Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 11

Решение. Для указанных частных решений справедливы формулы

dv

dt

= v

′

(α)

dα

dt

,

dρ

dt

= ρ

′

(α)

dα

dt

,

divv = v

′

(α) · ∇α.

С учетом этих соотношений уравнения газовой динамики (2.16) запи-
сываются в виде

v

′

dα

dt

+

1
ρ

p

′

∇α = 0;

ρ

′

dα

dt

+ ρv

′

· ∇α = 0;

s

′

dα

dt

= 0.

(2.29)

Так как p

′

(α) 6≡ 0, то из первых двух уравнений (2.29) следует, что

dα

dt

6≡ 0. Из последнего уравнения (2.29) вытекает, что s ≡ const — из-

энтропичность движения газа. После векторного умножения первого
уравнения (2.29) на ∇α получим равенство rotv = ∇α × v

′

= 0. Следо-

вательно, течение в простой волне потенциально. Равенство v

′

×∇α = 0

позволяет представить ∇α в виде ∇α = k(x, t)v

′

(α), где k(x, t) — неко-

торая скалярная функция. Из второго уравнения (2.29) следует, что

∂α

∂t

+ v · ∇α = −

ρ

ρ

′

v

′

· ∇α,

∂α

∂t

= −k



v

· v

′

+

ρ

ρ

′

|v

′

|

2



= −k



qq

′

+

ρ

ρ

′

|v

′

|

2



,

где q = |v|. Приведенное выше представление ∇α и α

t

позволяет за-

ключить, что нормаль к каждой поверхности α = const имеет одно и
то же направление для всех точек гиперповерхности. Это означает, что
гиперповерхность α = const является плоскостью.

Домножив первое уравнение (2.29) скалярно на ∇α и заметив, что

p

′

= c

2

ρ

′

, получим с учетом второго уравнения (2.29) уравнение для

функции α(x, t):



dα

dt



2

− c

2

|∇α|

2

= 0.

(2.30)

Из (2.30) следует, что гиперповерхности α(x, t) = const являются зву-
ковыми характеристиками (см. разд. 3).

Из первых двух уравнений системы (2.29) получаем уравнение

ρ

2

|v

′

|

2

= ρ

′

p

′

,

(2.31)

44

связывающее только функции переменной α. Так как

dα = −k



qq

′

+

ρ

ρ

′

|v

′

|

2



dt + kv

′

dx =

= k



−



qq

′

+

1

ρ

′

p

′



dt + v

′

· dx



,

то на поверхности α = const необходимо

v

′

· dx −



qq

′

+

p

′

ρ



dt = 0.

Поскольку в этом уравнении множители при dx и dt постоянны на
поверхности α = const, его можно проинтегрировать:

v

′

· x −



qq

′

+

p

′

ρ



t = F (α).

(2.32)

Здесь F (α) — произвольная функция.

Уравнения (2.30)–(2.32) полностью описывают рассматриваемый класс

решений — невырожденные (p 6= const) простые волны.

2.4

Задачи

2.1. Пусть ω(t) — индивидуальный объем, а Ω(t) — произвольно меня-
ющийся со временем объем такой, что ω(t

0

) = Ω(t

0

). Доказать соотно-

шение

 

d

dt

ZZZ

ω(t)

F dω

!







t=t

0

=

 

d

dt

ZZZ

Ω(t)

F dω

!







t=t

0

+

Z Z

Σ(t

0

)

F (v · n − D

n

) dσ.

Здесь Σ(t) — граница объема Ω(t), D

n

— скорость перемещения Σ(t)

в направлении внешней нормали n к Σ(t), v — вектор скорости, F —
произвольная функция переменных x, t.

2.2. Движущаяся поверхность задана уравнением h(x, t) = 0. До-

казать, что D

l

— скорость перемещения поверхности в направлении

произвольного вектора l, |l| = 1, вычисляется по формуле

D

l

= −

h

t

(l, ∇h)

.

2.3. Вывести уравнения, описывающие в гидравлическом прибли-

жении нестационарное течение теплопроводного газа по криволиней-
ному каналу с теплоизолированными стенками. При выводе уравнений

45

Рис. 2.4

считать в любой момент времени все гидравлические величины посто-
янными на сечениях, ортогональных к “средней” линии канала, а век-
тор скорости — направленным по касательной к этой линии.

Указание: Воспользоваться методом примера 2.2.
Ответ:

∂

∂t

(ρF (ξ)) +

∂

∂ξ

(ρqF (ξ)) = 0;

∂q

∂t

+ q

∂q
∂ξ

+

1
ρ

∂p
∂ξ

= 0;

ρT F



∂s

∂t

+ q

∂s
∂ξ



−

∂

∂ξ



κ

F

∂T

∂ξ



= 0

(обозначения те же, что в примере 2.2).

2.4. Рассматривается стационарное течение газа в трубе перемен-

ного сечения (рис. 2.4). Доказать, что на участке от S

1

до S на стенки

трубы действует сила

R

= G(V

1

− v) + p

1

S

1

V

1

|V

1

|

− pS

v

|v|

.

Здесь G — расход газа в трубе, S

1

и S — площади выделенных сечений

трубы, V

1

, v — скорости газа в этих сечениях, p

1

, p — соответству-

ющие давления (скорость в указанных на рис. 2.4 сечениях считается
направленной по нормали к сечению).

2.5. Показать, что условие на сильном разрыве, вытекающее из ин-

тегрального закона сохранения момента импульса, является следстви-
ем условий (2.4).

2.6. Пусть функция ε = e(τ, p), определяющая уравнение состояния

нормального газа, удовлетворяет неравенству e

p

6

bτ (b = const > 0)

для всех p и τ < τ

1

. Показать, что для адиабаты Гюгонио выполнено

неравенство lim

p→∞

τ (p; τ

1

, p

1

) = τ

∞

> 0.

46

2.7. Показать, что скорость перемещения ударной волны D

n

строго

монотонно возрастает вместе с силой разрыва [p], причем D

n

→ ∞ при

[p] → ∞.

2.8. Идеальный газ с плотностью ρ

1

сжимается до плотности ρ

2

двумя способами: непрерывным образом и с помощью ударной волны.
Выяснить, в каком случае температура газа в конечном состоянии бу-
дет выше.

2.9. Когда достигается большая плотность: при сжатии нормаль-

ного газа одной ударной волной, повышающей давление от p

1

до p

3

,

или при последовательном сжатии двумя ударными волнами, если при
прохождении первой волны давление повышается от значения p

1

до

p

2

< p

3

, а при прохождении второй — от значения p

2

до p

3

?

2.10. Выписать уравнение адиабаты Гюгонио в случае, когда свой-

ства среды определяются двучленным уравнением состояния (см. за-
дачу 1.26).

Ответ:

τ

τ

1

=

(γ − 1)(p + p

0

) + (γ + 1)(p

1

+ p

0

)

(γ − 1)(p

1

+ p

0

) + (γ + 1)(p + p

0

)

,

p

0

=

ρ

0

c

2

0

γ

,

здесь (τ

1

, p

1

) — центр адиабаты Гюгонио.

2.11. Пусть газ имеет постоянную теплоемкость C

V

и его свойства

определяются уравнением состояния:



p +

a

1

τ

2



(τ − b

1

) = R

′

T

(R

′

=

R

M

, R — газовая постоянная, M — моль газа, a

1

, b

1

— постоянные).

Выписать уравнение адиабаты Гюгонио.

Ответ:

p



(γ + 1)

2

τ − b

1

−

(γ − 1)

2

τ

1



− p

1



(γ + 1)

2

τ

1

− b

1

−

(γ − 1)

2

τ



=

=

a

1

τ

2

1

(τ

1

− b

1

) −

a

1

τ

2

(τ − b

1

).

Здесь (τ

1

, p

1

) — центр адиабаты Гюгонио.

2.12. Показать, что адиабата Гюгонио для газа с уравнением состо-

яния Ван-дер-Ваальса может быть кривой, не звездной относительно
центра (рассмотреть окрестность критической точки, определяемой со-

отношениями



∂p
∂τ



T

= 0,



∂

2

p

∂τ

2



T

= 0).

47