содержание .. 22 23 24 25 ..

Газовая динамика. Задачи и упражнения - часть 24

4.19. Показать, что функция Римана W (r, l; r

, l

) для политропно-

го газа с γ = 1, 4 дается формулой

W (r, l; r

, l

) =

− l

(r − l)

7(r

− r)

(l − l

)

+ (r − l

)

− l)

+4(r

− r)(l − l

)(r − l

)(r

− l)

4.20. Пусть t = t(r, l) — решение уравнения Эйлера — Пуассона

(4.25). Показать, что функция

et=

r − l

− t

)

удовлетворяет уравнению

−

β + 1

r − l

− et

) = 0.

4.21. Найти общее решение системы уравнений (4.21) для полит-

ропного газа с показателем политропы γ = 3.

Указание: воспользоваться решением примера 4.3.
Ответ:

t =

F (r) + G(l)

r − l

x =

lF (r) + rG(l)

r − l

где F (r) и G(l) — произвольные функции.

4.22. Найти общее решение системы уравнений (4.21) для полит-

ропного газа с показателем политропы γ = 5/3.

Указание: воспользоваться примером 4.3 и задачей 4.20.
Ответ:

t =

′

(r) − G

′

(l)

(r − l)

− 2

F (r) + G(l)

(r − l)

x =

(r + 2l)F

′

(r) − (2r + l)G

′

(l)

3(r − l)

− 2

(r + l)(F (r) + G(l))

(r − l)

где F (r) и G(l) — произвольные функции.

4.23. В бесконечной прямолинейной трубе между двумя заслонка-

ми, занимающими положения x = 0 и x = L > 0, покоится политроп-
ный газ (γ = 3). В момент времени t = 0 заслонка (x = 0) убирается,
и происходит истечение газа в вакуум. Найти распределение скорости
звука c и скорости газа u в трубе при t > 0.

Ответ:

(c, u)











, 0),

t 6 x 6 L;

1
2

+ c

1
2

− c

−c

t < x < c

(0, . . .),

−∞ < x < −c

(c, u)











x − L

2L − c

t 6 x 6 L;

1
2

+ c

1
2

− c

−c

t < x < 2L − c

(0, . . . ),

−∞ < x < −c

4.24. Политропный газ с показателем политропы γ = 3 при t = 0

покоится в трубе между неподвижной стенкой (x = L) и поршнем (x =
0). При t > 0 поршень выдвигается из газа с постоянной скоростью V =
−c

/2, где c

— скорость звука в покоящемся газе. Найти распределения

скорости газа u и скорости звука c в трубе в момент времени t = 4L/c

Ответ:

(c, u) =











2L − x

, c

x − 2L

, −2L < x < 0;

, c

x − L

0 6 x 6 L.

4.25. Центрированные волны разрежения, определяемые соотноше-

ниями r = r

и l = l

, соответственно, распространяются навстречу

друг другу по политропному газу (γ = 5/3). В момент времени t = t

в точке x = x

начинается взаимодействие волн. Найти решение урав-

нений (4.21) в области взаимодействия.

Ответ:

t = t

− l

(r − l)

+ l

)(r + l) − 2(rl + r

)

x − x

= t

− l

3(r − l)

2(r

+ l

)(r

+ rl + l

) − 4r

l−

−(r + l)(l

+ 3r

)

−

(2r

+ l

4.26. Политропный газ с показателем политропы γ = 5/3 при t = 0

покоится в области между неподвижной стенкой (x = L) и поршнем
(x = 0). При t > 0 поршень выдвигается из газа по закону x = −V t, где

V > 0 — постоянная. Показать, что при V > 3c

/2 (c

— скорость звука

в покоящемся газе) скорость звука c на стенке изменяется по закону

c =

(

0 6 t 6 L/c

;

a(t), L/c

< t < ∞,

где a(t) – положительный корень уравнения:

− a

− 1 = 0.

4.27. В условиях предыдущей задачи показать, что давление p газа

на стенку x = L при t → ∞ определяется следующей асимптотической
формулой:

p = p

5/3

+ O

−7/3

Здесь p

— давление при t = 0.

4.28. Для уравнения Хопфа u

+ uu

= 0 рассматривается задача

Коши

u(x, 0) =











αa + b, −∞ < x < α;
ax + b,

α 6 x 6 β;

βa + b,

β < x < ∞;

(α, β, a, b — постоянные). Найти решение задачи Коши и выяснить
условия, при которых возникает “градиентная катастрофа”.

Ответ: при a < 0 “градиентная катастрофа” возникает в момент

времени t

= −a

−1

4.29. Найти момент наступления “градиентной катастрофы” t

решении задачи Коши с начальными данными r(x, 0) = r

(x), l(x, 0) =

(x) для системы уравнений изэнтропического одномерного движения

политропного газа (γ = 3) с плоскими волнами (r и l — инварианты
Римана).

Ответ:

= min

inf

ξ,r

′

(ξ)<0

−

′

(ξ)

inf

ξ,l

′

(ξ)<0

−

′

(ξ)

4.30. Поршень, находившийся при t = 0 в сечении x = 0 бесконеч-

ной прямолинейной трубы, заполненной при x > 0 покоящимся полит-
ропным газом, вдвигается в газ по закону x = a

— постоянная).

Найти момент наступления “градиентной катастрофы”, если известна
c

— скорость звука в покоящемся газе.

Ответ: t

(γ + 1)

4.31. Поршень выдвигается из бесконечной трубы, заполненной по-

коящимся нормальным газом, по закону

x = F (t) ≡

(

f (t),

0 < t 6 t

< ∞;

f (t

), t

< t < ∞.

Функция F (t) дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет
условиям F (0) = 0,

−u

< F

′

(t) 6 0 (u

— скорость истечения по-

коящегося газа в вакуум). Показать, что за конечное время в течении
возникнет ударная волна.

4.32. Закон выдвижения плоского поршня из покоящегося полит-

ропного газа, занимающего при t = 0 область 0 < x < ∞, задан фор-
мулой

x =











2t
t

− 3

, 0 < t 6 t

;

−L,

< t < ∞.

Здесь t

(3γ−2)L

, c

— скорость звука в покоящемся газе, L > 0 —

постоянная. Показать, что в возникающем течении произойдет “гради-
ентная катастрофа”, и найти координаты (x

, t

) зарождения ударной

волны.

Ответ: x

7γ

− 28γ − 20

27(γ + 1)

9γ

− 4

9(γ + 1)

4.33. Плоский поршень выдвигается из покоящегося политропного

газа, занимавшего при t = 0 область 0 < x < ∞, по закону







cos

πt

− 1

0 < t 6 t

;

−L,

< t < ∞.

Здесь L > 0 — постоянная, t

(7γ−1)πL

, c

— скорость звука в покоя-

щемся газе. Найти время t

возникновения “градиентной катастрофы”.

Ответ: t

= t

√

3π(γ + 1) + 36γ

√

3π(γ + 1)

4.34. Показать, что в политропном газе уравнения (u, p)-диаграмм

ударных и простых волн с центром в точке (u

, p

) могут быть преоб-

содержание .. 22 23 24 25 ..