Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 14

Здесь χ = τ + uξ + vη + wζ. Равенство detA(ξ) = 0 выполнено, если

τ + uξ + vη + wζ = 0

или

τ + uξ + vη + wζ = ∓c

p

ξ

2

+ η

2

+ ζ

2

.

Система уравнений газовой динамики — гиперболическая система; в
качестве направления гиперболичности можно выбрать η = (1, 0, 0, 0),
при этом

τ = −uξ − vη − wζ

будет трехкратным корнем характеристического уравнения, каждый
из корней

τ = −uξ − vη − wζ ∓ c

p

ξ

2

+ η

2

+ ζ

2

— однократным корнем. Соответствующие этим корням векторы λ(ξ)
образуют базис в R

5

.

Поверхности h(x, t) = 0 называются контактными характеристика-

ми, если функция h(x, t) удовлетворяет уравнению

h

t

+ uh

x

+ vh

y

+ wh

z

= 0.

(3.12)

Звуковые характеристики двух семейств C

±

определяются решениями

дифференциальных уравнений:

h

t

+ uh

x

+ vh

y

+ wh

z

± c

q

h

2

x

+ h

2

y

+ h

2

z

= 0

(3.13)

В дальнейшем контактные характеристики будут обозначаться симво-
лом C

0

, а звуковые — символами C

+

или C

−

соответственно выбору

знака в (3.13).

Если положить n = ∇

x

h|∇

x

h|

−1

, D

n

= −h

t

|∇

x

h|

−1

, то из (3.13)

следует соотношение

D

n

= u

n

± c (u

n

= u · n).

Звуковая характеристика, определяемая уравнением (3.13) со знаком
“+” в правой части, движется в R

3

в сторону области h(x, t) > 0 с нор-

мальной скоростью u

n

+ c, а характеристика, соответствующая знаку

“−” в (3.13), движется с нормальной скоростью u

n

− c.

Для построения характеристики на заданном решении достаточ-

но решить задачу Коши для уравнений (3.12) или (3.13) с данными
h(x, 0) = h

0

(x). При этом уравнение h

0

(x) = 0 определяет начальное

положение характеристической поверхности.

56

Пример 3.2. Пусть задано решение уравнений газовой динамики

u = u

1

(x, t), v = v

1

(x, t), w = w

1

(x, t), p = p

1

(x, t), S = S

1

(x, t).

Найти уравнение контактной характеристики, если ее положение в мо-
мент времени t = 0 определено уравнением h

0

(x, y, z) = 0.

Решение. Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных диф-

ференциальных уравнений (уравнений бихарактеристик):

dt

ds

′

= 1,

dx

ds

′

= u

1

(x, y, z, t),

dy

ds

′

= v

1

(x, y, z, t),

dz

ds

′

= w

1

(x, y, z, t),

t





s

′

=0

= 0,

x





s

′

=0

= x

0

,

y





s

′

=0

= y

0

,

z





s

′

=0

= z

0

.

(3.14)

Пусть t = s

′

, x = x

1

(s

′

, x

0

, y

0

, z

0

), y = y

1

(s

′

, x

0

, y

0

, z

0

), z = z

1

(s

′

, x

0

, y

0

, z

0

)

— решение задачи Коши. Выразим x

0

, y

0

, z

0

через x, y, z, t из получен-

ных соотношений. Тогда функция

h(x, t) = h

0

x

0

(x, y, z, t), y

0

(x, y, z, t), z

0

(x, y, z, t)

(3.15)

удовлетворяет уравнению

h

t

+ uh

x

+ vh

y

+ wh

z

= 0

(3.16)

и, следовательно, h(x, t) = 0 задает уравнение искомой характеристи-
ки. Действительно, так как x

0

(x

1

(s

′

, x

0

), s

′

) = x

0

при 0 ≤ s

′

≤ t, то

h(x

1

(s

′

, x

0

), s

′

) = h

0

(x

0

) и

d

ds

h x

1

(s

′

, x

0

, y

0

, z

0

), y

1

(s

′

, x

0

, y

0

, z

0

), z

1

(s

′

, x

0

, y

0

, z

0

), s

′

= 0.

Если положить в этом равенстве s

′

= t, x

1

= x и учесть уравнения

(3.14), то получим равенство (3.16). Выполнение начального условия
h(x, 0) = h

0

(x) следует из равенства x

0

(x, 0) = x.

Пример 3.3. Пусть задано решение уравнений газовой динамики

u = u

1

(x, t),

v = v

1

(x, t),

w = w

1

(x, t),

ρ = ρ

1

(x, t),

S = S

1

(x, t),

p

1

= f (ρ

1

, S

1

)

.

Найти уравнение звуковой характеристики C

−

, если ее положение в

момент времени t = 0 определено уравнением h

0

(x, y, z) = 0.

57

Решение. Введем обозначение P = h

x

, Q = h

y

, R = h

z

. Рассмотрим

задачу Коши для системы уравнений (уравнений бихарактеристик):

dx

ds

′

= u

1

− c

1

P

p

P

2

+ Q

2

+ R

2

;

dy

ds

′

= v

1

− c

1

Q

p

P

2

+ Q

2

+ R

2

;

dz

ds

′

= w

1

− c

1

R

p

P

2

+ Q

2

+ R

2

;

dt

ds

′

= 1;

dP
ds

′

= c

1x

p

P

2

+ Q

2

+ R

2

− u

1x

P − v

1x

Q − w

1x

R;

dQ
ds

′

= c

1y

p

P

2

+ Q

2

+ R

2

− u

1y

P − v

1y

Q − w

1y

R;

dR
ds

′

= c

1z

p

P

2

+ Q

2

+ R

2

− u

1z

P − v

1z

Q − w

1z

R;

x





s

′

=0

= x

0

,

y





s

′

=0

= y

0

,

z





s

′

=0

= z

0

,

t





s

′

=0

= 0,

P





s

′

=0

= h

0x

0

(x

0

, y

0

, z

0

),

Q





s

′

=0

= h

0y

0

(x

0

, y

0

, z

0

),

R





s

′

=0

= h

0z

0

(x

0

, y

0

, z

0

).

(3.17)

Пусть соотношения t = s

′

, x = x

1

(s

′

, x

0

, y

0

, z

0

), y = y

1

(s

′

, x

0

, y

0

, z

0

),

z = z

1

(s

′

, x

0

, y

0

, z

0

) получены в результате решения задачи Коши (3.17).

Выразим x

0

, y

0

, z

0

через t, x, y, z. Функция

h(x, t) = h

0

(x

0

(x, t), y

0

(x, t), z

0

(x, t))

удовлетворяет уравнению

h

t

+ u

1

h

x

+ v

1

h

y

+ w

1

h

z

= c

1

q

h

2

x

+ h

2

y

+ h

2

z

,

и следовательно, искомая звуковая характеристика задается уравнени-
ем h(x, t) = 0.

Замечание. При доказательстве факта, что h(x, t) удовлетворяет

уравнению для звуковой характеристики C

−

, используется то, что урав-

нения для P, Q, R получены дифференцированием исходного диффе-
ренциального уравнения звуковой характеристики по x, y, z и равен-
ство h(x

1

, y

1

, z

1

, s

′

) = h

0

(x

0

, y

0

, z

0

).

Приведенный выше алгоритм построения звуковой характеристи-

ческой поверхности позволяет строить гладкое решение дифференци-
альных уравнений в “малом” по времени, так как обращение найден-
ных отображений в общем случае возможно лишь для малых значений

58

t. Обобщенные решения уравнений (3.13) могут определять негладкие
поверхности, имеющие ребра, складки и другие особенности.

Понятие характеристики играет важную роль при качественном

анализе газодинамических течений. Движущиеся в R

3

характеристиче-

ские поверхности являются волновыми фронтами, ограничивающими
области влияния возмущений, возникающих в течении. Например, если
по покоящемуся газу распространяется непрерывная волна возмуще-
ния, то поверхность, по которой происходит примыкание возмущенного
движения к невозмущенному, является характеристической поверхно-
стью, так как только на таких поверхностях возможно непрерывное
примыкание двух решений уравнений газовой динамики с разрывом
производных.

Если данные Коши u(x, 0) = ϕ(x) имеют слабый разрыв на поверх-

ности Γ ⊂ R

3

, то решение уравнений газовой динамики имеет слабые

разрывы на контактной и двух звуковых характеристиках, проходящих
при t = 0 через Γ. В начальный момент происходит распад слабого раз-
рыва, так что

h ∂U

∂ξ

(x, 0)

i

Γ

=

h ∂U

∂ξ

i

+

+

h ∂U

∂ξ

i

−

+

h ∂U

∂ξ

i

0

,

где

h

. . .

i

±,0

— скачки производных на соответствующих характери-

стиках. Согласно (3.9)

h

∂U/∂ξ

i

на характеристике является собствен-

ным вектором соответствующей матрицы A(ξ). Разложение

h

∂U/∂ξ

i

Γ

по собственным векторам матрицы A(ξ), соответствующим разным се-

мействам характеристик, определяет

h

∂U/∂ξ

i

±,0

на Γ.

3.4

Задачи

3.1. Проверить, что для контактной характеристики ранг харак-

теристической матрицы A(ξ) равен двум, и найти три независимых
условия на контактной характеристике.

3.2. Показать, что для звуковой характеристики ранг матрицы A(ξ)

равен четырем, и найти условие на звуковой характеристике.

3.3. Показать, что система уравнений газовой динамики, описываю-

щая установившиеся движения, гиперболична при |u| > c (c — скорость
звука). Показать, что в качестве направления гиперболичности можно
выбрать направление вектора скорости.

59