Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 22

мгновенно выделилась большая (по сравнению с внутренней энергией
газа) конечная энергия E

0

(произошел взрыв). При t > 0 в газ рас-

пространяется ударная волна, вызывающая движение газа. Требуется
найти закон перемещения ударной волны и описать движение газа за
ее фронтом, пренебрегая давлением в покоящемся газе, т.е. при p

1

= 0.

Анализ показывает, что здесь необходимо положить β = 0, α =

2

ν+3

.

При этих значениях параметров α и β соотношение (4.64) оказывается
выполненным, и тем самым удается получить решение задачи в явной
аналитической форме. Практическая применимость решения задачи о
сильном точечном разрыве ограничивается начальной стадией взрыва,
когда давление за ударной волной значительно превосходит давление
перед ней, т.е. когда ударная волна сильная. На больших расстояниях
от места взрыва поведение ударных волн можно оценивать с помощью
асимптотического решения задачи о затухании ударных волн.

В этой задаче для анализа течения за слабой ударной волной вво-

дится амплитуда ударной волны δ =

p

2

−p

1

ρ

1

c

2

1

, где индекс “1” относится

к состоянию перед волной, а индекс “2” — за волной. Пусть u

1

= 0 и

волна распространяется в положительном направлении оси x. Из со-
отношений на ударной волне вытекают следующие соотношения для
энтропии s и инварианта Римана l:

s

2

− s

1

= O(δ

3

),

l

2

− l

1

= O(δ

3

).

Предположение о постоянстве энтропии и инварианта Римана l всюду
за ударной волной (асимптотическая теория) позволяет проинтегриро-
вать условие на C

+

-характеристике:

x

ν/2

ρu = α,

где величина α постоянна вдоль C

+

-характеристики, но, вообще говоря,

меняется при переходе от одной характеристики к другой.

В итоге предположения асимптотической теории движения слабой

ударной волны сводятся к тому, что за фронтом волны предполагаются
выполненными следующие уравнения:

s = s

1

= const,

l = l

1

= const,

x

ν/2

ρu = α.

(4.65)

На основе уравнений (4.65) определяются законы затухания ударных
волн для одномерных движений газа с плоскими, цилиндрическими и
сферическими волнами. В частности, если x = x

ф

(t) — закон движения

затухающей ударной волны, то при x

ф

→ ∞ амплитуда ударной волны

88

δ имеет следующие асимптотические представления:

δ =











δ

0

(x

ф

)

−1/2

,

ν = 0;

δ

1

(x

ф

)

−3/4

,

ν = 1;

δ

2

(x

ф

)

−1

(ln x

ф

)

−1/2

, ν = 2,

где δ

0

, δ

1

, δ

2

- некоторые постоянные.

Пример 4.6. В начальный момент времени t = 0 покоящийся по-

литропный газ находится вне сферического поршня радиуса x

0

> 0.

При t > 0 поршень вдвигается в газ по закону

x = x

0



1 +

t

t

0



1/2

,

t

0

=

x

0

2εc

0

,

где c

0

— скорость звука в покоящемся газе, ε > 0 — постоянная. Пред-

полагая ε ≪ 1, найти с точностью до O(ε

2

) закон движения ударной

волны, распространяющейся по газу от поршня.

Решение. Для скорости поршня V имеем формулу

V = εc

0



1 +

t

t

0



−1/2

.

Из нее следует, что скорость поршня при 0 < t < ∞ монотонно убывает
от εc

0

до 0. Это означает, что ударная волна, распространяющаяся от

поршня, при всех значениях t может считаться слабой. В соответствии
с асимптотической теорией затухания ударной волны для нахождения
решения за волной воспользуемся уравнениями (4.65):

pρ

−γ

= p

0

ρ

−γ

0

,

u −

2c

γ − 1

= −

2c

0

γ − 1

,

xρu = α.

(4.66)

Здесь α — постоянная вдоль C

+

-характеристик.

Поскольку u ∼ ε, ρ ∼ ρ

0

+ O(ε), то с точностью до O(ε

2

) последнее

уравнение в (4.66) можно заменить следующим: xρ

0

u = α. Рассмотрим

характеристику C

+

, выходящую из точки t = τ , x = x

0

1 +

τ

t

0

1/2

. В

этой точке

u = V (τ ) = εc

0



1 +

τ

t

0



−1/2

,

α = x

0



1 +

τ

t

0



1/2

ρ

0

εc

0



1 +

τ

t

0



−1/2

= ερ

0

c

0

x

0

.

89

Следовательно, в (4.66) величина α является тождественно постоянной.
Для нахождения решения за ударной волной имеем соотношения

u −

2c

γ − 1

= −

2c

0

γ − 1

,

u =

εc

0

x

0

x

.

Так как для скорости ударной волны D справедливо асимптотиче-

ское представление (см. задачу 2.18)

D =

1
2

u + c + c

0

+ O(ε

2

),

где u, c — величины за ударной волной, то для нахождения закона дви-
жения ударной волны необходимо решить следующую задачу Коши:

dx

dt

= c

0

+

γ + 1

4

u + O(ε

2

) = c

0

+

γ + 1

4

εc

0

x

0

x

+ O(ε

2

),

x(0) = x

0

.

Решение ее дается формулой

c

0

t = x − x

0

−

γ + 1

4

εx

0

ln

x

x

0

+ O(ε

2

).

4.5

Задачи

4.1. Массовая лагранжева координата m = m(x, t) в одномерном

движении определяется уравнениями

∂m

∂x

= x

ν

ρ,

∂m

∂t

= −x

ν

ρu.

Показать, что после перехода к лагранжевым координатам (m, t) си-
стема уравнений (4.2) преобразуется к виду

∂u

∂t

+ x

ν

∂p

∂m

= 0,

∂τ

∂t

− x

ν

∂u

∂m

=

ν
x

τ u,

∂s

∂t

= 0;

∂x

∂t

= u,

p = g(τ, s).

4.2. Найти характеристическую форму уравнений одномерного дви-

жения газа в лагранжевых координатах (см. задачу 4.1).

4.3. Показать, что задача Коши для системы уравнений одномер-

ных движений газа с плоскими волнами в лагранжевых переменных

90

сводится к задаче Коши для системы из двух уравнений. Привести эту
систему к инвариантам Римана.

4.4. Показать, что в политропном газе с показателем политропы γ =

3 характеристики уравнений изэнтропического одномерного движения
газа с плоскими волнами являются прямыми линиями на плоскости
(x, t).

4.5. Рассматривается непрерывное изэнтропическое одномерное дви-

жение политропного газа (1 < γ 6 3) с плоскими волнами. Пусть при
t = 0 инварианты Римана r = r

0

(x) и l = l

0

(x) не убывают с ростом x и

ограничены. Показать, что производные r

x

, l

x

, (u ± c)

x

положительны

при t > 0.

4.6. В условиях предыдущей задачи показать, что для решения за-

дачи Коши справедливы априорные оценки:

0 6 r

x

(x, t) 6 max

x

r

′

0

(x);

0 6 l

x

(x, t) 6 max

x

l

′

0

(x).

Указание: рассмотреть изменение r

x

и l

x

вдоль характеристик.

4.7. Найти закон движения частиц в простой центрированной r-

волне, распространяющейся по покоящемуся политропному газу.

Ответ: для центрированной в точке x = t = 0 r-волны закон дви-

жения частицы, находящейся при t = 0 в точке x = ξ < 0, дается
формулой

x =



















ξ,

0 < t < −

ξ

c

0

;

2c

0

γ − 1

t +

γ + 1
γ − 1

ξ



−

c

0

ξ

t



2

γ

+1

, −

ξ

c

0

< t < ∞.

4.8. Из бесконечной прямолинейной трубы, заполненной при t =

0, x > 0 покоящимся политропным газом, выдвигается плоский пор-
шень по закону

x = X(t) ≡ −

2c

0

γ − 1

t +

γ + 1
γ − 1

L



1 +

c

0

L

t



2

γ

+1

− 1



.

Здесь c

0

— скорость звука в покоящемся газе, L > 0 — постоянная, γ

— показатель политропы газа. Найти движение газа при t > 0.

Ответ:

c = c

0

+

γ−1

2

u,

u =











0,

c

0

t 6 x < ∞;

2c

0

γ + 1

x − c

0

t

c

0

t + L

, X(t) < x < c

0

t.

91