Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 12

2.13. Соотношение Гюгонио H(τ

2

, p

2

, τ

1

, p

1

) = 0 можно трактовать

как уравнение гиперповерхности в четырехмерном пространстве. Фик-
сируя значения двух координат, получаем плоские сечения этой ги-
перповерхности. Исследовать качественные свойства этих кривых для
политропного и нормального газов.

2.14. Выяснить, будет ли ударная волна определена, если известны

v

1

− v

1n

n

и

(a) v

1n

, v

2n

, ρ

1

, ρ

2

;

(c) v

1n

, D

n

, p

2

, ρ

1

;

(b) v

1n

, v

2n

, p

1

, p

2

;

(d) v

1n

, v

2n

, D

n

, p

1

.

(газ политропный). Каким ограничениям должны удовлетворять зада-
ваемые величины?

2.15. Из соотношений на ударной волне в политропном газе полу-

чить выражения для величин ρ

2

, p

2

, v

2n

через величины ρ

1

, p

1

, v

1n

, D

n

.

Ответ:

p

2

p

1

=

2γM

2

1

− γ + 1

γ + 1

,

ρ

2

ρ

1

=

(γ + 1)M

2

1

(γ − 1)M

2

1

+ 2

,

|v

2n

− v

1n

| =

2c

1

(M

2

1

− 1)

(γ + 1)M

1

.

Здесь M

1

= |v

1n

− D

n

|/c

1

, c

1

— скорость звука в газе в состоянии “1”, γ

— показатель политропы.

2.16. Выписать линеаризованные соотношения на слабой ударной

волне (p

2

− p

1

)/p

1

≪ 1

.

2.17. Доказать, что на фронте слабой ударной волны справедливо

соотношение (предполагается, что D

n

> v

1n

)

v

1n

+ c

1

+ v

2n

+ c

2

− 2D

n

= O([p]

2

).

2.18. Вывести дифференциальные уравнения (2.16) из интеграль-

ных законов сохранения (2.2).

2.19. Показать, что если в уравнениях (2.16) заменить дифферен-

циальное уравнение ds/dt = 0 уравнением

dp

dt

+ ρc

2

divv = 0,

то получится система уравнений, эквивалентная системе (2.16).

2.20. Показать, что в теплопроводном газе скорость изменения эн-

тропии в частице задается выражением

ds

dt

= (ρT )

−1

div(κ∇T ).

48

2.21. Доказать, что процесс выравнивания температуры в тепло-

изолированном индивидуальном объеме необратим.

2.22. Пусть L — замкнутая кусочно-гладкая линия, состоящая во

все моменты времени из одних и тех же частиц. Доказать равенство

d

dt

I

L

v

(x, t)dx =

I

L

τ ∇pdx.

2.23. Показать, что интеграл Бернулли (2.20) для модели полит-

ропного газа записывается в виде

q

2

+

2

γ − 1

c

2

= q

2

m

(L).

Здесь q

2

m

(L) — величина постоянная вдоль линии тока L.

2.24. Показать, что если в стационарном течении идеального газа

линия тока прямолинейна, то поверхности равного давления ортого-
нальны к ней (считается, что p 6= const на линии тока).

2.25. Доказать, что в безвихревом изэнтропическом движении по-

тенциал скоростей ϕ(x, t) удовлетворяет уравнению

d

dt



ϕ

t

+

1
2

|∇ϕ|

2



− c

2

∆ϕ = 0,



d

dt

=

∂

∂t

+ ∇ϕ · ∇,

∆ =

∂

2

∂x

2

+

∂

2

∂y

2

+

∂

2

∂z

2



.

2.26. Проверить, что соотношениями

v

x

=

x

t

+ aρ,

v

y

= v

z

= 0,

p =

a

2

3

ρ

3

,

s = s

0

,

Φ



tρ,

x

t

+ 2aρ



= 0

задано (в неявной форме) точное решение уравнений газовой динами-
ки. Здесь v

x

, v

y

, v

z

— компоненты вектора скорости в декартовой си-

стеме координат; a, s

0

— постоянные; Φ(λ, µ) — произвольная функция.

2.27. Показать, что стационарная невырожденная простая волна

описывает сверхзвуковое течение газа (течение газа, в котором |v| > c).

2.28. Одномерное движение газа с плоскими волнами определяется

соотношениями

v

= u(x, t)~e

x

,

p = p(x, t),

ρ = ρ(x, t).

49

Здесь ~e

x

— орт декартовой системы координат, отвечающий координа-

те x. Вывести уравнения невырожденных простых волн в одномерном
движении.

2.29. Получить уравнения для вырожденных (p ≡ const) простых

волн (см. пример 2.3).

2.30. Одномерные движения газа с плоскими (ν = 0), цилиндриче-

скими (ν = 1) и сферическими (ν = 2) волнами определяются соотно-
шениями

v

= v(x, t)∇x,

p = p(x, t),

ρ = ρ(x, t),

x =



















x

(ν = 0);

p

x

2

+ y

2

(ν = 1);

p

x

2

+ y

2

+ z

2

(ν = 2).

Показать, что v(x, t), p(x, t), ρ(x, t) удовлетворяют уравнениям

v

t

+ vv

x

+ ρ

−1

p

x

= 0,

p

t

+ vp

x

+ ρc

2

v

x

= −

νρc

2

v

x

,

ρ

t

+ vρ

x

+ ρv

x

= −

νρv

x

.

50

3

Характеристики уравнений газовой дина-
мики. Слабый разрыв

3.1

Основные определения

Рассматривается система из квазилинейных дифференциальных урав-
нений первого порядка для m искомых функций (u

1

, ..., u

m

) от n неза-

висимых переменных x = (x

1

, . . . , x

n

) :

n

X

i=1

m

X

l=1

a

i

kl

∂u

l

∂x

i

= f

k

(k = 1, . . . , m).

(3.1)

Здесь a

i

kl

, f

k

— заданные функции от x, u

1

, . . . , u

m

. Систему (3.1)

можно записать в виде

n

X

i=1

A

i

U

x

i

= f ,

(3.2)

где A

i

— матрицы с элементами a

i

kl

(k — номер строки, l — номер столб-

ца), U и f — вектор-столбцы с компонентами u

k

и f

k

, соответственно.

Дополнительное задание данных Коши на гиперповерхности Γ :

U

|

Γ

= ϕ(x)|

Γ

позволяет найти производные вектора U по касатель-

ным к Γ направлениям, если Γ — достаточно гладкая поверхность, а
ϕ

— достаточно гладкая функция. Рассмотрим вопрос об определении

производных вектора U по нормальному к Γ направлению с помощью
уравнений (3.2). Пусть ξ — вектор, направленный по нормали к поверх-
ности Γ, а векторы σ

i

(i = 1, .., n − 1) образуют базис в касательной

плоскости. Любой орт e

i

оси x

i

можно разложить по базису ξ, {σ

k

}:

e

i

= |ξ|

−2

ξ

i

ξ

+

n−1

X

k=1

β

k

i

σ

k

.

Аналогичное представление получается для производной по направле-
нию вектора e

i

:

∂

∂x

i

= |ξ|

−2

ξ

i

∂

∂ξ

+

n−1

X

k=1

β

k

i

∂

∂σ

k

.

(3.3)

Здесь ∂/∂ξ = (ξ · ∇), ∂/∂σ

k

= (σ

k

· ∇). С помощью представления

(3.3) система уравнений (3.2) преобразуется к виду

|ξ|

−2

A(ξ)

∂U

∂ξ

= −

n−1

X

k=1

B

k

∂U

∂σ

k

+ f ,

(3.4)

51