Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 8

для N -компонентной открытой системы.

1.29. Вблизи тройной точки (твердое тело — жидкость — газ) кри-

вая равновесия на плоскости (T, p) между твердой и газообразной фа-
зами имеет обычно больший наклон к температурной оси, чем кривая
равновесия между жидкой и газообразной фазами. Дать термодинами-
ческое объяснение этого явления.

1.30. Пусть теплота парообразования L не зависит от температу-

ры, а состояния пара описываются уравнениями Клапейрона. Пока-
зать, что для давления pпар насыщенных паров жидкости справедлива
зависимость

pпар ∼ exp(−L/RT ).

32

2

Законы сохранения и сильный разрыв

2.1

Интегральные законы сохранения

Для произвольного изменяющегося со временем конечного объема Ω(t)
с границей Σ(t), занятого газом, определяются следующие величины:

масса m(Ω) =

RRR

Ω

ρdω;

импульс K(Ω) =

RRR

Ω

ρvdω;

момент импульса L(Ω) =

RRR

Ω

ρ (x × v) dω;

внутренняя энергия U (Ω) =

RRR

Ω

ρεdω;

энтропия S(Ω) =

RRR

Ω

ρsdω;

полная энергия E(Ω) =

RRR

Ω

ρ



1
2

|v|

2

+ ε



dω.

Входящие в подынтегральные выражения ρ — плотность, v — век-

тор скорости, ε — удельная внутренняя энергия, s — удельная энтропия
являются функциями точки x ∈ R

3

и времени t. Очевидно, что в случае

непрерывности этих функций значения подынтегральных выражений
в точке x в фиксированный момент времени t можно получить как
пределы отношений приведенных выше интегралов к величине объема
при стягивании объема к точке x.

Сформулируем основные уравнения математической модели движе-

ния невязкого газа (тензор напряжений — шаровой). Введем понятие
частицы и индивидуального объема. Для этого рассмотрим задачу Ко-
ши:

dx

dt

= v (x, t) ,

x

|

t=0

= ξ.

Частицей называется точка пространства R

3

, закон движения которой

задается решением задачи Коши x = x(ξ, t) при фиксированном ξ.

Объем, состоящий во все моменты времени из одних и тех же ча-

стиц, называется индивидуальным (или материальным) объемом и обо-
значается далее символом ω(t), а его граница — символом ∂ω(t). При
движении газа в поле внешних сил с объемной плотностью ρ f для лю-
бого индивидуального объема должны быть выполнены интегральные
законы сохранения:

33

d

dt

Z ZZ

ω(t)

ρdω = 0;

d

dt

Z ZZ

ω(t)

ρvdω = −

ZZ

∂ω(t)

pndσ +

ZZZ

ω(t)

ρf dω;

d

dt

Z ZZ

ω(t)

ρ(x × v)dω = −

ZZ

∂ω(t)

p(x × n)dσ +

ZZZ

ω(t)

ρ(x × f)dω;

d

dt

Z ZZ

ω(t)

ρ



1
2

|v|

2

+ ε



dω = −

ZZ

∂ω(t)

p(v · n)dσ+

+

ZZ

∂ω(t)

q

n

dσ +

ZZZ

ω(t)

ρv · fdω.

(2.1)

В формулах (2.1) p — давление, n — внешняя нормаль к ∂ω(t), q

n

—

поверхностная плотность потока тепла, вносимого в этот объем со сто-
роны окружающей его среды (q

n

dσdt — количество тепла, сообщенного

объему ω(t) через площадку dσ с нормалью n за время dt). Соотно-
шения (2.1) выражают законы сохранения массы, импульса, момента
импульса и энергии.

Для практических целей удобна следующая форма интегральных

законов сохранения (вытекающая из (2.1)) для произвольно меняюще-
гося со временем объема Ω(t) с границей Σ(t):

d

dt

ZZ Z

Ω(t)

ρdω +

ZZ

Σ(t)

ρ(v · n − D

n

)dσ = 0;

d

dt

ZZ Z

Ω(t)

ρvdω +

ZZ

Σ(t)

ρ(v · n − D

n

)dσ =

= −

ZZ

Σ(t)

p ndσ +

ZZZ

Ω(t)

ρf dω;

d

dt

ZZ Z

Ω(t)

ρ (x × v) dω +

ZZ

Σ(t)

ρ (x × v) (v · n − D

n

) dσ =

= −

ZZ

Σ(t)

p(x × n)dσ +

ZZ Z

Ω(t)

ρ(x × f)dω;

(2.2)

34

d

dt

ZZZ

Ω(t)

ρ



1
2

|v|

2

+ ε



dω +

ZZ

Σ(t)

ρ



1
2

|v|

2

+ ε



(v · n − D

n

)dσ =

= −

ZZ

Σ(t)

p(v · n)dσ +

ZZ

Σ(t)

q

n

dσ +

ZZZ

Ω(t)

ρv · fdω.

В формулах (2.2) D

n

— скорость перемещения поверхности Σ(t) в на-

правлении нормали n. Величина D

n

определяется следующим образом.

Пусть x

0

∈ Σ(t). Величина ∆σ задается условием x

0

+ ∆σn ∈ Σ(t+∆t).

Тогда по определению

D

n

(x

0

, t) = lim

∆t→0

∆σ

∆t

.

Будем считать, что поверхностная плотность потока тепла q

n

подчи-

няется закону Фурье

q

n

= κ(∇T · n),

(2.3)

где ∇T — градиент температуры T газа, κ — коэффициент теплопро-
водности. Газ называется нетеплопроводным, если κ = 0. В дальней-
шем изучается модель нетеплопроводного газа.

2.2

Условия на сильном разрыве

Движение газа называется непрерывным, если подынтегральные функ-
ции в (2.1) или (2.2) по крайней мере один раз непрерывно дифферен-
цируемы. Движение газа называется движением с сильным разрывом,
если существует гиперповерхность Γ ∈ R

3

такая, что с каждой стороны

от нее движение непрерывно, а при переходе через Γ(t) искомые вели-
чины претерпевают разрыв первого рода. Поверхность Γ(t) называется
поверхностью сильного разрыва.

Пусть n — нормаль к Γ(t), D

n

— скорость перемещения Γ(t) в на-

правлении n. Из (2.1) следует, что на Γ(t) должны выполняться следу-
ющие условия (условия на сильном разрыве):

[ρ(v

n

− D

n

)] = 0;

[ρv(v

n

− D

n

) + pn] = 0;



ρ |v|

2

/2 + ε

(v

n

− D

n

) + pv

n



= 0.

(2.4)

Здесь v

n

= v ·n, [F ] = F

2

−F

1

— скачок величины F при переходе через

Γ(t). Анализ соотношений (2.4) показывает, что существуют два типа
сильных разрывов: контактный разрыв и ударная волна.

35