндрическими волнами те же, что в 3.13.
Вычислить [u

] на характеристике x = c

t + a в момент времени t, если

при x > c

t + a решение постоянно (газ политропный).

Ответ:

] = −

1
2

t + a

l + 2

−1

(γ + 1)(

a(c

t + a) − a)

3.16. Начальные данные для системы уравнений изэнтропического

одномерного движения со сферическими волнами те же, что в 3.13.
Вычислить [u

] на характеристике x = c

t + a в момент времени t, если

при x > c

t + a решение постоянно (газ политропный).

Ответ:

] =

2ac

t + a)(4l + (γ + 1)a ln[(c

t + a)a

−1

])

3.17. Показать, что слабый разрыв решения системы уравнений од-

номерных изэнтропических движений (ν = 0, 1, 2) не может возникнуть
либо исчезнуть до тех пор, пока решение и его первые производные
остаются ограниченными.

3.18. Доказать, что в одномерном движении политропного газа

с плоскими волнами на контактном разрыве выполнено соотношение
[u

] = 0.

3.19. В условиях задачи 3.18 показать, что если решение по обе

стороны контактного разрыва непрерывно дифференцируемо и [ρ] 6= 0
при t = 0, то [ρ] 6= 0 при t > 0.

3.20. Бихарактеристики, выпущенные из некоторой точки (~x

, t

)

в сторону t > t

(или t < t

), образуют характеристический конус,

который ограничивает область влияния точки (~x

, t

). Найти харак-

теристический конус для уравнений газовой динамики на постоянном
решении.

3.21. Найти общий вид решения уравнения контактных характери-

стик на решении уравнений газовой динамики

u = u

(y),

v = 0,

w = 0,

p = p

ρ = ρ

(y) — заданная функция, p

, ρ

— заданные положительные посто-

янные).

Ответ: h(x, t) = F (x − u

(y)t, y, z), F — произвольная функция.

3.22. Найти уравнение звуковой характеристики C

−

на решении

u = u

(y),

v = 0,

w = 0,

p = p

ρ = ρ

если начальное положение характеристики определено уравнением y

− l

= 0.

Ответ: y

+ z

= (l − c

3.23. Рассматривается задача Коши с кусочно-дифференцируемыми

начальными данными для системы уравнений одномерного движения
с плоскими волнами:

u(x, 0) = u

|x| + 2l

|x| + l

p(x, 0) = p

ρ(x, 0) = ρ

, p

, ρ

, l — постоянные. Показать, что в момент времени t = 0 на

характеристике C

−

, выходящей из начала координат, выполнены соот-

ношения [u

] = −u

−1

, [p

] = −ρ

−1

, [S

] = 0, где p

= f (ρ

, S

= f

(ρ

, S

3.24. Найти уравнения звуковых характеристик C

на постоянном

решении:

= 0,

p = p

ρ = ρ

если известно, что в момент времени t = 0 они проходят через по-
верхность Γ, образованную двумя полуплоскостями {x = −1, 0 ≤ y <
∞, −∞ < z < ∞}; {y = 1, 0 ≤ x < ∞, −∞ < z < ∞} и цилиндриче-
ской поверхностью {x

+ y

= 1, x ≤ 0, y ≤ 0, −∞ < z < ∞}.

содержание .. 13 14 15 16 ..