Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 10

ным уравнениям. В основе этих преобразований лежит следующая фор-
мула дифференцирования интегралов:

d

dt

ZZZ

ω(t)

F (x, t)dω =

ZZZ

ω(t)



∂F

∂t

+ v · ∇F + F divv



dω

(2.15)

(ω(t) — индивидуальный объем). Выражение

∂F

∂t

+ v · ∇F называется

полной (материальной, субстациональной) производной величины F

по времени и обозначается символом

dF

dt

.

Дифференциальные уравнения движения невязкого, нетеплопровод-

ного (κ = 0) газа в случае отсутствия массовых сил (f = 0) имеют вид

dv

dt

+

1
ρ

∇p = 0,

dρ

dt

+ ρdivv = 0,

ds

dt

= 0.

(2.16)

Система уравнений (2.16) замыкается уравнением состояния:

p = f (ρ, s),



f (ρ, s) ≡ g



1
ρ

, s



.

(2.17)

Первое уравнение системы (2.16), называемое уравнением импульсов,
может быть записано в виде (форма Громеки—Ламба)

∂v

∂t

+ ∇



1
2

|v|

2



+

1
ρ

∇p = v × ω,

(2.18)

где ω = rotv, а знак “×” означает векторное произведение.

Движение газа, в котором ω = 0, называется безвихревым или по-

тенциальным. В случае потенциального движения существует функ-
ция ϕ(x, t), называемая потенциалом скорости, с которой справедливо
представление v = ∇ϕ. Для изэнтропических (s ≡ const) потенциаль-
ных движений из (2.18) вытекает интеграл Коши—Лагранжа:

∂ϕ

∂t

+

1
2

|∇ϕ|

2

+ i = A(t),

(2.19)

где i = ε + pτ — удельная энтальпия.

В установившихся движениях газа



∂v

∂t

= 0 ,

∂ρ

∂t

=

∂s

∂t

= 0



вдоль

линий тока сохраняются энтропия и полная энтальпия h =

q

2

2

+ i, где

q = |v|. Уравнение

q

2

2

+ i = h

0

(L)

(2.20)

40

Рис. 2.3

называется интегралом Бернулли.

Величина h

0

(L) сохраняет постоянные значения вдоль линий тока

(вообще говоря, разные на различных линиях). Для безвихревого изэн-
тропического установившегося движения h

0

постоянна всюду в области

течения.

Следующий пример показывает, как из интегральных законов со-

хранения можно получить дифференциальные уравнения, описываю-
щие в гидравлическом приближении течение газа в трубе.

Пример 2.2. По теплоизолированному каналу переменного сече-

ния в установившемся режиме течет теплопроводный газ. Предпола-
гая величины v, p, ρ распределенными однородно на плоских сечени-
ях, ортогональных “средней” линии тока x = x(ξ) (ξ — длина дуги),
вывести приближенные дифференциальные уравнения, описывающие
движения газа (гидравлическое приближение).

Решение. Обозначим через l(ξ) орт касательной к линии тока x =

x

(ξ). Так как ξ — длина дуги, то l =

dx

dξ

. Поскольку в плоском сечении

S

ξ

(рис. 2.3), ортогональном l(ξ), величины v, p, ρ постоянны, то они

могут быть представлены как функции ξ:

p = p(ξ),

ρ = ρ(ξ),

v

= q(ξ)l(ξ).

(2.21)

Для вывода искомых дифференциальных уравнений воспользуем-

ся интегральными законами сохранения массы, импульса и энергии в
форме (2.2). В качестве объема Q рассмотрим область, ограниченную
плоскими нормальными к линии x = x(ξ) сечениями S

ξ

, S

ξ+∆ξ

и стен-

кой S

0

канала, отсекаемой этими сечениями (см. рис. 2.3). Обозначив

через F (ξ) площадь сечения S

ξ

, получим следующее уравнение из за-

кона сохранения массы:

(ρqF )|

ξ+∆ξ

− (ρqF )|

ξ

= 0.

Поделив это равенство на ∆ξ и устремив ∆ξ к нулю, придем к уравне-

41

нию

d(ρqF )

dξ

= 0.

(2.22)

Обратимся теперь к закону сохранения импульса. После вычисле-

ния поверхностных интегралов по S

ξ

и S

ξ+∆ξ

этот закон дает следую-

щее соотношение:



(ρq

2

F + pF )l



ξ+∆ξ

−



(ρq

2

F + pF )l



ξ

+

Z Z

S

0

p ndσ = 0.

(2.23)

Здесь, как и в предыдущем случае, использовано условие v · n|

S

0

= 0.

Последнее слагаемое в (2.23) преобразуется следующим образом:

Z Z

S

0

p ndσ = p(ξ)

ZZ

S

0

n

dσ + O(∆ξ)

Z Z

S

0

n

dσ =

= p(ξ)

Z Z

S

0

n

dσ + O(∆ξ) = p(ξ)

 

−

ZZ

S

ξ

+∆ξ

n

dω −

ZZ

S

ξ

n

dω

!

+ O(∆ξ) =

= −p(ξ)



(lF )

ξ+∆ξ

− (lF )

ξ



+ O(∆ξ),

где O(∆ξ) удовлетворяет соотношению

lim

∆ξ→0

O(∆ξ)

∆ξ

= 0.

Поделив (2.23) на ∆ξ и устремив ∆ξ к нулю, получим равенство

d

dξ



(ρq

2

F + pF )l



− p(ξ)

d(lF )

dξ

= 0.

(2.24)

Так как l ·



dl

dξ



= 0, то после скалярного умножения уравнения (2.24)

на l оно преобразуется к виду

d

dξ



ρq

2

F + pF



− p(ξ)

dF

dξ

= 0.

В силу уравнения (2.22) последнее соотношение эквивалентно следую-
щему:

q

dq
dξ

+

1
ρ

dp
dξ

= 0.

(2.25)

42

Аналогичные выкладки с привлечением закона сохранения энергии и
граничных условий на S

0

:

v

· n = 0,

κ

∇T · n = 0 приводят к

уравнению

d

dξ



ρ



1
2

q

2

+ ε



qF + pqF − κ

dT

dξ

F



= 0.

(2.26)

Интегрирование уравнения (2.22) дает равенство

ρqF = G (= const).

Величина G называется расходом газа и равна массе газа, протека-
ющего по каналу в единицу времени через его сечение. Используя это
соотношение, уравнение (2.22), основное термодинамическое тождество
(1.19), преобразуем (2.26) к виду

T

ds
dξ

=

1

G

d

dξ



κ

F

dT

dξ



.

(2.27)

В итоге получена система уравнений:

ρqF = G;

q

dq
dξ

+

1
ρ

dp
dξ

= 0;

T

ds
dξ

=

1

G

d

dξ



κ

F

dT

dξ



.

(2.28)

При заданных G и F (ξ) система (2.28) в совокупности с термодинамиче-
скими уравнениями состояния образует замкнутую систему уравнений,
описывающую стационарное движение теплопроводного газа в канале
с теплоизолированными стенками в гидравлическом приближении.

В примере 2.3 дается вывод дифференциальных уравнений, описы-

вающих простые волны — частные решения системы уравнений (2.16),
заданные соотношениями

v

= v(α),

ρ = ρ(α),

p = p(α),

где α = α(x, t).

Пример 2.3. Показать, что движение газа в невырожденной про-

стой волне (с давлением p 6= const) является изэнтропическим и без-
вихревым, а поверхности уровня α(x, t) = const — плоскими. Вывести
уравнения, описывающие простые волны.

43