Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 16

4

Одномерные движения газа

Класс одномерных движений газа с плоскими (ν = 0), цилиндрически-
ми (ν = 1) и сферическими (ν = 2) волнами определяется следующим
образом. Пусть x

1

, x

2

, x

3

— декартовы координаты в R

3

(x), а l

1

, l

2

, l

3

—

базисные векторы этой системы координат. Для ν = 0, 1, 2 определим
пространственную координату x = X

ν

(x

1

, x

2

, x

3

) формулой

x = X

ν

(x

1

, x

2

, x

3

) =



















x

1

,

ν = 0;

p

(x

1

)

2

+ (x

2

)

2

,

ν = 1;

p

(x

1

)

2

+ (x

2

)

2

+ (x

3

)

2

,

ν = 2;

Одномерными движениями газа будут называться такие движения,

в которых вектор скорости v, давление p и плотность ρ удовлетворяют
следующим функциональным зависимостям:

v

= u(x, t)∇X

ν

,

p = p(x, t),

ρ = ρ(x, t).

(4.1)

Здесь

∇X

ν

= (∂X

ν

/∂x

1

)l

1

+ (∂X

ν

/∂x

2

)l

2

+ (∂X

ν

/∂x

3

)l

3

.

Решения уравнений газовой динамики вида (4.1) удовлетворяют сле-

дующей системе дифференциальных уравнений:

∂u

∂t

+ u

∂u
∂x

+

1
ρ

∂p

∂x

= 0,

∂ρ

∂t

+ u

∂ρ
∂x

+ ρ

∂u

∂x

+ ν

u
x



= 0,

∂p

∂t

+ u

∂p

∂x

+ ρc

2

∂u

∂x

+ ν

u
x



= 0.

(4.2)

Система уравнений (4.2) является гиперболической и имеет три семей-
ства характеристик C

0

, C

+

, C

−

, определяемых уравнениями

(C

0

) :

dx

dt

= u(x, t);

(C

±

) :

dx

dt

= u(x, t) ± c(x, t).

(4.3)

Пусть d

0

/dt, d

±

/dt — операторы дифференцирования вдоль характери-

стик C

0

, C

±

. С этими операторами условия на характеристиках (4.3)

64

запишутся так (характеристическая форма уравнений (4.2)):

d

0

p

dt

− c

2

d

0

ρ

dt

= 0,

d

0

S

dt

= 0



,

d

+

u

dt

+

1

ρc

d

+

p

dt

= −

ν
x

cu,

d

−

u

dt

−

1

ρc

d

−

p

dt

=

ν
x

cu.

(4.4)

4.1

Инварианты Римана, простые волны

Система уравнений (4.2) и ее характеристическая форма (4.4) значи-
тельно упрощаются для изэнтропических (S ≡ S

0

= const) одномер-

ных движений газа с плоскими (ν = 0) волнами. В этом случае оста-
ются только два семейства характеристик C

+

и C

−

, а условия (4.4)

на характеристиках могут быть проинтегрированы. Введение вспомо-
гательной функции

σ =

ρ

Z

0

c(ρ

′

, S

0

)

ρ

′

dρ

′

(4.5)

позволяет преобразовать условия на характеристиках C

+

и C

−

к виду

d

+

(u + σ)

dt

= 0,

d

−

(u − σ)

dt

= 0.

(4.6)

Для политропного газа функция σ имеет вид

σ =

p

γA(S

0

)ρ

γ−1

=

2c

γ − 1

.

Функции r = u + σ и l = u − σ называются инвариантами Римана.

Уравнения изэнтропических одномерных движений газа с плоскими
волнами в инвариантах Римана записываются в виде

∂r

∂t

+ (u + c)

∂r

∂x

= 0,

∂l
∂t

+ (u − c)

∂l

∂x

= 0.

(4.7)

В системе (4.7) функции u и c должны быть выражены через r и l.

Решения, в которых один из инвариантов Римана тождественно по-

стоянен, исчерпывают класс простых волн уравнений (4.7). При этом r-
волной (l-волной) называется решение, в котором r ≡ const (l ≡ const).

65

Функциональный вид решений — простых r-волн и l-волн — дается
следующими выражениями:

r − волна :

l − волна :

u + σ(ρ) = r

0

= const,

u − σ(ρ) = l

0

= const,

x − (u − c)t = F

1

(u),

x − (u + c)t = F

2

(u).

(4.8)

Второе соотношение (4.8) означает, что в r-волне (l-волне) прямоли-
нейны характеристики семейства C

−

(семейства C

+

).

Простые волны подразделяются на простые волны сжатия (ρ

t

+

uρ

x

> 0) и простые волны разрежения (ρ

t

+ uρ

x

< 0) . В простых вол-

нах сжатия (разрежения) характеристики прямолинейного семейства
сближаются (расходятся) в направлении возрастания времени.

Простые волны, в которых все прямолинейные характеристики пе-

ресекаются в одной точке, называются центрированными простыми
волнами или волнами Римана. Если (x

0

, t

0

) — точка пересечения пря-

молинейных характеристик, то r и l−волны Римана описываются сле-
дующими формулами:

r − волна :

l − волна :

u + σ(ρ) = r

0

= const,

u − σ(ρ) = l

0

= const,

u − c =

x−x

0

t−t

0

,

u + c =

x−x

0

t−t

0

.

(4.9)

Значение простых волн при решении конкретных газодинамических
задач обусловлено следующим утверждением: в непрерывном движе-
нии с плоскими волнами всякое непостоянное решение, примыкающее
по звуковой характеристике к постоянному, является простой волной.
При этом по характеристике C

+

примыкает l-волна, а по характери-

стике C

−

— r-волна.

Пример 4.1. В бесконечной трубе, закрытой с одной стороны порш-

нем, в области 0 < x < ∞ покоится политропный газ, в котором
c = c

0

, ρ = ρ

0

. При t > 0 поршень выдвигается из трубы по закону

x = X(t) =















−

V t

0

2

 t

t

0



2

,

0 < t ≤ t

0

;

−

V t

0

2

− V (t − t

0

),

t

0

< t < ∞,

(4.10)

где V > 0, t

0

> 0 — постоянные. Требуется найти движение газа при

t > 0.

66

C

B

E

L

A

0

“1”

“0”

Рис. 4.1

Решение. В предположении непрерывности движения математиче-

ская формулировка поставленной задачи будет следующей (рис. 4.1):
требуется найти решение уравнений (4.7), удовлетворяющих условиям

t = 0 (x > 0);

u = 0,

c = c

0

;

x = X(t) (t > 0) :

u =

(

−V t/t

0

,

0 < t ≤ t

0

;

−V,

t

0

< t < ∞.

(4.11)

Если провести из точки O характеристику C

+

, то, в силу теоремы

о единственности решения задачи Коши, решение правее этой характе-
ристики будет определяться только начальными данными и, следова-
тельно, будет таким: u = 0, c = c

0

. Вследствие этого уравнение харак-

теристики OA, проведенной на этом решении, задается выражением
x = c

0

t.

По характеристике OA к постоянному решению “0” может примы-

кать либо снова постоянное решение, либо простая l-волна. Посколь-
ку постоянным решением нельзя удовлетворить граничное условие на
кривой OLE, задаваемой уравнением (4.10), то слева от OA будет l-
волна. Следовательно, во всей области определения решения инвари-
ант l = u −

2c

γ−1

будет тождественно постоянен и равен

l ≡ u −

2c

γ − 1

= −

2c

0

γ − 1

.

Отсюда получим

c = c

0

+

γ − 1

2

u,

u + c = c

0

+

γ + 1

2

u.

(4.12)

67