Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 13

где A(ξ) =

i=1

, B

i=1

. Матрица A(ξ) называется харак-

теристической матрицей системы. Из (3.4) следует, что производные
по направлению нормали ∂U/∂ξ можно определить однозначно через
известные значения функций и производных по направлениям, каса-
тельным к Γ, в том случае, если det A(ξ) 6= 0. Если det A(ξ) = 0 на по-
верхности Γ, то, согласно известным теоремам линейной алгебры, для
разрешимости уравнений (3.4) относительно ∂U/∂ξ необходимо выпол-
нение условий ортогональности

(ξ)

n−1

k=1

∂U

∂σ

= λ

(ξ)f

(l = 1, . . . , m

)

(3.5)

вектора, стоящего в правой части уравнений (3.4), всем линейно неза-
висимым векторам λ

, удовлетворяющим равенству

(ξ)A(ξ) = 0.

(3.6)

Это означает, в частности, что в случае, когда det A(ξ) = 0, данные Ко-
ши на Γ нельзя задать произвольно, функция ϕ должна удовлетворять
условиям (3.5). В связи с изложенным выше введем определения.

Определение 1. Вектор ξ называется нормальным характеристиче-

ским вектором, если det A(ξ) = 0.

Определение 2. Гиперповерхность Γ называется характеристической

поверхностью (характеристикой), если вектор нормали к Γ является
нормальным характеристическим вектором.

Определение 3. Система уравнений (3.2) называется гиперболиче-

ской в точке (x, U), если существует такой вектор η, что при любом
векторе σ, (σ · η) = 0 характеристическое уравнение

det A(zη + σ) = 0

имеет m вещественных корней z

, а совокупность векторов λ

, k =

1, . . . , m, удовлетворяющих соотношениям (3.6) при ξ = z

+ σ, обра-

зует базис в R

. Система называется гиперболической, если она гипер-

болична в каждой точке (x, U). Направление, задаваемое вектором η,
называется направлением гиперболичности.

Если на заданном решении U = ψ(x) требуется найти характери-

стическую поверхность Γ, заданную уравнением h(x) = 0, то вектор
∇h направленный по нормали к Γ, должен удовлетворять уравнению

det A(∇h) = 0.

(3.7)

Соотношение (3.7) при известном векторе U = ψ(x) является уравнени-
ем с частными производными первого порядка относительно функции
h(x).

Определение 4. Равенство

(∇h) ·

i=1

= λ(∇h) · f

(3.8)

называется условием на характеристике h(x) = 0, если λ(∇h) удовле-
творяет уравнению (3.6) при ξ = ∇h.

Согласно (3.5), в соотношение на характеристике (3.8) войдут толь-

ко производные по касательным к Γ направлениям. В классе непре-
рывно дифференцируемых решений гиперболической системы уравне-
ний (3.2) совокупность условий на характеристиках эквивалентна ис-
ходным уравнениям. Совокупность характеристик можно разбить на
семейства характеристических поверхностей, отвечающих различным
корням z

. Если данные Коши на характеристике Γ таковы, что соотно-

шения (3.8) выполнены, то производные по нормали к Γ определяются
из уравнений (3.4) неоднозначно, так как уравнение (3.4) с нулевой
правой частью имеет нетривиальные решения. Этот факт позволяет
строить непрерывные кусочно-гладкие решения уравнений (3.2) путем
“склейки” двух гладких решений по характеристической поверхности
h(x) = 0. При этом удовлетворяются условия непрерывности решения
и его производных по касательным к Γ направлениям, а производные
в нормальном направлении могут быть разрывны.

3.2

Слабый разрыв

Определение 5. Гладкая гиперповерхность Γ является поверхностью
слабого разрыва решения U = ψ(x), если решение и его первые про-
изводные по касательным к Γ направлениям непрерывны в окрестно-
сти Γ, а некоторые из первых производных по направлению нормали,
будучи непрерывны вне Γ и односторонне непрерывны на Γ, имеют
разрыв первого рода в точках поверхности Γ.

Легко проверяется, что решение уравнений газовой динамики со

слабым разрывом удовлетворяет определению обобщенного движения
газа.

Если Γ — поверхность слабого разрыва, то Γ-характеристика урав-

нений (3.2). Действительно, если на Γ вычислить разность предельных

значений величин, входящих в уравнения (3.4), то получим равенство

|ξ|

−2

A(ξ)

h ∂U

∂ξ

= 0,

(3.9)

(здесь [. . .]

— обозначение скачка функции на Γ). Так как на поверх-

ности слабого разрыва [∂U/∂ξ] 6= 0, то необходимо det A(ξ) = 0, а это
и означает, что Γ является характеристикой.

Пример 3.1. Пусть решение системы дифференциальных уравнений

∂r

∂t

+ k

(r, x, t)

∂r

∂x

= f

(r, x, t)

(i = 1, . . . , n;

= (r

, . . . , r

< k

< . . . < k

)

имеет слабый разрыв на характеристике x = x

(t), определяемой диф-

ференциальным уравнением dx/dt = k

. Вывести дифференциальные

уравнения для скачков производных на характеристике, если известно
решение системы при x ≥ x

(t).

Решение. По определению слабого разрыва производные функций

в касательном направлении непрерывны на x = x

(t):

+ k

] = 0.

С учетом уравнений системы и соотношения [f

] = 0 получаем равен-

ство

− k

)[r

] = 0.

Следовательно, на характеристике

] = 0,

j 6= m.

Выведем дифференциальное уравнение для [r

]. Для этого продиф-

ференцируем m-е уравнение системы по x:

j6=m

∂k

∂r

∂k

∂r

∂k

∂x

j6=m

∂f

∂r

∂f

∂r

∂f

∂x

∂

∂t

+ k

∂

∂x

Вычислим разность предельных значений на линии x = x

(t) величин,

входящих в уравнение:

j6=m

∂k

∂r

+
jx

∂k

∂r

∂k

∂x

−

∂f

∂r

]−

∂k

∂r

]

= 0.

Здесь ϕ

— предельные значения ϕ(x

(t) ± 0, t), [r

] = r

− r

−

Коэффициенты полученного уравнения заданы, если заданы функции
r

(x, t) в области x ≥ x

(t). Решение обыкновенного дифференциаль-

ного уравнения определяет величину [r

](t), если известен началь-

ный скачок производной [r

](0). Скачки производных по переменной

t определяются из соотношения

] = −k

Для систем уравнений, не приводящихся к инвариантам Римана, по-
сле соответствующей модификации приведенных выше рассуждений
получаются дифференциальные уравнения, описывающие изменение
скачков производных решения при движении вдоль характеристиче-
ской кривой.

3.3

Характеристики уравнений газовой динамики

Систему уравнений газовой динамики можно представить в векторном
виде

+ A

= 0,

(3.10)

где U = (u, v, w, p, s)

, b = 1/(ρc



















ρu













ρv













ρw







Характеристическая матрица A(ξ) имеет вид (ξ = (τ, ξ, η, ζ))

A(ξ) =







ρχ

bχ







(3.11)

содержание .. 11 12 13 14 ..