Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 7

Приращение энтропии при постоянной температуре выражается фор-
мулой S

2

− S

1

= L/T , где L — указанная в задаче теплота. В силу

этого

dP

Φ

dT

=

L

T (τ

2

− τ

1

)

=

L

T (ρ

−1

2

− ρ

−1

1

)

=

ρ

1

ρ

2

L

T (ρ

1

− ρ

2

)

.

1.4

Задачи

1.1. При постоянной температуре 20

◦

C идеальный газ квазистати-

чески переходит из состояния с давлением 20 атм в состояние с давле-
нием 1 атм. Какую работу совершает 1 моль газа (в джоулях)? Какое
количество тепла (в калориях) необходимо передать газу?

Ответ: A ∼

= 7,26

· 10

3

Дж, Q ∼

= 1,74 ккал/моль.

1.2. Воздух характеризуется следующими параметрами: при p =

1атм = 1,013 · 10

6

дин/см

2

и T = 0

◦

C его плотность ρ = 0,00129 г/см

3

,

удельная теплоемкость при постоянном давлении C

p

= 0,238 кал/(г·град)

и γ = C

p

/C

V

= 1,41. Вычислить количество тепла, необходимое для

нагревания воздуха от 0 до 20

◦

C (а) при постоянном объеме; (б) при

постоянном давлении. Начальный объем воздуха 27 м

3

.

Ответ: (а) Q = 1,176 · 10

5

кал; (б) Q = 1,658 · 10

5

кал.

1.3. Уравнение состояния смеси из r видов идеальных газов имеет

вид

pV = nRT,

n =

r

X

i=1

n

i

.

Здесь n

i

— число молей i-го компонента. Внутренняя энергия задает-

ся выражением U =

r

P

i=1

n

i

C

0

V

i

T , где C

0

V

i

— мольная теплоемкость при

постоянном объеме i-го компонента. Найти C

V

и C

p

смеси.

Ответ: C

V

=

r

P

i=1

n

i

C

0

V

i

, C

p

=

r

P

i=1

n

i

(C

0

V

i

+ R).

1.4. Вычислить удельную теплоемкость воздуха при постоянном

объеме, считая его смесью кислорода O

2

и азота N

2

с соотношением

масс компонентов 23:77. Удельная теплоемкость газообразного кисло-
рода при постоянном объеме равна 0,158 кал/(г·град), а газообразного
азота 0,176 кал/(г·град).

Ответ: C

V

∼

= 0,172 кал/(г

·град).

1.5. Пусть δQ — теплота, необходимая для изменения температуры

1 г вещества на величину dT при сохранении величины x. Показать,
что удельная теплоемкость C

x

= (∂Q/∂T )

x

определяется формулой

c

x

=

 ∂ε

∂T



τ

+

h

p +

 ∂ε

∂τ



T

i ∂τ

∂T



x

.

28

1.6. Идеальный газ с постоянной теплоемкостью совершает адиаба-

тический переход из состояния (p

1

, V

1

, T

1

) в состояние (p

2

, V

2

, T

2

). По-

казать, что в данном процессе pV

γ

= const (γ = C

p

/C

V

), а работа A,

совершаемая газом, равна A = C

V

(T

1

− T

2

).

1.7. Состояния идеального газа с постоянной теплоемкостью изме-

няются в соответствии с квазистатическим изотермически-адиабатным
циклом (циклом Карно), изображенным на рис. 1.2. Процессы 1 → 2
и 3 → 4 изотермические, 2 → 3 и 4 → 1 адиабатические. Доказать
соотношение

Q

1

T

1

+

Q

2

T

2

= 0,

где Q

1

— тепло, полученное от резервуара с температурой T

1

при пере-

ходе 1 → 2, а Q

2

— тепло от резервуара с температурой T

2

, полученной

при переходе 3 → 4.

1.8. Для газа с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса (1.11) кри-

тической точкой K называется точка, в которой

 ∂p

∂V



T

=

 ∂

2

p

∂V

2



T

= 0.

Найти значения давления p

k

, объема V

k

и температуры T

k

в крити-

ческой точке и исследовать изотерму T = T

k

на плоскости (p, V ). Как

будет вести себя изотермы T = T

∗

на плоскости (p, V ) при T

∗

> T

k

и

T

∗

< T

k

?

Ответ: p

k

=

1

27

a

b

2

, V

k

= 3nb, T

k

=

8

27

a

Rb

.

1.9. Пусть уравнения состояния среды заданы в виде
(а) ε = ε(τ, p), s = s(τ, p), T = T (τ, p);
(б) ε = ε(s, T ), τ = τ (s, T ), p = p(s, T ).
Найти соотношения, которым должны удовлетворять заданные функ-

ции.

Ответ: (а) T

∂s

∂τ

=

∂ε

∂τ

+ p, T

∂S

∂p

=

∂ε
∂p

;

(б) T =

∂ε
∂s

+ p

∂τ

∂s

,

∂ε

∂T

+ p

∂τ

∂T

= 0.

1.10. Доказать соотношение

 ∂ε

∂τ



p

+

 ∂ε

∂p



τ

 ∂p

∂τ



s

+ p = 0.

1.11. Используя потенциалы Гиббса (1.20), доказать следующие со-

отношения Максвелла:

 ∂T

∂V



S

= −

 ∂p

∂S



V

;

 ∂T

∂p



S

=

∂V

∂S



p

;

29

 ∂S

∂V



T

=

 ∂p

∂T



T

;

 ∂S

∂p



T

= −

∂V

∂T



p

.

1.12. Доказать, что внутренняя энергия в идеальном газе есть функ-

ция только температуры.

1.13. Показать, что скорость звука c (c

2

= (∂p/∂ρ)

S

) в идеальном

газе зависит только от температуры.

1.14. Пусть уравнения состояния среды заданы в виде p = p(ρ, T ),

ε = ε(ρ, T ). Найти выражение для скорости звука c как функции плот-
ности ρ и температуры T .

Ответ: c

2

=

∂p
∂ρ

+

∂p

∂T

 p

ρ

2

−

∂ε
∂ρ

. ∂ε

∂T

.

1.15. Вычислить якобиан перехода D(T, s)/D(p, τ) от переменных

T , s к переменным p, τ .

Ответ: D(T, s)/D(p, τ)=1.
1.16. Показать, что ε(τ, T ) = ε

1

(τ ) + ε

2

(T ) тогда и только тогда,

когда p = p(τ, T ) — линейная функция T .

1.17. Найти вид функции ε(τ, T ) для реального газа с уравнением

состояния Ван-дер-Ваальса.

Ответ: ε = E(T ) −

a

M

2

τ

, где M — молекулярная масса газа, E(T )

— произвольная функция.

1.18. Показать, что в газе Ван-дер-Ваальса теплоемкость при по-

стоянном объеме зависит только от температуры. Найти выражение
для удельной энтропии в предположении постоянства удельной тепло-
емкости C

V

.

Ответ: s = C

V

ln T +

R

M

ln(τ − b/M) + s

0

, где M — молекулярная

масса газа, s

0

— постоянная.

1.19. Пусть в газе Ван-дер-Ваальса теплоемкость при постоянном

объеме C

V

постоянная. Газ свободно адиабатически расширился, уве-

личив объем с V

1

до V

2

> V

1

. Найти изменение температуры и энтропии

при этом расширении.

Ответ:

T

2

− T

1

= −

an

2

C

V

V

2

− V

1

V

1

V

2

,

S

2

− S

1

= C

V

ln

T

2

T

1

+ nR ln

V

2

− nb

V

1

− nb



,

где n — число молей газа.

1.20. Доказать формулу

C

p

− C

V

= T

 ∂p

∂T



τ

 ∂τ

∂T



p

.

30

1.21. Доказать, что при (∂p/∂τ)

T

< 0 (т.е. для устойчивых равно-

весных состояний) справедливо неравенство C

p

> C

V

.

1.22. Показать, что процесс свободного адиабатического расшире-

ния газа необратим.

1.23. При 25

◦

C объем воды V определяется выражением

V = (18 − 7 · 10

−4

p + 4,6 · 10

−8

p

2

) см

3

/моль

для давлений p в диапазоне от 1 до 1000 атм, а

(

∂V

∂T

)

p

= (4,5 · 10

−3

+ 1,4 · 10

−6

p) см

3

/(град · моль).

Определить работу, необходимую для сжатия 1 моля воды от 1 до

1000 атм при 25

◦

C и найти изменение внутренней энергии.

Ответ: A ∼

= 33 Дж/моль;

△U = −124 Дж/моль.

Указание: при вычислении △U использовать соотношение



∂S/∂p



T

= −(∂V/∂T )

p

.

1.24. Выписать условия для функции ε = ε(T ), задающей закон

изменения удельной внутренней энергии идеального газа в зависимости
от температуры, при выполнении которых газ будет нормальным (см.
(1.22), (1.23)).

1.25. Доказать, что функции состояния нормального газа удовле-

творяют неравенствам

2(∂ε/∂τ )

p

+ p > 0,

−2ε(∂p/∂τ)

s

> p

2

.

1.26. Калорическое уравнение состояние некоторых сред (вода, ме-

таллы) часто берется в виде так называемого двучленного уравнения
состояния

p = A(s)(ρ/ρ

0

)

γ

− ρ

0

c

2

0

/γ

(p > −ρ

0

c

2

0

/γ),

где ρ

0

, c

0

— значения плотности и скорости звука среды в исходном

недеформированном состоянии. Найти выражение для удельной внут-
ренней энергии ε в виде ε = e(τ, p), принимая ε = 0 при ρ = ρ

0

и p = 0, и

выяснить, выполняются ли условия нормального газа для таких сред.

Ответ: ε =

1

γ−1

τ p + c

2

0

(τ /τ

0

− 1)

.

1.27. Показать, что газ с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса

не является нормальным газом.

1.28. Вывести уравнение Гиббса — Дюгема

SdT − V dp +

N

X

j=1

m

j

dµ

j

= 0

31