Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 19

Из этих уравнений следует, что выражение

dU =

h

x −

r + l

2

+

ec



t

i

dr +

h

x −

 r + l

2

− ec



t

i

dl

является полным дифференциалом функции U (r, l). Вследствие этого
получим

x −

 r + l

2

+

ec



t =

∂U

∂r

,

x −

 r + l

2

− ec



t =

∂U

∂l

.

(4.36)

Из уравнений (4.36) находим

t = −

U

r

− U

l

2

ec

,

x = −

(

r+l

2

− ec)U

r

− (

r+l

2

+

ec)U

l

2

ec

.

(4.37)

Из (4.35) и (4.37) вытекает искомое уравнение для функции U (r, l):

U

rl

− e

H(r − l)(U

r

− U

l

) = 0.

Типичным для квазилинейных гиперболических уравнений являет-

ся невозможность существования гладких решений при всех 0 < t < ∞,
даже если начальные или граничные условия обладают какой угодно
гладкостью. Например, если решение поставленной задачи описывает-
ся простой волной сжатия, то в силу того, что прямолинейные харак-
теристики в ней сближаются с ростом t, они должны пересечься при
конечном значении t

∗

. В точке пересечения x

∗

прямолинейных харак-

теристик обратятся в бесконечность производные u

x

, c

x

и т.д. Явление

неограниченного роста градиентов основных величин называют “гра-
диентной катастрофой”. Дальнейшее построение решения возможно
только в классе движений с сильными разрывами.

Изучение возможности образования “градиентной катастрофы” в

общем случае проводят с использованием так называемых транспорт-
ных уравнений, описывающих эволюцию градиентов основных величин
вдоль соответствующих характеристик. Вывод транспортных уравне-
ний для системы (4.2) и их подробный анализ для системы (4.7) изло-
жены в [1].

Пример 4.4. В начальный момент времени t = 0 в трубе, запол-

ненной покоящимся политропным газом (0 < x < ∞), в сечении x = 0
находится поршень. При t > 0 поршень осуществляет плавное дви-
жение по закону x = X(t). Выяснить, при каких условиях возможна
“градиентная катастрофа”, и найти время t

k

ее образования.

76

Решение. В области непрерывного движения решение описывается

простой l-волной; тогда

u −

2c

γ − 1

= −

2c

0

γ − 1

,

где c

0

— скорость звука в покоящемся газе. Система уравнений (4.7) при

этом сведется к одному уравнению относительно функции r = r(x, t):

∂r

∂t

+ (u + c)

∂r

∂x

= 0,

(4.38)

где

u =

1
2



r −

2c

0

γ − 1



,

c =

γ − 1

4

r +

c

0

2

.

(4.39)

Обращение величины R = r

x

в бесконечность соответствует образова-

нию градиентной катастрофы. Выведем уравнение, описывающее эво-
люцию величины R вдоль характеристик C

+

. Для этого продиффе-

ренцируем уравнение (4.38) по x и учтем формулы (4.39). В результате
получим

∂R

∂t

+ (u + c)

∂R

∂x

+

γ + 1

4

R

2

= 0.

Так как d

+

R/dt = R

t

+ (u + c)R

x

есть производная вдоль характеристи-

ки C

+

, то предыдущее уравнение на C

+

превращается в обыкновенное

дифференциальное уравнение:

d

+

R

dt

+

γ + 1

4

R

2

= 0.

(4.40)

Пусть характеристика C

+

выходит из точки t = ξ, x = X(ξ), лежащей

на линии, задающей закон движения поршня на плоскости (x, t). Пусть
далее R в этой точке равна R

0

(ξ). Тогда вдоль этой характеристики C

+

величина R в соответствии с уравнением (4.40) будет даваться форму-
лой

R =

4R

0

(ξ)

4 + (γ + 1)(t − ξ)R

0

(ξ)

.

Из нее видно, что при R

0

(ξ) < 0 величина R обратится в бесконечность

при t = t

∗

(ξ), определяемой формулой

t

∗

(ξ) = ξ −

4

(γ + 1)R

0

(ξ)

.

(4.41)

77

Теперь осталось определить R

0

(ξ) на поршне для всех значений t =

ξ. Из граничного условия u(X(t), t) = X

′

(t) на поршне имеем

r(X(t), t) −

2c

0

γ − 1

= 2X

′

(t).

Продифференцируем это равенство по t:

r

x

X

′

(t) + r

t

= 2X

′′

(t).

(4.42)

Комбинируя (4.42) с (4.38), взятым при x = X(t), получаем

∂r

∂x

(X(t), t) = −

2X

′′

(t)

c

0

+

γ−1

2

X

′

(t)

.

(4.43)

Таким образом, определилась функция R

0

(ξ):

R

0

(ξ) = −

2X

′′

(ξ)

c

0

+

γ−1

2

X

′

(ξ)

.

(4.44)

Подставляя выражение (4.44) в (4.41) получаем

t

∗

(ξ) = ξ +

2c

0

+ (γ − 1)X

′

(ξ)

(γ + 1)X

′′

(ξ)

.

(4.45)

Поскольку в числителе формулы (4.45) стоит удвоенная скорость звука
на поршне, то ∞ > t

∗

(ξ) > ξ только при X

′′

(ξ) > 0. Это неравенство и

дает условие существования градиентной катастрофы. Время ее обра-
зования будет определяться формулой

t

k

=

inf

ξ(X

′′

(ξ)>0)

h

ξ +

2c

0

+ (γ − 1)X

′

(ξ)

(γ + 1)X

′′

(ξ)

i

.

(4.46)

4.3

(u, p)-диаграммы простых и ударных волн. Рас-
пад произвольного разрыва

При исследовании многих задач в классе одномерных движений га-
за с плоскими волнами используется так называемый метод (u, p)-
диаграмм простых и ударных волн. В этом методе используется изоб-
ражение на плоскости (u, p) всех состояний газа, в которые можно пе-
рейти из состояния (u

0

, p

0

, τ

0

) с помощью простых или ударных волн.

Начальное состояние можно также задавать с помощью параметров u

0

,

p

0

, s

0

(при этом p

0

= g(τ

0

, s

0

)).

78

во

лн

а

сжатие

разрежение

во

лн

а

p

u

p

u

за фронтом

перед

фронтом

У

П

У

Л

p

u

p

u

Рис. 4.5

Рис. 4.6

При фиксированном выборе направления оси Ox (слева направо)

простые и ударные волны подразделяются на волны, обращенные впра-
во и волны, обращенные влево. Говорят, что волна обращена вправо
(влево), если состояние перед волной находится справа (слева) от фрон-
та. В соответствии с этим определением простые l-волны будут волна-
ми, обращенными вправо, а простые r-волны — волнами, обращенными
влево. Если D — скорость ударной волны, распространяющейся по со-
стоянию “0”, то при D − u

0

> 0 волна обращена вправо, а при D − u

0

< 0

волна обращена влево.

Полагая функцию σ, определенную соотношением (4.5), зависящей

от давления p, получим следующие уравнения (u, p)-диаграмм простых
волн с центром в точке (u

0

, p

0

):

l-волна :

u − σ(p; S

0

) = u

0

− σ(p

0

; S

0

);

r-волна :

u + σ(p; S

0

) = u

0

+ σ(p

0

; S

0

).

(4.47)

Для нормального газа вид (u, p)-диаграмм простых волн (4.47) изоб-

ражен на рис. 4.5. Ветви, на которых p > p

0

, отвечают волнам сжатия,

а ветви, на которых p < p

0

— волнам разрежения. Для (u, p)-диаграмм

простых волн имеют место формулы

dp
du

= ±ρc,

d

2

p

du

2

=

ρ

c

d(ρc)

dρ

,

79