Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 9

Условия на контактном разрыве:

v

1n

= v

2n

= D

n

;

p

1

= p

2

.

(2.5)

Условия на ударной волне:

ρ

2

v

2

= ρ

1

v

1

;

p

2

+ ρ

2

v

2

2

= p

1

+ ρ

1

v

2

1

;

ε

2

+ p

2

τ

2

+

1
2

v

2

2

= ε

1

+ p

1

τ

1

+

1
2

v

2

1

;

v

2

− v

2n

n

= v

1

− v

1n

n

(v

i

≡ v

in

− D

n

,

i = 1, 2).

(2.6)

Часто используются следующие следствия соотношений (2.6):

v

2

1

= τ

2

1

p

2

− p

1

τ

1

− τ

2

,

v

2

2

= τ

2

2

p

2

− p

1

τ

1

− τ

2

;

(2.7)

(v

2

− v

1

)

2

= (p

2

− p

1

)(τ

1

− τ

2

);

ε

2

− ε

1

= (p

2

+ p

1

)(τ

1

− τ

2

)/2.

(2.8)

При исследовании ударных волн особое значение имеет соотноше-

ние (2.8), связывающее термодинамические величины ε, p, τ . Опреде-
лим функцию Гюгонио H(τ, p; τ

1

, p

1

) формулой

H(τ, p; τ

1

, p

1

) = ε(τ, p) − ε(τ

1

, p

1

) + (p + p

1

)(τ − τ

1

)/2.

(2.9)

Функция ε(τ, p) определена уравнением состояния газа ε = e(τ, p).

Кривая на плоскости (τ, p), заданная уравнением

H(τ, p; τ

1

, p

1

) = 0,

(2.10)

называется адиабатой Гюгонио с центром (τ

1

, p

1

). Для политропного

газа уравнение адиабаты Гюгонио можно представить в виде

p

p

1

=

(γ + 1)τ

1

− (γ − 1)τ

(γ + 1)τ − (γ − 1)τ

1

(2.11)

Адиабата Гюгонио описывает множество состояний (τ, p), связанных
соотношениями ударного перехода с состоянием (τ

1

, p

1

). Качественный

вид адиабаты Гюгонио для нормального газа изображен на рис. 2.1.
На этом же рисунке указано расположение изэнтропы s = s

1

, проходя-

щей через точку (τ

1

, p

1

). В точке (τ

1

, p

1

) адиабата Гюгонио и изэнтропа

36

p

s

s

p

Рис. 2.1

имеют касание второго порядка (совпадают наклоны и кривизны обеих
кривых).

Для модели нормального газа адиабата Гюгонио обладает следую-

щими свойствами:

а) уравнение адиабаты Гюгонио можно представить в виде

τ = τ (p; τ

1

, p

1

),

∂τ
∂p

(p; τ

1

, p

1

) < 0;

б) энтропия s(p) = s(p, τ (p; τ

1

, p

1

)) монотонно возрастает с ростом

давления вдоль адиабаты Гюгонио: s

′

(p) > 0 при p 6= p

1

;

в) lim

p→p

1

s(p) − s

1

(p − p

1

)

3

= k

1

> 0;

г) адиабата Гюгонио звездна относительно центра: любой луч, вы-

ходящий из центра (τ

1

, p

1

), пересекает ее не более чем в одной

точке.

Будем называть передней стороной фронта ударной волны (или сто-

роной перед ударной волной) ту сторону, с которой газ натекает на
ударный фронт. Противоположная сторона называется задней сторо-
ной. Свойства адиабат Гюгонио показывают, что при ударном переходе
энтропия изменяется. Из второго начала термодинамики следует, что
энтропия в теплоизолированной частице при переходе через ударный

37

фронт обязательно возрастает. Следствием этого факта является тео-
рема Цемплена: абсолютная величина нормальной скорости газа от-
носительно ударного фронта больше скорости звука перед фронтом
(|v

1n

−D

n

| > c

1

) и меньше скорости звука за фронтом (|v

2n

−D

n

| < c

2

).

Соотношения на ударной волне (2.6) позволяют определить основ-

ные параметры течения по обе стороны ударного фронта и нормальную
скорость фронта, если известны v

1

, p

1

, ρ

1

и одна из следующих вели-

чин: а) p

2

, б) ρ

2

, в) D

n

, г) v

2n

. В случаях а) – в) основные параметры

определяются однозначно, при этом одновременно определяется соот-
ветствие состояний “1”, “2” и сторон фронта. В случае г) при

(v

2n

− v

1n

)

2

< p

1

(τ (0; τ

1

, p

1

) − τ

1

)

однозначность определения параметров обеспечивается указанием сто-
роны фронта (состояние “1” — за фронтом или перед фронтом). При вы-
полнении противоположного неравенства параметры находятся в слу-
чае г) однозначно. В случаях б), в) задаваемые величины должны удо-
влетворять следующим неравенствам:

б) τ (0; τ

1

, p

1

) > τ

2

> τ (∞; τ

1

, p

1

);

в) (v

1n

− D

n

)

2

>

p

1

τ

2

1

(τ (0; τ

1

, p

1

) − τ

1

)

−1

.

Пример 2.1. Пусть H

1

— адиабата Гюгонио с центром (τ

1

, p

1

), и

пусть точка (τ

2

, p

2

) ∈ H

1

. Для нормального газа выяснить взаимное

расположение кривой H

1

, адиабаты s = s

2

и адиабаты Гюгонио H

2

с

центром в точке (τ

2

, p

2

).

Решение. Адиабаты Гюгонио H

1

и H

2

заданы уравнениями:

H

1

:

ε(τ, p) − ε(τ

1

, p

1

) + (p + p

1

)(τ − τ

1

)/2 = 0;

H

2

:

ε(τ, p) − ε(τ

2

, p

2

) + (p + p

2

)(τ − τ

2

)/2 = 0.

(2.12)

Так как (τ

2

, p

2

) ∈ H

1

, то

ε(τ

2

, p

2

) − ε(τ

1

, p

1

) + (p

2

+ p

1

)(τ

2

− τ

1

)/2 = 0.

(2.13)

В силу этого соотношения и второго уравнения (2.12) получаем, что
(τ

1

, p

1

) ∈ H

2

, т.е. точки (τ

1

, p

1

) и (τ

2

, p

2

) являются общими для адиабат

H

1

и H

2

. Покажем, что других точек пересечения у адиабат H

1

и H

2

нет.

Действительно, после вычитания из первого уравнения (2.12) вто-

рого с учетом равенства (2.13) получим соотношение

(τ

2

− τ

1

)(p − p

1

) = (p

2

− p

1

)(τ − τ

1

).

(2.14)

38

p

p

p

s

Рис. 2.2

Из (2.14) следует, что множество точек пересечения H

1

и H

2

лежит

на прямой, проходящей через точки (τ

1

, p

1

) и (τ

2

, p

2

). В силу свойства

звездности адиабаты Гюгонио пересечение прямой (2.14) с H

1

(или H

2

)

возможно только в двух точках, т. е. в точках (τ

1

, p

1

) и (τ

2

, p

2

).

Для выяснения взаимного расположения адиабат Гюгонио H

1

, H

2

и изэнтропы s = s

2

воспользуемся известными свойствами поведения

энтропии вдоль адиабаты Гюгонио. Функции s

1

(p) = s(p, τ

1

, p

1

), τ

1

(p) =

τ (p; τ

1

, p

1

), s

2

(p) = s(p, τ

2

, p

2

), τ

2

(p) = τ (p; τ

2

, p

2

) определяют поведение

энтропии и удельного объема вдоль H

1

и H

2

. Дифференцированием

тождества p = g(τ

i

(p), s

i

(p)) получаем равенства

1 = g

τ

dτ

i

dp

+ g

s

ds

i

dp

(i = 1, 2).

В точке (τ

2

, p

2

) :

ds

2

dp

= 0,

ds

1

dp

> 0, поэтому

dτ

2

dp

−

dτ

1

dp

=



g

s

g

τ



2

·

ds

1

dp

< 0.

Изэнтропа s = s

2

касается адиабаты Гюгонио H

2

и, следовательно, пе-

ресекает кривую H

1

под тем же углом, что и H

2

. Поэтому расположение

адиабат H

1

, H

2

и изэнтропы s = s

2

будет таким, как на рис. 2.2.

2.3

Дифференциальные уравнения

В классе непрерывных движений газа интегральные законы сохране-
ния могут быть преобразованы к соответствующим дифференциаль-

39